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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学必修1难题好题1（2013重庆）对正整数n，记In=1，2，3，n，Pn=|mIn，kIn（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并2（2011朝阳区二模）对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0r|b|特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A=1，2，3，23（）存在qA，使得2011=91q+r（0r91），试求q，r的值；（）若BA，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，bB，ba
2、，b|a，则称B为“谐和集”请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的mA，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由3（2010北京）已知集合Sn=X|X=（x1，x2，xn），x10，1，i=1，2，n（n2）对于A=（a1，a2，an，），B=（b1，b2，bn，）Sn，定义A与B的差为AB=（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|）；A与B之间的距离为（）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；（）证明：A，B，CSn，有ABSn，且d（AC，BC）=d（A，B）；（）证明：A，B，
3、CSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数4（2008南京模拟）已知集合A=a1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），k（A）表示ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数（1）已知集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求k（P）和k（Q）；（2）若集合A=2，4，8，2n，证明：；（3）求k（A）的最小值5（2007北京）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|aA，bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别
4、为m和n若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P（）检验集合0，1，2，3与1，2，3是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（）对任何具有性质P的集合A，证明：；（）判断m和n的大小关系，并证明你的结论6（2003上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f（x+T）=Tf（x）成立（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=ax（a0，且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=axM；（3）若函数f（x）=sinkxM，求实数k的取值范围7设a，b是两个实数，A=（x，y）|x=n，
5、y=na+b，n是整数，B=（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数，C=（x，y）|x2+y2144，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）AB（表示空集），（2）（a，b）C同时成立8设集合，B=x|x23mx+2m2m10（1）当xZ时，求A的非空真子集的个数（2）若B=，求m的取值范围（3）若AB，求m的取值范围9已知集合P=，y=log2（ax22x+2）的定义域为Q（1）若PQ，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围10（2007天津）设函数f（x）=x（xa）2（xR），其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方
6、程；（）当a0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（）当a3时，证明存在k1，0，使得不等式f（kcosx）f（k2cos2x）对任意的xR恒成立11（2006上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a0，那么该函数在（0，上是减函数，在，+）上是增函数（）如果函数y=x+（x0）的值域为6，+），求b的值；（）研究函数y=x2+（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（）对函数y=x+和y=x2+（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2）n+（）n（n是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你
7、的研究结论）12（2006上海）已知函数有如下性质：如果常数a0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）如果函数在（0，4上是减函数，在4，+）上是增函数，求b的值（2）设常数c1，4，求函数的最大值和最小值；（3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由13（2005上海）对定义域是DfDg的函数y=f（x）y=g（x），规定：函数h（x）=（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）若g（x）=f（x+），其中是常数，且0，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明14
8、（2005浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（）求函数g（x）的解析式；（）解不等式g（x）f（x）|x1|（）若h（x）=g（x）f（x）+1在1，1上是增函数，求实数的取值范围15（2005湖南）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a0（）若b=2，且h（x）=f（x）g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行16（2005广东）设函数f（x）在（，+）上满足f（2x）=f（
9、2+x），f（7x）=f（7+x），且在闭区间0，7上，只有f（1）=f（3）=0（）试判断函数y=f（x）的奇偶性；（）试求方程f（x）=0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论17（2004上海）已知函数f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；（3）若n为正整数，证明：18（2002北京）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）（1）求f（0）及f（1）的值；（2）判断的奇偶性，并
10、证明你的结论；（3）若f（2）=2，un=，求证数列un是等差数列，并求un的通项公式19（2001广东）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x1，x20，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f（1）=a0（）求f；（）证明f（x）是周期函数；（）记an=f（2n+），求20（2013重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（）将V表示成r的函数V（r）
