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1、精选优质文档-倾情为你奉上平面向量【知识结构】平面向量向量 解斜三角形向量的概念 向量的运算 正弦定理 余弦定理 零向量 向量的加减法 平面向量的坐标表示单位向量平行向量 三角形法则 实数与向量的积 线段的定比分点相等向量 平行四边形法则 平面向量的数量积 坐标平面上两点间的距离 平移【基础知识要点】一、向量的基本概念1.向量既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中叫做矢量。如力、速度、加速度、位移就是向量。向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。以为起点、为终点的有向线段记作。线段的长度也叫做有向线段的长度，记作。有向线段
2、包含三个要素：起点、方向、长度。向量也可以用一个小写字母（注意：手写体必须在小写字母上画上方向箭头，如：）来表示；向量还可以用两个大写字母上加箭头表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点），如等。2.向量的长度（或“模”）向量（或）的大小，也就是向量（或）的长度（或称“模”），记作，的模为。注意：向量是既有大小又有方向的量，不同于数量（只有大小而没有方向）；数量可以直接比较大小，而向量不能直接比较大小，但可以比较向量的模的大小（因为向量的模是正数或0，可以进行大小比较）。3.零向量长度为0的向量叫做零向量，记作。显然，但零向量的方向是不确定的。4.单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单
3、位向量。表示与同（反）方向的单位向量；表示与同（反）方向的单位向量。5.平行向量（或共线向量）方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。平行向量也叫做共线向量。若向量平行，记作。规定：与任一向量平行。6.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量相等，记作零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。二、向量的加法与减法1.两个向量的和由于向量可以平行移动而不会改变其大小和方向，当把向量平移，使的起点与的终点重合，那么以向量的起点为起点，以向量的终点为终点的向量就叫做向量与向量的和。2.向量的加法求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
4、3.向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量为邻边作，则以为起点的对角线就是，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。如图（1）所示。B图（1） 图（2）OABA4.向量加法的三角形法则根据向量和的定义，以第一个向量的终点为起点作第二个向量，则以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就是与的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则。如图（2）所示。5.向量加法的运算定律（1）交换律：（2）结合律：注意：由于向量的加法适合交换律与结合律，因此，多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了。6.相反向量与长度相等，方向相反的
5、向量，叫做的相反向量，记作-。规定：零向量的相反向量仍是零向量。性质：(1)；(2)。7.两个向量的差向量加上的相反向量，叫做与的差，即。8.向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。法则：如图(3)所示，已知，在平面内任取一点，作，则。即表示从向量的终点指向向量的终点的向量。 图（3）OAB三、实数与向量的积1.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。2.实数与向量的积所满足的运算律设为实数，那么（1）；（2）；（3）；3.向量共线的充要条件（定理）向量与非零向量共线的充要条件是有且只
6、有一个实数，使得。4.平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。四、平面向量的坐标运算1.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量作为基底，对任一向量，有且只有一对实数，使得，则实数对叫做向量的直角坐标，记作。其中分别叫做在轴、轴上的坐标，叫做向量的坐标表示。相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。2.平面向量的坐标运算（1）若，则；（2）如果，那么；（3）若，则；（4）如果，那么的充要条件是五、平面向量的数量积1. 平面向量数量积
7、的有关概念（1）已知两个非零向量，过点作，则叫做向量与的夹角。很显然，当且仅当两个非零向量同方向时，；当且仅当反方向时，；同时与其他任意非零向量之间不谈夹角这一问题。（2）如果的夹角为，则称与垂直，记作。（3）是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即。规定：；当时，这时。2.的几何意义（1）一个向量在另一个向量方向上的投影设是与的夹角，则称作在的方向上的投影，称作在的方向上的投影。在的方向上的投影是一个数，而不是向量。当时，它是正值；当时 ，它是负数；当时 ，它是零。（2）的几何意义等于的长度与在的方向上的投影的乘积。3.的性质设、是两个非零向量，是单位向量，于是有
8、（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）；（5）。4.的运算律（1）；（2）；（3）。5. 平面向量数量积的坐标表示（1）若，则；（2）若，则，；（3）若，则；（4）若，则。六、线段的定比分点和平移1. 线段的定比分点（1）点分有向线段所成的比设、是直线上两点，是上异于、的任意一点，则存在实数，使，称为点分有向线段所成的比，同时，称点为有向线段的定比分点。2. 线段的定比分点公式设点分有向线段所成的比为，即，并且，则 （），这就是有向线段的定比分点坐标公式。特别地，当是的中点时，有 ，这就是中点坐标公式。七、正弦定理和余弦定理1. 三角形中的定理（1）内角和定理及诱
9、导公式：；（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（3）正弦定理：，为的外接圆半径。A（4）余弦定理：b；caC；B。（5）面积公式：；，该公式叫“海伦公式”；，为的内切圆半径；，为的外接圆半径。（6）边角之间的不等式关系：2.正余弦定理适用的题型（1）余弦定理适用的题型已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。（2）正弦定理适用的题型已知两角和任一边，求其他两边和一角；已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角。3.三角形解的个数已知两边和一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况。例如：已知和时，解的情况如下：（1）为锐角： AAAAA无解，如图一解，如图两解，如图一解，如图（2）为直角或钝角：无解，如图一解，如图专心-专注-专业