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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四讲 一元二次方程根与系数的关系一、 典题回顾：1、已知x、y都是正整数，且，求x+y的值。2、 ，其中。3、 按要求解方程：（利用配方法） （2）（利用因式分解方法）（利用公式法）二、 根与系数的关系：1、 如果方程有两个实数根，那么 ；2、 一些常见的关于两根代数式的变形： （1）= ；（2）= ； （3）= ；（4）= ；3、 求关于一元二次方程根的代数式的值的方法：遇双平方，先 ；遇括号，先展开；遇分式，先 ；遇公因式，先 ；遇两根之差，先 ，再 。例1、（1）设、b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A、2006 B、2007 C、2008 D、2009（
2、2）已知、是一元二次方程的两个实数根，则= 。 （3）已知m和n 是方程的两根，则= 。 （4）设是方程的两根，则 ， ， 。例2、方程的两个实数根是，满足，则= 。例3、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求实数m的最大整数值； （2）在（1）的条件下，方程的实数根是，求代数式的值。例4、（七中高新半期）已知是关于方程的两个实数根。 （1）求的值；（用m和p表示出来） （2）若是某直角三角形的两直角边的边长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出最大值。第五讲 根与系数的关系拓展补充一、 典题回顾：例已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足
3、，求m的值和此时方程的两根。二、 根与系数的关系拓展：1、 设是一元二次方程的两个实数根。 （1）若同号，则 ； （2）若异号，则 ； （3）若同为正，则 ； （4）若同为负，则 。2、 依据根与系数的关系，构建方程：例1、关于x的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则的取值范围是 。例2、若方程的两个实数根为、，则下列说法正确的是 。（填序号）；以为根的一元二次方程是。例3、（1）若m、n为实数，且满足，则的值为 。（2）若，且有及，则的值是 。例4、（2016梅州）关于x的一元二次方程。 （1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？ （2）设方程有两个实数根，问m
4、为何值时，？ （3）若方程有两个实数根，问和能否同号?若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由。例5、（青羊区校级自主招生）已知关于x的方程。 （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果是关于y的方程的根，其中是方程的两个实数根，求代数式的值。第六讲 一元二次方程应用考点1、面积问题：例1、如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），用80m长的篱笆围成一个长方形的场地。 （1）怎样才能使长方形场地的面积为750？ （2）能否使所围成的长方形场地的面积为810，为什么？例2、（2016赤峰）如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹
5、（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积（1） 求配色条纹的宽度；（2） 入托地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价。考点2、销售问题：例3、某汽车销售公司5月份销售某种型号的汽车，当月该型号的汽车进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多销售出1辆，所售汽车进价均降低0.1万元/辆。根据市场调查，月销售量不会突破30台。 （1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x30且x为正整数），实际进价为y万元/辆，写出y与x的函数关系式； （2）已知该型号汽车的售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需要售出多
6、少辆汽车？（销售利润=售价-进价）例4、某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个。 （1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x之间的函数关系式； （2）求销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元（售出一个旅行包的利润=实际出厂价-成本）？考点3、增长率问题：例5、某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分
7、率相同。 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价至少要售出该种商品多少件？例6、学校为了绿化校园环境，向某园林公司购进了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所售出的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗8800元，请问，该校共购买了树苗多少棵？例7、（2016济宁）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加
8、，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元。 （1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元，用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？第七讲 图形相似（一）一、 成比例线段：1、 如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m、n，那么就将这两条线段的比写作AB：CD=m:n，或写作，其中线段AB，CD分别叫这个线段比的 和 。2、 比例
9、尺=3、 四条线段中，如果与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段叫成比例线段，简称 ，其中叫 ，b，c叫 ，线段叫的第四比例项；若，则b叫做的 。例1、已知，且,则 ，b= ，c= 。例2、（1）已知线段是线段的第四比例项，其中4cm，b=6cm，c=8cm，则= 。（2）等腰梯形ABCD的周长是104cm，ADBC，且AD：AB:BC=2:3:5，则它的中位线的长为 。【针对训练】1、若，且，则 。2、 线段与的比例中项是 。3、 如果，那么x的值为多少？二、 比例的基本性质：1、 比例的基本性质：如果，那么 。特别地，若，则 。2、 合比性质：若，则 。3、 等比性质：若，则当时， 。
10、例1、（1）已知，且，求的值。（2） （七中育才周考）如果，求k的值。【针对训练】1、已知一次函数的图象经过点（0,1），且k满足关系式，则这个一次函数关系式为 。2、如图，若,且ABC与ADE周长的差为4，求ABC雨ADE的周长。三、 平行线等分线段成比例1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的 。2、 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 。例1、如图，在ABC中，EFBC，FDAB，AE=12,BE=18，AF=14，CD=24. （1）求证：；（2）求线段FC，EF的长。例2、如图，在ABC中，AM：MD=3:1，BD：CD=2:
11、3，则AE：EC= 。例3、如图，ACBD，AD，BC相交于点E，EFBD，求证：第八讲 图形相似（二）一、 平行线分线段成比例拓展补充：1、 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的 ；2、 推论：平行于三角形一边的直线截取其他两边（或两边的延长线）所得的 。例1、如图 ，已知ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，DEBC，点F是DE延长线上的点，,连接FC，若，求的值。例2、（石室北湖月考）如图，在ABC中，M，N是边BC的的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM，AN，分别交BE于点F，G，求BF：FG：GE的值。二、 相似多边形：1、 分别相等， 成比例的两个多边形叫相
12、似多边形。相似多边形对应边的比叫 。2、 用“”表示两个多边形相似时，对应顶点的字母要 ；3、 两个多边形要相似，必须同时满足两个条件：（1）角对应 ；（2）边对应 。F例1、（七中高新半期）如图，矩形ABCD的长为10，宽为8，点E，F分别在AD和BC上，EFCD，问AE的长为多少时，矩形EFCD矩形ADCB？例2、如图，O是矩形ABCD的对角线交点，E，F，G,H分别为OA，OB，OC，OD的中点，求证： （1）四边形EFGH是矩形； （2）矩形ABCD矩形EFGH。三、 三角形相似的条件：1、 分别相等， 成比例的两个三角形叫相似三角形。2、 相似三角形的性质：（1） 相等；（2） 成比
13、例。3、 相似三角形的判定方法：（1）定义法；（2） 相等的两个三角形相似。例1、下列两个三角形可能不相似的是（ ） A、两个等腰直角三角形 B、各有一个角是45的两个等腰三角形C、各有一个角是60的等腰三角形 D、各有一个角是120的两个等腰三角形例2、如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，AE交BD于点E，F如果，那么 。例3、（七中育才周考）如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD交于点O，BECD交CA的延长线于点E。求证：。例4、如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E在CB的延长线上，连接DE，交AB于点F，连接DB，AFD=DBE=CDE。 （1）求证：;
14、（2）当BD平分ABC时，求证：四边形ABCD是菱形。4、 相似三角形的性质：（1）三角 ；（2）三边 。5、 相似三角形的判定方法：（1）定义法；（2）两角分别相等的两个三角形相似；（3）两边 且夹角 的两个三角形相似。6、 常见相似图形：例5、如图所示，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM= 时，AED与以M，N，C为顶点的三角形相似。例6、如图，在矩形ABCD中，AB:BC=5:6，点E在BC上，,点F在CD上，,FGAE于点G，求证：AG=4GE。例7、（七中育才周考）如图，在正方形ABCD中，点P是BC上一点，且BP=3PC，点Q是
15、CD的中点。求证：（1）AQQP；（2）ADQAQP7、 相似三角形的性质：（1）三角对应相等；（2）三边对应成比例。8、 相似三角形的判定方法：（1）定义法；（2）两角分别相等的两个三角形相似；（3）两边 且夹角 的两个三角形相似；（4） 的两个三角形相似。例8、如图，小正方形的边长为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（ ） A、 B、 C、 D、例9、已知四边形ABCD，CDFE,EFHG都是正方形。求证： （1）ADFHDA； （2）AFB+AHB=45。第九讲 图形相似（三）一、 黄金分割： 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割，
