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1、精选优质文档-倾情为你奉上排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。一处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。二处理排列组合应用题的规律（1） 两种思路：直接法，间接法。(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。1 重复排列“住店法” 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。例1 8名同学
2、争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） 解析 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有种不同的结果。 评述类似问题较多。如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有种结果。要注意这两个问题的区别。2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解法1：
3、（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法有：480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答）。解析3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有种可能
4、；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有种排法。因此结果为=252种。例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？解析按一定次序排列的一列数叫做数列。由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以组成=21个不同的数列。3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再
5、进行排列，有种，所以排法共有：（种）。例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_种（结果用数字表示）。解析将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有种排法，再将3本数学书之间交换有种，2本外文书之间交换有种，故共有=1440种排法。评述这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。如：7个人排成一排，其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，且
6、中间一人可从其余5人中任取，有种排法。4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）A 6 B 12 C 15 D 30解析原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有种排法，选（D）。评述本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路上有编
7、号为1、2、3、10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为=20种。你能很快求解吗？例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：（种）5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。例1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。解：5面旗全排列有种挂，由于3面红
8、旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例2. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排
9、来处理，不同的坐标共有种。7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。例1. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组
10、对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（种）。8.先选后排“综合法”:“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。例. 对某产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第5次时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？ 解析第5次必测出一个次品，其余3个次品在前4次中被测出。从4个中确定最后一个次品有种可能；前4次中应有1个正品3个次品，有种；前4次测试中的顺序有种。分步计数原理得种。9.递
11、推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。10用转换法解排列组合问题例某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不
12、同的结果有多少种解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20种例2：个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法解: 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题=126种例3. 从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。例4 某城街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少解: 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的
13、白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）例5 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种） 例6求（a+b+c）10的展开式的项数解 展开使的项为abc,且+=10，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题=66例7 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么
14、所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a1,a2，,a5,欧洲队队员为b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）11错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。例1五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列
15、（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？ 【华图解析】直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。 小球数/小盒数 全错位排列 1 0 2 1（即2、1） 3 2（即3、1、2和2、3、1） 4 9 5 44 6 265当小球数/小盒数为13时，比较简单，而当为46时，略显复杂，考生们只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。例2五个瓶子都贴了标
16、签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？【华图解析】做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。则恰好贴错三个瓶子的情况有种。接下来，考生们再想这样一个问题：五个瓶子中，恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢？答案是肯定的，是。那么能不能这样考虑呢？第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有1种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有种。 问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是20种贴法，而从贴对的角度考虑是10种贴法呢? 答案是，后者的解题过程是错误的，这种考虑只涉及到两个瓶子而没有考
17、虑其他三个瓶子的标签正确与否，给瓶子贴标签的过程是不完整的，只能保证至少有两个瓶子的标签是正确的，而不能保证恰有两个瓶子的标签是正确的。所以华图公务员考试辅导专家王永恒老师建议各位考生在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去考虑，这样处理问题简单且不易出错。例3. 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1） n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排2）=n!(1-+-+练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的
18、妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）12. 分球问题“隔板法”:常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例1.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？) 分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图） 则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。技巧一：添加球数用隔板法。 例1求方程x+y+z=1
19、0 的非负整数解的个数。分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为=66个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。 例将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有 =286
20、种方法。 分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有 =286 种方法。 【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。例:为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 种方法。这一步完成后
21、就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。 【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。例. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：（种）13分球入盒问题例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分
22、配。有小球不同，盒子不同，盒子可空 解：种小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25种小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有种小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 00 ，有种方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有=21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种小
23、球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答：）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：）（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：）（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（答：）14分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问
24、题：先取3个为第一组，有 种分法，再取3个不第二组，有种分法，剩下3个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有种分法。（2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有种；再让乙选，有种；剩下的给丙，有种，共有种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书
25、分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有种不同的分法。【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列练1：3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？ 2将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种 B.36种 C.42种 D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有， 二是在在两
26、个城市分别投资1，1，1个项目，此时有， 15.合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理）如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 的全排列数 （）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法（）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计
27、有种方法 由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）练习1（天津卷（文）将3种作物种植 12345 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）图3 图43如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图
28、5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图5 图65将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 16、比赛计数问题 根据比赛规则，比赛计数问题主要分为四类，每类比赛都有对应的解题方法，如下所示： 注意：单循环赛，即任意两队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题；双循环赛，即任意两个队打两场比赛，和顺序有关，所以是排列问题。 例1100名男女运动员参加乒乓球单打淘
29、汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（） A90 B95 C98 D100 【华图解析】设有男运动员a人，女运动员b人。因为是淘汰赛，则要产生男冠军需要a1场比赛，产生女冠军需要b1场比赛，总的比赛场次需要a+b2场。 例2足球世界杯决赛圈有32支球队参加，先平均分成八组，以单循环方式进行小组赛；每组前两名的球队再进行淘汰赛。直到产生冠、亚、季军，总共需要安排（）场比赛。 A48 B63 C64 D65【华图解析】首先将32人平均分成八组，则每组有4支球队，每组球队要进行单循环赛，则每组有，则八组总共需要；又因为在小组赛中每组决出前两名，八组一共决出16支队，也就是再对这16支
30、队伍进行淘汰赛，直到产生冠、亚、季军，则有16场比赛。所以总比赛场次为48+16=64。17.多元问题用分类法对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分类计数原理将各种可能性相加即得。需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。例1 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_种 解析先考虑A种在左边的情况，有三类：A种植在最左边第一垄上时，B有三种不同的种植方法；A种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，B只有一种种植方法。又B在左边种植的情况与
31、A在左边时相同。故共有=12种不同的选垄方法。 例2 有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日语都精通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张？ 解析假设先安排英文翻译，后安排日文翻译。第一类，从5名只能翻译英文的人员中选4人任英文翻译，其余6人中选4人任日文翻译（若“多面手”被选中也翻译日文），则有；第二类，从5名只能翻译英文的人员中选3人任英文翻译，另从“多面手”中选1人任英文翻译，其余剩下5人中选4人任日文翻译，有；第三类，从5名只能翻译英文的人员中选2人任英文翻译，另外安排
32、2名“多面手”也任英文翻译，其余剩下4人全部任日文翻译，有。三种情形相加即得结果185（张）。 评述本题当然也可以先安排日文翻译再安排英文翻译，请大家自己列式看看。例3. 已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。（1）若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，），故有：3327（条）。（2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例4. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因此共有36种方案。专心-专注-专业