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1、精选优质文档-倾情为你奉上第9节 线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法:(1)线面角的求法,找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法,二面角的大小用它的平面角来度量 : 【规律技巧】平面角的作法常见的有定义法;垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质【典例讲解】【例1】 如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE平面PCD;(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱锥PABCD中,因PA底面AB
2、CD,AB平面ABCD,故PAAB.又ABAD,PAADA,从而AB平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中,ABPA,故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中,因PA底面ABCD,CD平面ABCD,故CDPA.由条件CDAC,PAACA,CD平面PAC.又AE平面PAC,AECD.由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中点,AEPC.又PCCDC,综上得AE平面PCD.【变式探究】如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC.E是PC的中
3、点,作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB;(2)证明PB平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小(1)证明如图所示,连接AC,AC交BD于O,连接EO.底面ABCD是正方形,点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB,PA平面EDB.【针对训练】1如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC2,PA2,E是PC上的一点,PE2EC. (1)证明:PC平面BED;(2)设二面角APBC为90,求PD与平面PBC所成角的大小(2)解在平面PAB内过点A作AGPB,G为垂足因为二面角APBC为90,所以平面PAB平面PBC
4、.又平面PAB平面PBCPB,故AG平面PBC,AGBC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD为正方形,AD2,PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A,D两点到平面PBC的距离相等,即dAG.设PD与平面PBC所成的角为,则sin .所以PD与平面PBC所成的角为30.【练习巩固】1、如图所示,在多面体,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F.()证明:;()求二面角余弦值.【答案】();().3(2014湖北卷)如图14,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DPBQ(00),则C(m,0),(m,0)设n1(x,y,z)为平面ACE的法向量,则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设易知|cosn1,n2|,即,解得m.因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.专心-专注-专业