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1、精选优质文档-倾情为你奉上青岛科技大学第八届“校长杯”数学知识竞赛暨2013年全国研究生、大学生数学建模竞赛选拔赛题 目 服务网点选址的数学模型 摘 要 随着城乡的迅速发展，需要为乡镇村落之间建立服务网点，以提供各种服务，服务网点的位置选择的问题具有一定的意义。本文根据各个自然村的位置及人口分布状况，采用无约束优化、牛顿法、动态规划等数学方法，建立了服务网点选址的数学模型，利用Matlab、Lingo、Excel等软件进行求解。对于问题一，本文的目标是使更多的人民群众得到更快捷的服务，将其目标转换为数学问题，由于不考虑交通问题，距离短，时间就短，人口数作为权重，人口多，相应的权重大。以服务网点
2、到各个自然村之间的距离平方与权重乘积的总和作为目标函数，即，建立了数学模型，利用无约束优化的数学方法，应用Matlab求得服务网点的最佳位置为。对于问题二，为将问题简化，首先将12个自然村进行分割，每个服务网点有固定的服务村落，对于分割方法可以有不同的分法，但是合理的分法使得两个服务网点的服务人口尽量均衡，然后根据人口加倍后的人口数目，对两个部分分别建立同问题一相同的目标函数，分别求得两个服务网点的坐标。本模型采取了两种分割方法，方法一为：自然村1、2、3、4、7、10为一组，此时求得的两个网点坐标为：和，其中；方法二为：自然村1、3、5、6、7、8、9为一组，此时求得的两个网点的坐标为：和，
3、其中，比较两种分割方法，方法一更合理。 对于问题三，从其中一个服务网点出发，到各村分发销售广告，回到另一个服务网点，最佳的路线即用时最短的线路，用时最短可以转化为距离最短，针对这个问题，采用动态优化的数学方法，根据第二问得到的网点1和网点2以及各个自然村的坐标等信息，将此过程分为13个阶段，建立最佳行走路线的数学模型，利用Lingo编程求取得到最佳路线为： ，此时的最短距离为41.54184。关键词：无约束优化 牛顿法 动态规划 Matlab Lingo专心-专注-专业一、问题重述某乡镇由12个主要的自然村组成，每个自然村的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和自然村的人口数（R）如下
4、表所示。123456789101112X08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55Y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88R6001000800140012007006008001000120010001100表1 12个自然村的位置及人口试根据需要解决如下问题：1 目前准备在该乡镇建一个服务网点为各村提供各种服务，那么服务网点应该建在何处？2 假设各村人口增长了一倍，需要建两个服务网点，试确定其位置。3 从一个服务网点出发，到每个村发放销售广告，最后回到另一个服务网点，试确定最佳行走路线。二、
5、问题分析2.1问题一的分析针对问题一，为了达到使更多的人民在短时间内得到服务的目的，将其转化为数学问题，由于不考虑交通问题，距离短，时间就短，人口数可以作为权重，人口多，相应的权重大。以服务网点到各个自然村之间的距离平方与权重乘积的总和作为目标函数，建立了数学模型，利用无约束优化的数学方法，应用Matlab求解。 2.2 问题二的分析针对问题二，为了简化问题，首先将12个自然村进行分割，每个服务网点有固定的服务村落，对于分割方法可以有不同的分法，但是合理的分法使得两个服务网点的服务人口尽量均衡，然后根据人口加倍后的人口数目，在两个部分分别建立同问题一相同的目标函数，分别求得两个服务网点的坐标。
6、本模型拟采取两种分割方法，通过比较目标函数的大小，对两种方法进行取舍。 2.3 问题三的分析针对问题三，从其中一个服务网点出发，到各村分发销售广告，回到另一个服务网点，最佳的路线即用时最短的线路，用时最短可以转化为距离最短，针对这个问题，采用动态优化的数学方法，由第二问得到的网点以及各个自然村的坐标，将行走的过程分成13个阶段，建立最优路线的数学模型，利用Lingo编程求取最佳路线。三、模型假设与约定 1. 各个自然村之间的道路四通八达，任意两点之间可以直线相通，即服务网点到各自然村之间的距离为两点间的距离； 2. 各个自然村的人口年龄性别比重相似，各服务站可以给予类似的服务，不会出现自然村之
