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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考二次函数与实际问题大全利用二次函数解决实际问题关键是把实际问题转化为二次函数模型，有时要根据实际问题的情境建立平面直角坐标系，建立坐标系以简单为原则，例1写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系.例2：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cms的速度移动，同时
2、点Q从点B出发沿BC边向点C以2cms的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动（1）运动第t秒时，PBQ的面积y(cm)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t为何值时s最小，最小值时多少？例3：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y过点B作BHPN于点H则有AFBBHP，即，此二次函数的图象开口向下，
3、对称轴为x=5，当x5时，函数值随的增大而增大，对于来说，当x=4时，练习1 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m)(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解： 二次函数的顶点不在自变量的范围内，而当内，随的增大而减小，当时，(平方米)答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米2练习2 如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸
4、板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； 解：（1）设正方形的边长为cm，则即解得（不合题意，舍去），剪去的正方形的边长为1cm（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2 例4一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球
5、运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？练习 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门最大利润问题例5：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降
6、价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？练习 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？若每件衬衫降价x 元时，商场平均每天盈利 y元，写出y与x的函数关系式。例6 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（
7、1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 练习1某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）25242322销售量y（千克）2000250030003500（1）在如图5的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点。连接各点并观察所得图象，判断y与x之间的函数关系，求出y与x之间
8、的函数关系式。（2）若樱桃进价为每千克13元，试求销售利润P（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式，当x取何值时，P的值最大？ 习题1二次函数，当x=_ ，_时，y有最_ _值，这个值是2某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)3不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x26x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是，此时关于一元二次方程2x26x+m=0的解的情况是_ _(填“有解”或“无解”) 4小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 米
9、 5在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_ _m 6影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差 _米7将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个若
10、这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价 _元，最大利润为_ _元 8如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为_，小孩将球抛出了约_米(精确到0.1 m) 9 市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)(）存在如下图所示的一次函数关系式 试求出与的函数关系式； 设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为
11、何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)解：设y=kx+b由图象可知，即一次函数表达式为 P有最大值当时，（元）（或通过配方，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元 31x34或36x39利润最大化与二次函数二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。利润最大问题，就是一个典型。下面就举例说明。1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每天的定
12、价每增加10元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定价增加元求：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式 （2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式 （3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）分析：因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，现在增加x元，折合个10元，所以，有个房间空闲；空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找
13、到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。解：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式是：y=60-，（2）宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-），（3）宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式是：W=（200+x）（60-）-20（60-），整理，得：W=-+42x+10800=-（x2-420x）+10800= -（x-210）2+15210，因为，a=-0，所以，函数有最大值，并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，当每个房间的定价为每天410元时，有最大值，
14、最大值是15210元。2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（2008年南宁市）分析：根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1，2)，这样就可以求出正比例函数的解析式；仔细观察抛物线的特点
15、，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。解：（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，因为，图像经过点P(1，2)，所以，2=k，所以，利润y1关于投资量的函数关系式是y1=2x，x0；因为，y2是x的二次函数，设，y2=ax2，因为，图像经过点Q(2，2)，所以，2=4a，所以，a=，所以，利润y2关于投资量的函数关系式是y2= x2 ，x0；（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，他获得的利润是：y=y1+ y2= x2 +2（8-x）= x2 -2x+16=（x-2）2+14，因为，a=0，所以，函数有最小值，并且，当x
16、=2万元时，函数y有最小值，最小值为14万元；因为，对称轴是x=2，当0x2时，y随x的增大而减小，所以，当x=0时，y有最大值，且为y=（x-2）2+14=16，当2x8时，y随x的增大而增大，当x=8时，y有最大值，且为y=（x-2）2+14=32，所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为32万元。因此，这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。3、存放问题例3、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批
17、野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？（利润销售总额收购成本各种费用）（08凉山州）分析：因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，所以，x天就应该上涨x1=x元；市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为元，这样第一问就解决了；销售总额为元应该等于野生菌的价格乘以数量，这
18、样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。解：（1）由题意得与之间的函数关系式是：（，且整数）；（2）由题意得与之间的函数关系式是：；（3）由题意得：因为，a=-30，所以，函数有最大值，并且，当x=100时，函数W有最大值，最大值为30000，所以，当时，因为，100天160天，所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元4、定价问题例4、为了落实国务院总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/
19、千克.市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:=280.设这种产品每天的销售利润为(元).(1)求与之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? （2008恩施自治州）分析：利润=价格销售数量，这是问题解答的关键。解: y(x20) w(x20)(2x80)2x2120x1600，所以，y与x的函数关系式为：y2x2120x1600 因为，y2x2120x16002 (x30) 2200，因为，a=-20，所
20、以，函数有最大值，并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为200，所以，当x30时，y有最大值200 因此，当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元. 当y150时，可得方程2 (x30 )2 200150解这个方程，得 x125，x235 根据题意，x235不合题意,应舍去所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元5、补贴问题例5、某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额的
21、不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系图1x/元50（第25题）1200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值（2008年泰安市）分析：惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。解：1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为（元）；（2）由题意可设与
22、的函数关系为将代入上式得，得所以种植亩数与政府补贴的函数关系为，同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为， （3）由题意，得：， 所以，当，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为元二次函数应用题1、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.9 m，那么他能否获得成功？ 2、如图所示，一位篮球
23、运动员在离篮圈水平距离为4 m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内已知篮圈中心离地面距离为3.05 m(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；(2)若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手问：球出手时，他跳离地面多高？ 3、某跳水运动员在进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时运动员在距水面高度5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并
24、调整好入水姿势时，否则就会出现失误(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 4、如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一条抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面为6米，隧道的宽度AA1为6米(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式(2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，它能否通过这个隧道？请
25、说明理由 5、某菜农搭建了一个横断面为抛物线形的蔬菜大棚，有关尺寸如图所示(1)现建立如图所示的平面直角坐标系，试写出这条抛物线的函数表达式；(2)若这位菜农身高1.60m，则她在不弯腰的情况下，在大棚里横向活动范围有多长(精确到0.1m)？6、如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20m，若水位上升3m，则水面CD的宽为10m(1)建立如图所示的直角坐标系，试写出该抛物线的函数表达式；(2)现有一辆满载救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)，货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成
26、水位以0.25m/h的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度最少为多少？7、如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？8、如图，在矩形ABCD中，AB6 cm
27、，BC12 cm，点P从A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动同时Q从B出发，沿BC边向C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始第几秒时，PBQ的面积等于8 cm2？(2)设运动开始到第t s时，五边形APQCD的面积为S cm2，写出S与t的函数关系式(3)t为何值时，S最小？求出S的最小值 9、某商店经营一批进价为10元的商品，据市场分析，每件售价15元，则一天可售55件，如果售价每降1元，则日销售量可增加3件，（为了方便结账，定价取整数）设销售单价为x元，日销售量为y件，日获利为w元。解答下列问题：（1） 试写出y与x
28、之间的函数关系式；（2） 试写出w与x之间的函数关系式；（3） 计算单价为12元时的日销售量和日是售利润；（4） 若使日销售利润达到200元，且老板要尽快减少库存，则售价应定为多少元?（5） 在如图所示的坐标系内作出w与x的图象，观察图象，说明定价为多少元时，日获利最多，为多少？（6） 若物价局限定其定价不能超过其进价的80，则定价为多少元时，可获最大利润？（7） 试问：在（5）的条件下，销售利润是否有最小值？若有，试求出，若无，说明理由；（8） 分别写出本题中w与x的取值范围。10、某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克(1微克103毫克)随时间x小时的变化规律与某一个二次函数yax2bxc(a0)相吻合，并测得服用时(即时间为0时)每毫升血液中含药量为0微克；服用2小时后每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时每毫升血液中含药量为7.5微克(1)试求出含药量y(微克)与服药时间x(小时)的函数解析式；(2)画出0x8的函数简单示意图；(3)服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出这个最大药量；(4)结合图示说明一次服药后的有效时间是多少小时？(有效时间为血液中含药量不为0的总时间)专心-专注-专业