11、，并求该函数的定义域；（）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大21（2011湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x23x+2，其中xR，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l（） 求a、b的值，并写出切线l的方程；（）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f（x）+g（x）m（x1）恒成立，求实数m的取值范围22（2009韶关二模）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后
12、每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？23（2009山东）两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到
13、城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由24（2008湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期以i1ti表示第i月份（i=1，2，12），同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水
14、库的最大蓄水量（取e=2.7计算）25（2007浙江）已知f（x）=|x21|+x2+kx（）若k=2，求方程f（x）=0的解；（）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明26（2007北京）已知函数y=kx与y=x2+2（x0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点（I）求k的取值范围；（II）设t为点M的横坐标，当x1x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）2
15、7（2007江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）=0的根；反之，g（f（x）=0的实数根都是f（x）=0的根（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围28（2006重庆）已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围29（2006浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）0，求证：（）方程f（x）=0
16、有实根（）21；设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则.30（2004北京）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本）参考答案与试题解析1（2013重
17、庆）对正整数n，记In=1，2，3，n，Pn=|mIn，kIn（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并考点：集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换菁优网版权所有专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用分析：（1）对于集合P7 ，有n=7当k=4时，根据Pn中有3个数与In=1，2，3，n中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数（2）先用反证法证明证当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值解答：解：（1）对于集合P7 ，有n=7当k
18、=4时，Pn=|mIn，kIn中有3个数（1，2，3）与In=1，2，3，n中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数为 773=46（2）先证当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使AB=PnIn 不妨设1A，则由于1+3=22，3A，即3B同理可得，6A，10B又推出15A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾再证P14满足要求当k=1时，P14=|mI14，kI14=I14，可以分成2个稀疏集的并集事实上，只要取A1=1，2，4，6，9，11，13，B1=3，5，7，8，10，12，14，则A1和B1都是稀疏集，且A1B1=I14当k=4时，
19、集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列3个稀疏集的并：A2=，B2=，当k=9时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列3个稀疏集的并：A3=，B3=，最后，集合C|mI14，kI14，且k1，4，9 中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1A2A3C，B=B1B2B3，则A和B是不相交的稀疏集，且AB=P14综上可得，n的最大值为14点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题2（2011朝阳区二模）对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0r|b|特别地，当r
20、=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A=1，2，3，23（）存在qA，使得2011=91q+r（0r91），试求q，r的值；（）若BA，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，bB，ba，b|a，则称B为“谐和集”请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的mA，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由考点：子集与真子集菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：（）将2011除以91，便可求相应的商与余数；（）先写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，再证明：含7的任意集合A的
21、有12个元素的子集为“和谐集”解答：解：（）因为2011=91q+r，所以2011=9122+9（2分）又因为qA，所以q=22，r=9（4分）（）含有元素7的一个“和谐集”B0=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（5分）含有元素8的一个非“和谐集”C=8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23（7分）当m=8时，记M=7+i|i=1，2，16，N=2（7+i）|i=1，2，3，4，记P=CMN，则card（P）=12显然对任意1ij16，不存在n3，使得7+j=n（7+i）成立故P是非“和谐集”，此时P=8，9，10，11，12，13，14，15，1
22、7，19，21，23同理，当m=9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”因此m7（10分）下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”设B=a1，a2，a11，7，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B1=2，4，8，16，B2=3，6，12，B3=5，10，20，B4=9，18，B5=11，22，B=13，15，17，19，23（12分）以上B1，B2，B3，B4，B5每个集合中的元素都是倍数关系考虑BB的情况，也即B中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1，B2，B3，
23、B4，B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系综上，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7点评：本题是新定义题，考查了子集与真子集，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度3（2010北京）已知集合Sn=X|X=（x1，x2，xn），x10，1，i=1，2，n（n2）对于A=（a1，a2，an，），B=（b1，b2，bn，）Sn，定义A与B的差为AB=（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|）；A与B之间的距离为（）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）
24、；（）证明：A，B，CSn，有ABSn，且d（AC，BC）=d（A，B）；（）证明：A，B，CSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数考点：交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换菁优网版权所有专题：证明题；综合题；压轴题分析：（）由题意中的定义和集合A、B求出AB，再由A与B之间的距离公式，求出d（A，B）；（）根据题意设出集合A、B、C，则ai，bi，ci0，1（i=1，2，n），故得ABSn，再分ci=0和ci=1两种情况求出d（AC，BC）和d（A，B）；（）根据题意设出集合A、B、C，再根据（）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，
25、C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数解答：解：（）由题意得，AB=（|01|，|11|，|01|，|00|，|10|）=（1，0，1，0，1），d（A，B）=|01|+|11|+|01|+|00|+|10|=3（）证明：设A=（a1，a2，an），B=（b1，b2，bn），C=（c1，c2，cn）Sn因为a1，b10，1，所以|a1b1|0，1（i=1，2，n）从而AB=（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|）Sn由题意知ai，bi，ci0，1（i=1，2，n）当ci=0时，|aici|bici|=|aibi|当ci=1时，|aici|bici|=|（1ai
26、）（1bi）|=|aibi|所以（）证明：设A=（a1，a2，an），B=（b1，b2，bn），C=（c1，c2，cn）Sn，d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h记0=（0，0，0）Sn，由（）可知所以|biai|（i=1，2，n）中1的个数为k，|ciai|（i=1，2，n）中1的个数为l设t是使|biai|=|ciai|=1成立的i的个数则h=l+k2t由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数点评：本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质4（2008南京
27、模拟）已知集合A=a1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），k（A）表示ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数（1）已知集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求k（P）和k（Q）；（2）若集合A=2，4，8，2n，证明：；（3）求k（A）的最小值考点：元素与集合关系的判断菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）由题意知k（P）=5，k（Q）=6（2）ai+aj（1ijn）共有个所以然后利用题设条件证明所有ai+aj（1ijn）各不相同（3）设a1a2an，所以a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an由此能够推出k（A）的最小值2n3解答：解：（
28、1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，k（P）=5，K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，k（Q）=6（2）证明：ai+aj（1ijn）共有个所以下面证明所有ai+aj（1ijn）各不相同任取ai+aj和ak+al（1ijn，1kln）当j=l时，若ai+aj=ak+al，则ai=ak，矛盾当jl时，若ai+aj=ak+al，则ai+aj2aj=2j+1alak+al即ai+ajak+al所以所有ai+aj（1ijn）各不相同，所以（3）不妨设a1a2an，所以a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an所以ai+aj（1ijn）中至少有2n3个不同的
29、数，即k（A）2n3取A=1，2，3，n，则ai+aj3，4，5，2n1共2n3个所以k（A）的最小值2n3点评：本题考查集合与元素的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答5（2007北京）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|aA，bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P（）检验集合0，1，2，3与1，2，3是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（）对任何具有性质P的集合A，证
30、明：；（）判断m和n的大小关系，并证明你的结论考点：元素与集合关系的判断；集合的含义菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T（II）据具有性质P的集合满足aA，总有aA，得到0A得到（ai，ai）T；当（ai，aj）T时，（aj，ai）T，求出T中的元素个数（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同解答：（I）解：集合0，1，2，3不具有性质P集合1，2，3具有性质P，其相应的集合S和T是S=（1，3），（3，1），T=（2，
31、1），（2，3）（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个因为0A，所以（ai，ai）T（i=1，2，k）；又因为当aA时，aA时，aA，所以当（ai，aj）T时，（aj，ai）T（i，j=1，2，k）从而，集合T中元素的个数最多为，即（III）解：m=n，证明如下：（1）对于（a，b）S，根据定义，aA，bA，且a+bA，从而（a+b，b）T如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即mn，（2
32、）对于（a，b）T，根据定义，aA，bA，且abA，从而（ab，b）S如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而ab=cd与b=d中也至少有一个不成立，故（ab，b）与（cd，d）也是S的不同元素可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即nm，由（1）（2）可知，m=n点评：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视6（2003上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f（x+T）=Tf（x）成立（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=ax（a0，且a1）的图
33、象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=axM；（3）若函数f（x）=sinkxM，求实数k的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用；指数函数综合题；已知三角函数模型的应用问题菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；新定义分析：（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M（2）由题意存在xR使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知f（x）=axM（3）若函数f（x）=sinkxM，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx1，1对任意实数都成立，故T=1将T=1代入sin（kx+kT）=T
34、sinkx求k的范围即可解答：解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx因为对任意xR，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=xM；（2）因为函数f（x）=ax（a0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x，显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aTax=Tax=Tf（x）故f（x）=axM；（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0M当k0时，因为f（x）=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=
35、Tsinkx因为k0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx1，1，sin（kx+kT）1，1，故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2m，mZ当T=1时，sin（kxk）=sinkx成立，即sin（kxk+）=sinkx成立，则k+=2m，mZ，即k=（2m1），mZ综合得，实数k的取值范围是k|k=m，mZ点评：考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的7设a，b是两个实数，A=（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数，B=（x，
36、y）|x=m，y=3m2+15，m是整数，C=（x，y）|x2+y2144，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）AB（表示空集），（2）（a，b）C同时成立考点：集合关系中的参数取值问题；点到直线的距离公式菁优网版权所有专题：压轴题分析：A、B、C是点的集合，由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线AB表示直线和抛物线有公共点，故只需联力方程，0得a，b的关系式，再考虑与集合C中x2+y2144表示的以原点为圆心，以12为半径的圆及内部点的关系即可解答：解：据题意，知 A=（x，y）|x=n，y=an+b，nZ B=（x，y）|x=m，y=3m2+15，mZ 假设存在实
37、数a，b，使得AB成立，则方程组 y=ax+b y=3x2+15 有解，且xZ消去y，方程组化为 3x2ax+15b=0方程有解，=a212（15b）0a212b180又由（2），得 a2+b2144由+，得 b212b36（b6）20 b=6代入，得 a2108代入，得 a2108a2=108a=63 将a=6，b=6代入方程，得 3x26x+9=0解之得 x=，与xZ矛盾 不存在实数a，b使（1）（2）同时成立点评：此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系，以及圆等知识，综合性较强8设集合，B=x|x23mx+2m2m10（1）当xZ时，求A的非空真子集的个数（2）若B=，求m的取值范围
38、（3）若AB，求m的取值范围考点：子集与真子集；集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）由条件：“xZ”知集合A中的元素是整数，进而求它的子集的个数；（2）由条件：“B=”知集合B中的没有任何元素是，得不等式的解集是空集，进而求m；（3）由条件：“AB”知集合B是A的子集，结合端点的不等关系列出不等式后解之即得解答：解：化简集合A=x|2x5，集合B可写为B=x|（xm+1）（x2m1）0（1）xZ，A=2，1，0，1，2，3，4，5，即A中含有8个元素，A的非空真子集数为282=254（个）（2）显然只有当m1=2m+1即m=2时，B=（
39、3）当B=即m=2时，B=A；当B即m2时，（）当m2时，B=（2m+1，m1），要BA，只要，所以m的值不存在；（）当m2时，B=（m1，2m+1），要BA，只要点评：本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算是一道中档题9已知集合P=，y=log2（ax22x+2）的定义域为Q（1）若PQ，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用；对数函数图象与性质的综合应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一个存在性的
40、问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性解答：解：（1）由已知Q=x|ax22x+20，若PQ，则说明在内至少有一个x值，使不等式ax22x+20，即，在a的取值范围是a4；（2）方程，点评：考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是其最值，一是求值域答题者应细心体会其不同此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化10（2007天津）设函数f（x）=x（xa）2（xR），其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方
41、程；（）当a0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（）当a3时，证明存在k1，0，使得不等式f（kcosx）f（k2cos2x）对任意的xR恒成立考点：函数单调性的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（）求出f（2）和f（2），利用点斜式写切线方程（）求导，令f（x）=0，再考虑f（x）的单调性，求极值即可（）有（）可知当a3时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为kcosxk2cos2x恒成立，分离参数求解即可解答：解：（）解：当a=1时，f（x）=x（x1）2=x3+2x2x，得f（2）=2，且f（x）=3x2+4x1，f（2）=5所以，曲线y=x（x1）2在点（2，2）处的切线方程是y
42、+2=5（x2），整理得5x+y8=0（）解：f（x）=x（xa）2=x3+2ax2a2xf（x）=3x2+4axa2=（3xa）（xa）令f（x）=0，解得或x=a由于a0，以下分两种情况讨论（1）若a0，当x变化时，f（x）的正负如下表：因此，函数f（x）在处取得极小值，且；函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0（2）若a0，当x变化时，f（x）的正负如下表：因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在处取得极大值，且（）证明：由a3，得，当k1，0时，kcosx1，k2cos2x1由（）知，f（x）在（，1上是减函数，要使f（kcosx）f（k2cos2x），xR只要kcosxk2cos2x（xR）即cos2xcosxk2k（xR）设，则函数g（x）在R上的最大值为2要使式恒成立，必须k