16、点C叫线段AB的 ，AC与AB的比叫 ，其值为 。例1、如图，在矩形ABCD（ABBC）中，如果,那么称这个矩形为黄金矩形。在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，请问矩形ABFE是否为黄金矩形？说明你的理由。例2、（石室北湖月考）如图，以长为2cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上。 （1）求线段AM，DM的长； （2）请说明点M是否为线段AD的黄金分割点。二、 相似判定：例3、已知：如图，在梯形ABCD中，DCAB，AD=BC=DC，AC，BD是对角线，E是AB延长线上一点，
17、且BCE=ACD，连接CE。 （1）求证：四边形DBEC是平行四边形； （2）求证：。二、相似图形的性质：1、 已知两个相似三角形的相似比为k，则对应高的比为k，对应中线的比为k，对应角平分线的比为k，周长的比为 ，面积的比为 。2、 相似多边形的周长比等于 ，相似多边形的面积比等于相似比的 。例4、如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是 m。例5、如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFG
18、H，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M。 （1）求证：; （2）求矩形EFGH的周长。【变式训练】如图，已知矩形DEFG内接于ABC，点D在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AHBC于点H，且交DG于点N，BC=18cm，AH=6cm，DE：DG=2:3，求矩形DEFG的面积。例6、（1）AD是RtABC斜边BC上的高，AB=7，AC=5，则 . （2）如图，点D，E，F分别在ABC的边上，DEBC，EFAB，如果AD：DB=1:2，那么 . （3）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=.求证：ABFCEB
19、； 若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积。例7、如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到,已知OB=3,则与ABC的面积比为（ ） A、1:3 B、1:4 C、1:5 D、1:9第十讲 直角三角形的边角关系一、 锐角三角形函数1、 sin、cos、tan、cot：2、 特殊的三角函数值：三角函数正弦sin余弦cos正切tan余切cot304560注：锐角三角函数的取值范围： 0sin1，0cos1，tan03、 求tan22.5，tan15值的构造图：例1、计算：（1） ； （2）；（3） ； （4）。例2、如图，在ABC中，ADBC于点D，AD=9，DC=5，E为AC的中点，求s
20、inEDC的值。例3、在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH交于点M。 （1）求证：BH=DE； （2）若正方形ABCD与正方形CEFH的边长分别为4和2，求sinCDE的值。例4、如图是某货站传货物的平面示意图。为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45改为30，已知原传送带AB长为米。（参考数据：） （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由。例5、如图，为了保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，A
21、C，若B=56，C=45，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为多少米？（参考数据：sin560.8，tan561.5）第十一讲 解直角三角形的应用一、 直角三角形：1、 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求其他所有未知元素的过程就是 。2、 解直角三角形所用的关系式： 如图，在RtABC中，除了直角C外，其余5个元素存在以下关系： （1）两锐角的关系：A+B=90； （2）三边之间的关系： ； （3）边角之间的关系：sinA= = ； cosA= = ；tanA= = ； sinB= = ；cosB= = ； tanB= = ；例1、如图，在四边形ABCD中，B=D=90，AB=3,
22、BC=2，tanA=，则CD= 。例2、在四边形ABCD中，ADBC，BD是ABC的平分线，且CDBD，AD=4，CD=2. （1）求sinABD； （2）求四边形ABCD的面积。例3、如图 ，已知RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH。 （1）求sinB的值； （2）如果CD=，求BE的值。二、 方位应用：1、 方位角：观测点与目标位置的连线与正北或正南方向所形成的小于90的角叫做 。2、 如图所示，以测量旗杆AB的高度为例，如果从测量点到旗杆的底部的水平距离可以直接量得，高度AB就可以测出，具体如下： 由AB=
23、AE+BE= 的关系式。3、 坡角： 与 的夹角叫坡角； 坡度（坡比）：坡面的 与 的比叫坡度（或坡比）；坡度等于坡角的正切值。例4、如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角=30，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角=60，求树高AB。（结果保留根号）例5、如图 ，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1:2，且O，A，B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度。（测倾斜器高度忽略不计，结果保留根号形式）专心-专注-专业