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1、两个平面的位置关系三. 两个平面的位置关系知识提要1.空间两个平面有相交( 有一条公共直线) 与平行 ( 无公共点 ) 两种位置关系. 2.(1) 定义如果两个平面没有公共点, 则称这两个平面互相平行. (2) 判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 . (3) 性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行. 3.(1) 定义如果两个平面相交, 所成的二面角就是直二面角, 则称这两个平面互相垂直. (2) 判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (3) 性质 (1) 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们
2、交线的直线, 垂直于另一个平面 . (2) 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线, 也垂直于交线 . 4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分, 其中的每一部分都叫做半平面.一条直线与由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫做二面角的面. 5.二面角的平面角以二面角棱上的任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 , 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角, 二面角的平面角就是900时称直二面角。6.作二面角的平面角有: 定义法 , 三垂线 ( 或其逆 ) 定理法 , 垂面法 . 把平面角放入相关三角形
3、中求解.课前练习1. 、就是两个不同的平面,m,n 就是平面及 之外的两条不同直线,给出四个论断:mn, ,n ,m . 以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出您认为正确的一个命题,并证明它 . 解析 :m ,n , mn(或 mn,m ,n ) 证明如下 :过不在 、内的任一点P,作 PMm,PN n,过 PM、 PN 作平面 r 交 于 MQ,交 于 NQ. MQPMPMmPMm/, 同理 PNNQ. 因此 MPN MQN = 180, 故 MQN = 90MPN = 90精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
4、- - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系即 m ,n , mn2.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证 :它们所成的角与这个二面角的平面角互补 . 证明 :如图 PQ ,PQAB, PR,PRAB, 则 AB面 PQR. 经 PQR 的平面交、 于 SR、 SQ, 那么 ABSR,ABSQ. QSR就就是二面角的平面角.因四边形 SRPQ 中,PQS PRS90 , 因此 PQSR180 . 3.在 60的二面角MaN 内有一点 P,P 到平面 M、平面 N 的距离分别为1 与 2,求 P点到直线 a 的距
5、离 . 解析 :本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的平面角等概念,图中都没有表示,按怎样的顺序先后作出相应的图形就是解决本题的关键.可以有不同的作法,下面仅以一个作法为例 ,说明这些概念的特点,分别作 PAM,A 就是垂足 ,PBN,B 就是垂足 ,先作了两条垂线,找出 P 点到两个平面的距离,其余概念要通过推理得出:于就是 PA、 PB 确定平面,设M=AC,N=BC,Ca.由于 PAM,则 PAa,同理 PBa,因此 a平面,得 aPC.这样 ,ACB 就是二面角的平面角,PC 就是 P 点到直线 a 的距离 ,下面只要在四边形ACBP 内,利用平面几何的知识在PAB 中求出
6、AB, 再在 ABC 中利用正弦定理求外接圆直径2R3212,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系即为 P 点到直线 a 的距离 ,为3212. 4.判定下列命题的真假(1)两个平面垂直 ,过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线,必垂直于另一个平面; (2) 两个平面垂直 , 分别在这两个平面内且互相垂直的两直线, 一定分别与另一平面垂直; (3) 两平面垂直 , 分别在这两个平面内的两直线互相垂直。解析 :
7、(1) 若该点在两个平面的交线上, 则命题就是错误的, 如图 ,正方体 AC1中, 平面 AC 平面 AD1, 平面 AC 平面 AD1AD, 在 AD上取点 A,连结 AB1, 则 AB1AD,即过棱上一点A的直线 AB1与棱垂直 , 但 AB1与平面 ABCD 不垂直 , 其错误的原因就是AB1没有保证在平面 ADD1A1内, 可以瞧出 : 线在面内这一条件的重要性; (2) 该命题注意了直线在平面内, 但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图 , 在正方体 AC1中, 平面 AD1平面 AC,AD1平面 ADD1A1,AB平面 ABCD,且 ABAD1, 即 AB与 AD1相互垂直 , 但
8、AD1与平面 ABCD 不垂直; (3) 如图 ,正方体 AC1中, 平面 ADD1A1平面 ABCD,AD1平面 ADD1A1,AC平面 ABCD,AD1与AC所成的角为600, 即 AD1与 AC不垂直解: 由上面的分析知, 命题、都就是假命题。点评 : 在利用两个平面垂直的性质定理时, 要注意下列的三个条件缺一不可 : 两个平面垂直; 直线必须在其中一个面内; 直线必须垂直它们的交线。5.设 S 为ABC平面外的一点,SA=SB=SC,2,2,2ASCBSCASB,若222sinsinsin,求证 :平面 ASC平面 ABC 。解析 :(1)把角的关系转化为边的关系(2)利用棱锥的性质(
9、三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明 :设 D 为 AB 的中点SBSAASDSAABSAAD2sin同理SCACSBBC2sin,2sinA B C D A1D1C1B1A B C D A1D1C1B1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系SCSBSA且222sinsinsin222ACBCAB即ABC为ABCRt且 S 在平面上的射影O 为ABC的外心则 O 在斜边 AC 的中点。SO