7、间的年龄性别差别比较大，使得服务站在某一方面的服务比较繁忙； 3. 在理想情况下进行选址，不考虑自然灾害； 4. 人口增加一倍后，人口的年龄性别比例依旧不发生变化。四、符号说明自然村的坐标自然村的人口数在总人口中的权重问题1服务网点的坐标问题2方法一服务网点1的坐标问题2方法一服务网点2的坐标问题2方法二服务网点1的坐标问题2方法二服务网点2的坐标目标函数五、模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解针对问题一，要使更多的人民在短时间内得到服务，将其转化为数学问题。由于不考虑交通问题，距离短，时间就短，人口数可以作为权重，人口多，相应的权重大。表2为12个自然村的人口比重：各村编号12345
8、6X08.20.55.70.772.87Y00.54.956.498.76R600100080014001200700权重0.0.0.0.122810.105260.各村编号789101112X4.432.580.729.763.195.55Y3.269.329.963.167.27.88R6008001000120010001100权重0.0.0.0.105260.0.表2 12个自然村的人口权重要综合考虑到距离与人口对服务网点选择的影响，本文采用加权求和的方法，即以服务网点到各个自然村之间的距离平方与权重乘积的总和作为目标函数。利用无约束优化的数学方法，采用牛顿法，应用Matlab编写程序
9、求解， 得到最优解为：服务网点的坐标为：，具体位置如图1所示：图1 问题1服务网点示意图由上图可以看出，服务网点大致位于中间，由于左上部分的村子密集人口较多，服务网点稍向左上偏移，所以求出的服务网点坐标是符合题目要求的。5.2 问题二的模型建立与求解针对问题二，为了简化问题，首先将12个自然村进行分割，每个服务网点有固定的服务村落，对于分割方法可以有不同的分法，但是合理的分法使得两个服务网点的服务人口尽量均衡，本文采用了两种分法：方法一：自然村1、2、3、4、7、10为一组，对应于服务网点1； 自然村5、6、8、9、11、12为一组，对应于服务网点2。方法二：自然村1、3、5、6、7、8、9为
10、一组，对应于服务网点1； 自然村2、4、10、11、12为一组，对应于服务网点2。具体分法如图2所示：图2 两种分割方法示意图 5.2.1 分割方法一人口翻倍后，对于两个部分的自然村人口分别进行权重分析，具体的权重如表3所示：部分一编号1234710总和人口12002000160028001200240011200权重0.0.0.0.250.0.1部分二编号56891112总和人口120070080010001000110011600比重0.0.120690.0.0.0.1表3 方法一两部分的人口比重利用问题一的方法，建立目标函数为：通过编程解得最优解为：所以服务网点1的坐标为,服务网点2的坐
11、标为 ,。在坐标系中，两个服务网点的位置如图3所示：图3 分割方法1得到的服务网点位置示意图 5.2.2 分割方法二利用同分割方法一相同的方法，首先对各村人数进行分析， 部分一编号24101112总和人口2000280024002000220011400权重0.0.0.0.0.1部分二编号1356789总和人口120016002400140012001600200011400权重0.0.0.0.0.0.0.1表4 方法二两部分的人口比重然后建立目标函数：求得最优解为：服务网点1坐标为，网点2坐标为，。两个网点的位置如图4所示：图4 分割方法2得到的网点位置示意图结合上述两种分割方法，由于方法一
12、的更小，所以，方法一要更加合理。5.3 问题三的模型建立与求解针对问题三，从其中一个服务网点出发，到各村分发销售广告，回到另一个服务网点，最佳的路线即用时最短的线路，用时最短可以转化为距离最短，针对这个问题，根据第二问求得的两个网点的坐标：网点1：；网点2：，再结合各个自然村的坐标，充分考虑网点与自然村、自然村与自然村之间的距离， 利用Matlab编写程序，求得各点之间的距离，以下是各个自然村以及网点之间的距离的平方（截取部分，完整的见附录5）：编号123456789101112X08.20.55.70.772.874.432.580.729.763.195.55Y00.54.956.498.
13、763.269.329.963.167.27.88网点172.93689.83914.8519.5336.02410.4654927.1931.39586.80876.221.2438.8385684.97596.63620.51622.1479.5629032.6840.39776.062578.8322.5367.9568893.519109.3823.86328.39711.2850.397740.14603.869289.4984.866510.894999.72145.4425.65249.40212.0436.062558.6543.86920127.9613.71927.6555
14、42.71391.0852.60126.52509.562923.82911.28512.04391.9096.360524.78表5 各点之间的距离然后将此过程分为13个阶段，采用动态规划的数学方法，利用Lingo编写程序，得到最优化的路径为：（如图5所示）服务网点16号村8号村9号村5号村11号村12号村3号村1号村2号村10号村4号村7号村服务网点2服务网点19号村图 5 最佳行走路线此时计算得到最佳行走路线各阶段行走的距离为：（如表6所示）各阶段终点689511123距离平方0.465490.39773.869212.0436.36056.03234.383距离0.0.1.3.2.2.
15、5.各阶段终点121047网点2总和距离平方24.2667.499.509219.8694.64051.2407距离4.8.215233.4.2.1.41.54184表6 各阶段距离由上表可以计算出最佳路线总的距离为：41.54184。六、模型的评价与改进6.1模型的优点 1. 本模型对于实际问题进行了适当的假设，简化了模型的建立以及问题的求解； 2. 通过多种方法进行求解，二者比较，更加增加了模型的正确性与可靠性； 3. 本题根本上主要利用了一种思想作为主要解题思路，并使所有问题得到了较好的解决，整体上提高了模型的内在连贯性、延展性和解题思路的简明性与可读性； 4. 模型的计算采用专业的数学
16、软件，可信度较高。6.2 模型的缺点 1. 模型对于复杂的实际问题进行了简化，在计算网点到村落的距离时直接采用了两点间的距离，可能有一定的偏差； 2. 在问题二中，将12个自然村进行了分割，两个网点只能服务于特定的村落，但是在实际情况中，两个网点的服务不会严格分割开来；6.3 模型的改进由于问题本身的复杂度很高，所以3个问题的模型都做了数学处理，首先使用建立的模型得到网点位置，再由网点与各村子之间的距离得到分发销售广告的最佳路线，这种做法虽然给解答带来了很大的方便，但是却使精度受到了一定的影响虽然这种影响很小，所以模型应尽可能的向提高精度方面做适当改进，以利于实际问题的解决。参考文献：1 姜启
17、源，数学模型（第二版）. 北京：高等教育出版社，2002，6.2 费培之， 数学模型实用教程， 成都， 四川大学出版社， 1998附录附录1：问题1求取服务网点的程序f=(x(1)2+(x(2)2)*0.+(x(1)-8.2)2+(x(2)-0.5)2)*0.+(x(1)-0.5)2+(x(2)-4.9)2)*0.+(x(1)-5.7)2+(x(2)-5)2)*0.12281+(x(1)-0.77)2+(x(2)-6.49)2)*0.10526+(x(1)-2.87)2+(x(2)-8.76)2)*0.+(x(1)-4.43)2+(x(2)-3.26)2)*0.+(x(1)-2.58)2+(x
18、(2)-9.32)2)*0.+(x(1)-0.72)2+(x(2)-9.96)2)*0.+(x(1)-9.76)2+(x(2)-3.16)2)*0.10526+(x(1)-3.19)2+(x(2)-7.2)2)*0.+(x(1)-5.55)2+(x(2)-7.88)2)*0.;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, 0 0)附录2：问题1图像绘制程序x=08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55;y=00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88;plot(x,y,rx
19、,LineWidth,5)xlabel(x)ylabel(y)title(自然村位置)grid;hold onplot(4.032,5.647 ,b*,LineWidth,10)hold off附录3：问题2服务网点求取及图像绘制1. 方法一网点1：f=(x(1)-0.77)2+(x(2)-6.49)2)*0.+(x(1)-2.87)2+(x(2)-8.76)2)*0.+(x(1)-2.58)2+(x(2)-9.32)2)*0.+(x(1)-0.72)2+(x(2)-9.96)2)*0.+(x(1)-3.19)2+(x(2)-7.2)2)*0.+(x(1)-5.55)2+(x(2)-7.88)
20、2)*0.;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, 0 0)网点2：f=(x(1)2+x(2)2)*0.+(x(1)-8.2)2+(x(2)-0.5)2)*0.+(x(1)-0.5)2+(x(2)-4.9)2)*0.+(x(1)-5.7)2+(x(2)-5)2)*0.25+(x(1)-4.43)2+(x(2)-3.26)2)*0.+(x(1)-9.76)2+(x(2)-3.16)2)*0.;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, 0 0)图像绘制：x=08.200.505.700.772.874.432.580.729.763
