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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.3同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: ,掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一:同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:(2)商数关系:(3)倒数关系:,要点诠释:(1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立;(2)是的简写;(3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和绝对值的概念,应注意“”的选取。要点二:同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形:
2、,2商数关系式的变形。【典型例题】类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1若,且是第三象限角,求cos,tan的值。【思路点拨】由求,可利用公式,同时要注意角所在的象限。【答案】 【解析】 ,是第三象限,。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值,缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知,则另两个三角函数值结果唯一;若角所在象限不确定,则应分类讨论,有两种结果,需特别注意:若已知三角函数值以字母a给出,应就所在象限讨论。举一反三:【变式1】已知,求cos,tan的值。【解析】因为,所以是第三或第四象限角。由sin2+cos2=1得。当是第三象限角时,cos0,于
3、是,从而;当是第四象限角时,cos0,于是,从而。类型二:利用同角关系求值例2已知:求:(1)的值;(2)的值;(3)的值;(4)及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系,为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】(1)(2)(3)0(4)或【解析】(1)由已知 (2)(3)(4)由,解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系,三者知一求二,在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三:【变式1】已知,求下列各式的值:(1)tan+cot;(2)sin3cos3。【解析】 由两边平方得。(1)。(2) 。例3已知:,求:(1);(2);(3)。【解析
4、】(1)原式=(2)原式=(3)原式= = =【总结升华】已知tan的值,求关于sin、cos的齐次式的值问题如(1)、(2)题,cos0,所以可用cosn(nN*)除之,将被求式转化为关于tan的表示式,可整体代入tan=m的值,从而完成被求式的求值;在(3)题中,求形如a sin2+b sincos+c cos2的值,注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入,转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三:【变式1】(2015春 甘肃会宁县期中)已知(1)求sin和cos的值;(2)求的值【解析】(1),是第一或第三象限角,当是第一象限角时,结合,有;当是第三象限角时,结合,有;(2),原
5、式 类型三:利用同角关系化简三角函数式例4(2015秋 湖北青山区期末)(1)化简:;(2)已知为第二象限角,化简【思路点拨】(1)根号下利用同角三角函数间的基本关系变形,再利用二次根式的化简公式化简,约分即可得到结果;(2)根号中的式子分子分母乘以分子,利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算,约分后计算即可得到结果【答案】(1)1;(2)【解析】(1)02045,cos200,sin20cos200,则原式;(2)为第二象限角,cos0,sin0,则原式 举一反三:【变式1】化简(1); (2);【答案】(1)1(2)【解析】(1)原式=(2)原式=类型四:利用同角关系证明三角
6、恒等式例5求证:(1);(2)。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简,使之与式子的另一边相同。【证明】(1)左边 =右边,原等式成立。(2)左边 =右边,原等式成立。【总结升华】(1)在三角式的化简中,常常“化切为弦”,以减少函数种类。(2)三角恒等式的证明方法灵活多变,因题而异,要细心观察两边的差异,灵活运用所学知识,本题也可从右到左证明。举一反三:【变式】求证:.【解析】证法一:由题意知,所以.左边=右边.原式成立.证法二:由题意知,所以.又,.证法三:由题意知,所以.,.【巩固练习】1.下面四个命题中可能成立的一个是()A.B.sin=0且cos=1C.tan=1
7、且cos=1D.在第二象限时,tan=2若,则m的值为( )A0 B8 C0或8 D3m93若,则使成立的的取值范围是( )A、 B、 C、 D、4若,且是第二象限角,则tan的值等于( )A B C D5(2015 呼和浩特一模)已知,则( )A B C D6已知sincos =,则cossin的值等于( ) A B C D7若,则的值是( )A B C2 D28若是方程的两根,则的值为( ) ABCD9若,则 ;10化简:_11化简:sin6+cos6+3sin2cos2=_12(2015 上海)已知,是第二象限角,那么tan=_13(2015秋 三峡区期中)(1)设a0,角的终边经过点P
8、(3a,4a),求sin+2cos的值;(2)已知,求的值14已知,求和的值.15sin、cos是方程8x2+6mx+2m+1=0的两根,且为第三象限角,若存在满足题意的m,求出m的值;若不存在,说明理由【答案与解析】1.【答案】B 【解析】由sin2+cos2=1可得A不正确根据tan=1,可得 sin=cos=或,故C不正确由tan=,故D不正确,所以只有B正确2【答案】C 【解析】 sin2+cos2=14m232m=0,m=0或m=83. 【答案】D【解析】4 【答案】A 【解析】,且为第二象限角,5【答案】D【解析】,原式故选:D6【答案】B7【答案】A 【解析】设,8【答案】B9【答案】;(在一象限时取正号,在三象限时取负号) 10【答案】sin 【解析】原式11【答案】1 【解析】令sin2=m,cos2=n,则m+n=1原式=m3+n3+3mn=(m+n)(m2+n2mn)+3mn=(m+n)23mn+3mn=112【答案】【解析】 ,是第二象限角,即,cos0,sin0,即sincos0,即 ,+得:,得:,则,故答案为:13【答案】(1);(2)【解析】(1)a0,角的终边经过点P(3a,4a),则原式;(2),原式14【解析】设,则15【解析】若存在,则,所以,故9m28m20=0,所以m=2或又是第三象限角,所以,所以m=2专心-专注-专业