10、平面 ABC SO平面 SAC 平面 ASC平面 ABC 教学过程一.平面与平面的平行例 1 已知平面、,如果直线a,a,求证 :平面平面。证明 :设1Oa,过 O1作11,ba两相交直线 ,设a与1a确定的平面为,2a,从而/,12121aaaaaaa。同理/1b。所以/。例 2 已知平面平面,(1)若直线a平面,判断直线a与平面的位置关系。 (2)若直线a平面,判断直线a与平面的位置关系。 (3)给出的三个平面(与、不精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - -
11、 - - - - - - 两个平面的位置关系重合 ),试判断平面、之间的位置关系。解:(1)/a或a。(2)a。(3)/或,都相交。例 3 在正方体1111ABCDA BC D 中,M、 N 分别为棱1111A BA D、的中点 ,E、F分别为棱1111B CC D、的中点。 (1)求证 :E、F、B、D共面 ;(2)证明 :平面 AMN 平面EFDB。ED1A1B1C1ABCDNMF证明 :(1)EF/B1D1,B1D1/BD, EF/BD, E、F、B、D 共面。(2)NE/A1B1,A1B1/AB, NE/AB, 且 NE=AB, ABEN 就是平行四边形。AN/ 平面 BEFD。同理
12、:AM/ 平面 BEFD。平面 AMN 平面EFDB。二.平面与平面的垂直例 4 已知平面平面,平面,求证:。证明 :设,a在内作cccac/。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系例 5 在三棱锥 SABC 中, ASC60ASB,90BSC,SASBSCa,求证 :平面 SAB平面 SAC。证明 :作 BD SA 于 D,DE SC 于 E,连接 BE,设 SD=x,则 SB=2x, 2,23,3xSExDExB
13、D, 又41744,2222222xxxSESBBEBSE, 又41743322222xxxDEBD, 所以222BEDEBD,所以 BDDE,又 BDAS,从而 BD面 SAC。所以平面 SAB平面 SAC。SBACFED三.二面角例 6 在三棱锥 SABC 中,SA底面 ABC ,AB BC ,DE垂直平分 SC 且分别交AC 、SC于D、E,又,SAAB SBBC,求以BD为棱 ,以BDE、 BDC 为面的二面角的大小。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - -
14、 - - - - - - - 两个平面的位置关系SABCDEG解:E 为 SC 的中点 ,SB=BC,BESC,又 DESC, SC平面 BDE, BDSC,又 BD SA, BD平面 SAC, EDG 为二面角 E-BD-C 的平面角。设 SA=AB=1, 则 SB=BC=2,SC=2, SCA=300, EDC=600,所以二面角E-BD-C 的的大小为600。例 7在立体图形PABCD 中,底面 ABCD 就是正方形 ,PA底面 ABCD,PAAB,Q 就是 PC中点 . AC,BD 交于 O 点. ()求二面角QBDC 的大小 : ()求二面角BQDC 的大小 . 解析 :()解:连
15、QO,则 QOPA 且 QO21PA21AB PA面 ABCD QO面 ABCD面 QBD 过 QO, 面 QBD面 ABCD故二面角 QBDC 等于 90. ()解:过 O 作 OHQD,垂足为 H,连 CH. 面 QBD面 BCD,又CO BD,CO面 QBD,CH 在面 QBD 内的射影就是OH。DCBHQO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系 OHQD, CHQD,于就是 OHC 就是二面角的平面角. 设正
16、方形 ABCD 边长 2, 则 OQ1,OD2,QD3. OHQDOQOD, OH32. 又 OC2,在 RtCOH 中:tanOHC OHOC2323 OHC60,故二面角 BQDC 等于 60. 例 8 河堤斜面与水平面所成角为60,堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线AB的夹角为 30,沿着这条直道从堤脚上行走到10 米时 ,人升高了多少 (精确到 0、1 米)？解析 :已知所求河堤斜面与水平面所成角为60E 到地面的距离利用 E 或 G 构造棱上一点F 以 EG 为边构造三角形解:取 CD 上一点 E,设 CE10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线EG,垂足为 G,则线
17、段EG 的长就就是所求的高度. 在河堤斜面内 ,作 EFAB.垂足为 F,连接 FG,由三垂线定理的逆定理,知 FGAB.因此 ,EFG就就是河堤斜面与水平面ABG 所成的二面角的平面角, EFG60. 由此得 : EGEFsin60CE sin30sin601021234、3(m) 答:沿着直道向上行走到10 米时 ,人升高了约4、3 米. 例 9 四棱锥 P-ABCD 的底面就是边长为a 的正方形 ,PB 垂直面 ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化 ,面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于90 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
18、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系解析 :注意到题目中所给的二面角,面 PAD 与面 PCD 的棱为 PD,围绕 PD 而考虑问题解决途径. 证法一 :利用定义法经 A 在 PDA 平面内作 AEPD 于 E,连 CE. 因底就是正方形,故 CDDA.CED AED ,AEEC,CED AED90 , 则 CEPD.故 CEA 就是面 PAD 与面 PCD 所成二面角的平面角. 设 AC 与 BD 交于 O,连 EO,则 EOAC.aOAaOA2,22,而 AEADa.02)2)(2(2)2(c
19、os222ECAEOAAEOAAEECAEOAECAEAEC. 所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于90 . 证法二 :运用三垂线法PB面 ABCD ,则 PBAD,又 ADAB,AD面 PAB,即面 PAB面 PAD.过 B 作 BEPA,则 BE面 PAD.在面 PBC 内作 PGBC,连 GD.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 两个平面的位置关系经 C 作 CF面 PAD 于 F,那么连结 EF,有 EFAD.经
20、 F 作 FHPD 于 H,连 CH,则FHC 就是所求二面角平面角的补角. 因 CFFH,故FHC 就是锐角 .则面 PAD 与面 PCD 所成二面角大于90 . 所以 ,此结论证明过程中与棱锥高无关. 证法三 :利用垂面法找平面角. 在证法一所给图形中连 AC、BD,因 ACBD,PB面 ABCD,ACPD.经 A 作 AEPD 于 E,那么有 PD面 AEC,连 CE,即 PDCE.故 PD 与平面 AEC 垂直后 ,面 AEC 与面 ADC 及面 ADP 的交线 EA、EC 构成角 CEA就就是二面角的平面角. 以下同证法一 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -