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1、一一. 二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程0 yqypy)1(分分析析：，不妨设不妨设xey 式，式，代入代入)1(，02 xxxqeepe ，由于由于0 xe 则则有有02 qp )2(定义定义的的称为称为方程方程特征方程特征方程00 2 yqypyqp 的的根根称称为为特特征征方方程程特特征征根根02 qp 的两个根为的两个根为易知易知02 qp 2422, 1qpp 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法情形情形1，042 qp的实根：的实根：特征方程有两个不相等特征方程有两个不相等21 于是，于是，有两个特解：有两个特解：方程方程0 yqy
2、py，xxeyey 211并并且且xxxeee)(211 不不是是常常数数，的通解为的通解为因此方程因此方程0 qypyyxxeCeCy2121 情形情形2，042 qp实根：实根：特征方程有两个相等的特征方程有两个相等的 21于是，于是，有一个特解：有一个特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面寻寻找找另另一一个个特特解解2y不为常数不为常数且要求且要求12yy，设设)(12xuyy ，即即)(2xueyx 则则，)(2uueyx ，)2(22 uuueyx ，得，得代入方程代入方程0 qypyy，0)()2( 2 uqeuupeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex
3、 由于由于，02 qp ，02 p 则则有有0 u，不妨取不妨取xu 则另一个特解为则另一个特解为xxey 2的通解为的通解为从而方程从而方程0 qypyyxxxexCCxeCeCy )(2121 情形情形3，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一对对共共轭轭复复)0(2 , 1 i于是，于是，有两个特解：有两个特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利利用用欧欧拉拉公公式式： sincosiei 于是，于是，xixeey 1，)sin(cosxixex xixeey 2，)sin(cosxixex 而而)(2121yy ，xex cos )(2121yyi ，xex
4、 sin 且且xxexexx cotsincos 不是常数不是常数的通解为的通解为因此因此0 qypyy)sincos(sincos2121xCxCexeCxeCyxxx 定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .例例1.求下列方程的特解或通解求下列方程的特解或通解；032)1( yyy解解，特征方程特征方程0322 特征根：特征根：，3121 所所以以通通解解为为xxeCeCy321 ；，2402)2(00 xxyyyyy，特征方程特征方程0122 特征根：特征根：121 所以通解为所以通解
5、为xexCCy)(21 代入通解中，得代入通解中，得将将40 xy；41 C从从而而xexCy)4(2 即即有有，)4(22CxCeyx 得得代代入入20 xy62 C于于是是所所求求特特解解为为xexy)64( 解解，特特征征方方程程0542 特特征征根根：i 22 , 1 所以通解为所以通解为)sincos(212xCxCeyx 注注线性方程的求解线性方程的求解一阶或高阶常系数齐次一阶或高阶常系数齐次可推广到可推广到法，法，利用特征值求通解的方利用特征值求通解的方求解一阶方程求解一阶方程例如例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因此通解为因此通解为xCey3 054)3(
6、yyy解解的通解情况表：的通解情况表：阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程n001)1(1)( ypypypynnn特征方程特征方程00111 pppnnn 单实根单实根) i (xCe 一项：一项： i 一对单复根一对单复根ii)()sincos(21xCxCex 两两项项： 重实根重实根kiii)(项：项：k)(121 kkxxCxCCe ik 重复根重复根)iv(项：项：k2xxCxCCekkx cos)(121 sin)(121xxDxDDkk 求下列方程通解求下列方程通解例例2；054)1()3()4()5( yyy解解，特特征征方方程程
7、054345 特征根：特征根：0 ，重重)3(i 2 所所求求通通解解为为 y)(23210 xCxCCex )sincos(542xCxCex )sincos(5422321xCxCexCxCCx ，特征方程特征方程014 特征根：特征根：22442121 而而2222)1( 0)21)(21(22 ，)1(222 , 1i ，)1(224 , 3i 故通解为故通解为 y)22sin22cos(2122xCxCex )22sin22cos(4322xCxCex 0)2()4( yy解解.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求
8、通解为故所求通解为.)(221xexCCy 练习练习1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 练习练习2 2注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 012223
9、45 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy练习练习3 3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 解解:, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案