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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）【2017年北京，理1，5分】若集合，则=（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（2）【2017年北京，理2，5分】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得：，故选B（3）【2017年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）2
2、（B） （C） （D）【答案】C【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环， ，成立，第三次进入循环， 否，输出，故选C（4）【2017年北京，理4，5分】若，满足 则的最大值为（ ）（A）1 （B）3 （C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D（5）【2017年北京，理5，5分】已知函数，则（ ）（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=
3、增函数，所以函数是增函数故选A（6）【2017年北京，理6，5分】设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为 ，KS5U并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A（7）【2017年北京，理7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，故
4、选B（8）【2017年北京，理8，5分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】设 ，两边取对数，所以，即最接近，故选D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。（9）【2017年北京，理9，5分】若双曲线的离心率为，则实数 【答案】2【解析】（10）【2017年北京，理10，5分】若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则= 【答案】1【解析】（11）【2017年北京，理11，5分】在极坐标系中，点A在圆上，点
5、P的坐标为，则的最小值为_【答案】1【解析】，所以（12）【2017年北京，理12，5分】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，= 【答案】【解析】（13）【2017年北京，理13，5分】能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_【答案】-1，-2，-3【解析】（14）【2017年北京，理14，5分】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3记Q1为第i名工人在
6、这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_【答案】；【解析】作图可得中点纵坐标比，中点纵坐标大，所以第一位选，分别作，关于原点的对称点，比较直线，斜率，可得最大，所以选 三、解答题：共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2017年北京，理15，13分】在中，（1）求的值；（2）若，求的面积解：（1），由正弦定理得： （2），为锐角，由得：，又，（16）【2017年北京，理16，14分】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，（1）求证：为的中点；（2）求二
7、面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值解：（1）取、交点为，连结面，面面面，在中，为中点，为中点（2）解法一：取中点为，中点为，连结，又面面，面面，面，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标，可知，易知面的法向量为，且，设面的法向量为，由图可知二面角的平面角为锐角，二面角大小为解法二：过点作，交于点，连结，平面，平面，即为二面角的平面角，可求得，（3）解法一：点，由（2）题面的一个法向量，设与平面所成角为，解法二：记，取中点，连结，取中点，连，易证点是中点，平面平面，平面，平面连结，由余弦定理知，设点到平面的距离为，又，求得，记直线与平面所成角为，（17）【2017年北京，理17，13分】为
8、了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机KS5U选出两人，记 为选出的两人中指标x的值大于17的人数，求的分布列和数学期望；（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小（只需写出结论）解：（1）50名服药者中指标的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标的值小于60概率为（2）的可能取值为：0，1，2，0
9、12（3）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。（18）【2017年北京，理18，14分】已知抛物线过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点解：（1）由抛物线过点，代入原方程得，所以，原方程为由此得抛物线焦点为，准线方程为（2）解法一：轴，设，根据题意显然有，若要证为中点，只需证即可，左右同除有，即只需证明成立其中，当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零设直线，联立有，考虑，由题
10、可知有两交点，所以判别式大于零，所以由韦达定理可知：，将代入上式，有即，所以恒成立，为中点，得证解法二：当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零设为点，过的直线方程为，设，显然，均不为零联立方程得，考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以由韦达定理可知：，由题可得横坐标相等且同为，且，在直线上，又在直线：上，所以，若要证明为中点，只需证，即证，即证，将代入上式，即证，即，将代入得，化简有恒成立，所以恒成立，所以为中点（19）【2017年北京，理19，13分】已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值解：（1
11、），在处的切线方程为，即（2）令，时，在上单调递减，时，即，在上单调递减时，有最大值；时，有最小值（20）【2017年北京，理20，13分】设和是两个等差数列，记 ，其中表示这个数中最大的数（1）若，求的值，并证明是等差数列；（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列解：（1）易知，且，下面我们证明，对且，都有当且时，且，因此，对且，则又，故对均成立，从而为等差数列（2）设数列与的公差分别为，下面我们考虑的取值对，考虑其中任意项（且），下面我们分，三种情况进行讨论1）若，则若，则，则对于给定的正整数而言，此时，故为等差数列若，则则对于给定正整数而言，此时，故为等差数列此时取，则是等差数列，命题成立2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，（，）因此，当时，此时，故从第项开始为等差数列，命题成立3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，（，），因此，当时，此时，令，下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，若，则取（表示不大于的最大整数），当时，此时命题成立若，则取，当时，此时命题也成立因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，综合以上三种情况，命题得证专心-专注-专业