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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十九讲 数字谜综合（二）内容概述 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题典型问题 1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数 【分析与解】 714=23717 由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字
2、因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质 最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质 显然,263与5也互质因此,其他两个数为263和52.如图19-1,4个小三角形的顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等.问这6个质数的积是多少? 【分析与解】 设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加
3、时,中间三角形每个顶点上的数被算了3次,所以 4S=2S+20,即S=10 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是：223355=9003.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立 【分析与解】记两个乘数为和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7 由已知条件,b与c相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5或7,如果b不是5,那么c必然是5,但735=365、775=385的十位数字都不是质数.因此b是5,c是3、5、7中的一个,同样道理,d也是3、5
4、、7中的一个 再由已知条件,的乘积的各位数字全是质数,所以乘积肯定大于2000,满足积大于2000且a、c取质数,只有以下六种情况： 7753=2325,5755=2875,7755=3875,3757=2625,5757=4025,7757=5425 其中只有第一组的结果各位数字是质数,因此a=7,c=3，同理,d也是3最终算式即为77533=255754.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方.那么这个和数是多少? 【分析与解】 设原来的两位数为,则交换十位数字与个位数字后的两位数为,两个数的和为,两个数和为 =是ll的倍数,因为它是
5、完全平方数,所以也是11 11=121的倍数.但是这个和小于100+100=200229).而220229之间个位数字不是2且是3的倍数的只有225=375和228=376 如果第一乘数是75,又第二个乘数的百位数字是3,那么它们的乘积小于75400=30000,它的首位数字也就不可能是3,不满足 乘数是76,另一个乘数就要大于3000076394,那么只有395、396、397、398、399这五种可能,它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30324.由于各个数字都不能是2,所以只有76396=30096满足题目的要求 算式中所得的乘积为30096 方法二：
6、为了方便说明，将某些位置标上字母，如下图所示，因为干位最多进1，而最终的乘积万位又不能是2，所以只能是3： 而第5行对应为22口=ABC,其中C不可能为1,又不能为2,那么最小为3 当C为3时,22口=AB3,那么A只能为7,B只能为4,5或6， (1)当B为4时,743=222,第5行个位为2,不满足题意； (2)当B为5时,ABCDE对应为753DE,小于30000,不满足；(3)当B为6时,ABCDE对应为763DE,D只能为9,此时第4行对应为ABD即769=684.因为3000076394,所以39E只有395、396、397、398、399这五种可能,它们与76的乘积依次为3002
7、0、30096、30172、30248、30324.由于各个数字都不能是2,所以只有76396=30096满足题目的要求 验证C取其他值时没有满足题意的解所以算式中所得的乘积为3009612.请补全图19-6这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少? 【分析与解】 易知除号下第二行的首位为9.除号下第一行开头两位为1、0,商的十位为0 第二行9口对应为CDA， (1)9口不可能为90,不然第一行前三位10口与第二行90的差不可能为一位数,不满足第三行特征； (2)9口对应为91时,第三行的首位对应为10口-91,最小为9，所以只能为9,那么有91=CDA,928=CDB,不可能； (3)
8、9口对应为92时,第三行的首位对应为10口-92,最小为8,所以可能为8、9，如果为9,那么对应有92=CDA,928=CDB,不可能； 如果为8,那么对应有92=CDA,828=CDB,不难得知A=l,B=9,CD=92时满足,那么被除数为92109=10028验证没有其他的情况满足,所以这个除法算式的商数为109 13.若用相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字,则在等式学习好勤动脑5=勤动脑学习好8中,“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少? 【分析与解】 设“学习好”为x,“勤动脑”为Y,则“学习好勤动脑”为1000X+Y,“勤动脑学习好”为1000y+x， 有(1000x+Y)
9、5=(1000y+x)8,化简有4992x=7995y,4992=128313,7995=341513,即128x=205y,有所以,“学习好勤动脑”所表示的六位数可能为,但是不能有重复数字,所以只有,满足,其中最小的是 14.互为反序的两个自然数的积是92565,求这两个互为反序的自然数.(例如102和201,35和53,11和11,称为互为反序的数,但120和2l不是互为反序的数) 【分析与解】 首先可以确定这两个自然数均为三位数,不然得到的乘积不可能为五位数 设=92565,那么C、A中必定有一个为5,一个为奇数.不妨设C为5 =92565,那么A只能为1,=92565.又注意到9256
10、5=335111l17验证只有为165时满足,所以这两个自然数为165、56115.开放的中国盼奥运口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的横式中不同的汉字代表不同的数字,口代表某个一位数.那么,“盼”字所代表的数字是多少? 【分析与解】 我们从“口”中所应填入的一位自然数开始分析,设A=“开放的中国盼奥运”,B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”. 于是B=A口.显然口内不会是1 由于口是B的约数,因此口不会是“盼”所代表的数字,要不然A就等于,这说明口内不会是5,而不是7的倍数,说明口内也不会是7 如果口内填3,则“盼”只能是1或2,当“盼”是1时,B3=,不符合要求；当“盼”时2时，B3=,也不符合要求；说明口内不能填入3 口内也不会是偶数数字2、4、6和8.因为口内是偶数数字时,“盼”也是偶数数字,口内显然不会是2，如果口内是4,根据被4整除的特征,“盼”只能是8,这时A就成了一个九位数,说明口内不能是4；类似的，可以说明口内不能是6和8综上所需,口的数字只能是9,这时利用=9,可以得到=9盼.于是“盼”代表的数字必须同时满足下面两个条件：经验证知=盼=7，即9=专心-专注-专业