21、.195.55;y=00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88;plot(x,y,rx,LineWidth,5)xlabel(x)ylabel(y)title(分割法1)grid;hold onplot(2.5883,8.1386,b*,LineWidth,10)plot(5.5268,3.0657,g*,LineWidth,10)hold off2. 方法二网点1：f=(x(1)2+x(2)2)*0.+(x(1)-0.5)2+(x(2)-4.9)2)*0.+(x(1)-0.77)2+(x(2)-6.49)2)*0.+(x(1)-2.87)2+(
22、x(2)-8.76)2)*0.+(x(1)-4.43)2+(x(2)-3.26)2)*0.+(x(1)-2.58)2+(x(2)-9.32)2)*0.+(x(1)-0.72)2+(x(2)-9.96)2)*0.;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, 0 0)网点2：f=(x(1)2+x(2)2)*0.+(x(1)-0.5)2+(x(2)-4.9)2)*0.+(x(1)-0.77)2+(x(2)-6.49)2)*0.+(x(1)-2.87)2+(x(2)-8.76)2)*0.+(x(1)-4.43)2+(x(2)-3.26)2)*0.+(x(1)-2.58)2
23、+(x(2)-9.32)2)*0.+(x(1)-0.72)2+(x(2)-9.96)2)*0.;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, 0 0)图像绘制：x=08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55;y=00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88;plot(x,y,rx,LineWidth,5)xlabel(x)ylabel(y)title(分割法2)grid;hold onplot(6.524,4.7649,b*,LineWidth,10)plot(1.5395
24、,6.5284,g*,LineWidth,10)hold off附录4：各点之间的距离计算程序x=08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55;y=00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88;for i=1:12 z(i)=(2.5883-x(i)2+(8.1386-y(i)2end附录5：各点之间的距离编号123456789101112X08.20.55.70.772.874.432.580.729.763.195.55Y00.54.956.498.763.269.329.963.167.27.88
25、网点172.93689.83914.8519.5336.02410.4654927.1931.39586.80876.221.2438.8385684.97596.63620.51622.1479.5629032.6840.39776.062578.8322.5367.9568893.519109.3823.86328.39711.2850.397740.14603.869289.4984.866510.894999.72145.4425.65249.40212.0436.062558.6543.86920127.9613.71927.655542.71391.0852.60126.52509
26、.562923.82911.28512.04391.9096.360524.781162.01669.9912.52611.146.36052.53617.0614.866513.71959.48706.0321292.89761.48734.3838.316924.787.956822.59910.89427.65540.0026.0320324.2678.65027.052.60120.51618.13423.86325.65288.77512.52634.3831067.4924.2657.4942.71384.97530.25293.51999.72105.2462.01692.897
27、267.49078.6526.591.08596.63621.83109.38145.449.509269.9961.48710105.249.509288.77519.86991.90978.83228.41989.498127.96059.48740.002457.4926.527.05026.52522.1474.640528.39749.40219.86911.148.3169730.25221.8318.1344.640523.82932.684040.14658.65428.41917.06122.599网点239.94413.72928.6333.771534.35339.4841.240747.870.63717.92922.55323.178