《2022年专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题 5导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为DxfxfDxDxfxfDxDxfxfDxDCxfDCxxfBAxfBAxxf)(0)( )(0)( )(0)( .,)(.0)( .,)(.0)( 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论二、典例讲解 典例 1 讨论xaxxf)(的单调性
2、，求其单调区间解：xaxxf)(的定义域为),0()0 ,()0(1)( 222xxaxxaxf(它与axxg2)(同号 )I ）当0a时，)0(0)( xxf恒成立，此时)(xf在)0,(和),0(都是单调增函数，即)(xf的增区间是)0,(和),0(;II) 当0a时axaxxxf或)0(0)( axxaxxf00)0(0)( 或此时)(xf在),(a和),(a都是单调增函数，)(xf在)0,(a和), 0(a都是单调减函数，即)(xf的增区间为),(a和),( a;)(xf的减区间为)0,(a和),0(a.步骤小结： 1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），
3、3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并 变式练习1 讨论xaxxfln)(的单调性，求其单调区间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解：xaxxfln)(的定义域为),0()0(1)( xxaxxaxf ( 它与axxg)(同号 )I ）当0a时，)0(0)( xxf恒成立，此时)(xf在),0(为单调增函数，即)(
4、xf的增区间为),0(，不存在减区间;II) 当0a时axxxf)0(0)( ;axxxf0)0(0)( 此时)(xf在),( a为单调增函数，)(xf在),0(a是单调减函数，即)(xf的增区间为),( a;)(xf的减区间为),0(a 典例 2 讨论xaxxfln)(的单调性解：xaxxfln)(的定义域为),0()0(11)( xxaxxaxf (它与1)(axxg同号 )I ）当0a时，)0(0)( xxf恒成立（此时axxf10)( 没有意义）此时)(xf在),0(为单调增函数，即)(xf的增区间为),0(II ）当0a时，)0(0)( xxf恒成立，（此时axxf10)( 不在定义
5、域内，没有意义）此时)(xf在), 0(为单调增函数，即)(xf的增区间为),0(III)当0a时, 令axxf10)( 于是，当 x 变化时，)(),( xfxf的变化情况如下表：( 结合 g(x) 图象定号 )x)1,0(aa1),1(a)( xf0)(xf增减所以，此时)(xf在)1,0(a为单调增函数，)(xf在),1(a是单调减函数，即)(xf的增区间为)1,0(a;)(xf的减区间为),1(a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - -
6、- - 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出)( xf的零点，再其分区间然后定)( xf在相应区间内的符号一般先讨论0)( xf无解情况，再讨论解0)( xf过程产生增根的情况 （即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)( xf零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性 变式练习2 讨论xaxxfln21)(2的单调性解：xaxxfln21)(2的定义域为),0()0(11)( 2xxaxxaxxf , 它与1)(2a
7、xxg同号 .令)0(010)( 2xaxxf，当0a时，无解；当0a时,aaax1( 另一根不在定义域内舍去 ) i)当0a时，)0(0)( xxf恒成立（此时axxf10)( 2没有意义）此时)(xf在),0(为单调增函数，即)(xf的增区间为),0(ii)当0a时，)0(0)( xxf恒成立，( 此时 方程012ax判别式0, 方程无解 )此时)(xf在), 0(为单调增函数，即)(xf的增区间为),0(iii)当0a时,当 x 变化时，)(),( xfxf的变化情况如下表：( 结合 g(x) 图象定号 ) x)1, 0(aa1),1(a)( xf0)(xf增减所以，此时)(xf在)1,
8、0(a为单调增函数，)(xf在),1(a是单调减函数，即)(xf的增区间为)1,0(a;)(xf的减区间为),1(a小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果对于二次型函数（如1)(2axxg）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 典例 3 求1)(232xaxxaxf的单调区间解：1)(232xaxxaxf的定义域为R，)1)(13(123)( 22axaxa
9、xxaxf I) 当0a时，01)( xf)(xf在 R上单调递减，)(xf减区间为 R，无增区间II) 当0a时032a，)( xf是开口向上的二次函数，令)0(1,310)( 21aaxaxxf得, 因此可知（结合)( xf的图象）i)当0a时，21xxaxaxfaxaxxf3110)( ;3110)( 或所以此时，)(xf的增区间为),31()1,(aa和；)(xf的减区间为)31,1(aaii)当0a时，21xxaxaxfaxaxxf1310)( ;1310)( 或所以此时，)(xf的增区间为),1()31,(aa和；)(xf的减区间为)1,31(aa小结： 求函数单调区间可化为导函数
10、的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负 变式练习3 求12131)(23xaxxxf的单调区间解：)(xf的定义域为R，1)( 2axxxf)( xf是开口向上的二次函数，42aI)当220a时，0)( xf恒成立所以此时)(xf在 R上单调递增，)(xf增区间为R，无减区间II) 当220aa或时令212221,24,240)( xxaaxaaxxf得因此可知（结合)( x
11、f的图象）)(xf与)( xf随 x 变化情况如下表x),(1x1x),(21xx2x),(2x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - )( xf00)(xf增减增所以此时，)(xf的增区间为),24()24,(22aaaa和；)(xf的减区间为)24,24(22aaaa小结： 三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；
12、 然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号21, xx代替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0 不影响单调性只有在某区间内导数恒为 0 时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况总结 ：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同) ；第二 有没有 根（二次的看判别式） ，第三是有根是否为增根（在不在 定义根内；第四有根的确定谁大 ；第五看区间内导函数的正负号 （二次函数要看开口） 确记 要数形结合 ，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有 特别条件 ，不
13、少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单导数的应用含参函数的单调性讨论班级姓名精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 1. 已知函数( )lnaf xxx，求( )fx的单调区间 .解：221+,axafxxxx函数的定义域为（0，），0fxxa令得：000,(0,)000,
14、0(,)aaffxaafffxa若即，则x在上单调递增；若即，则由x得 x-a由x得 x0, 故在单调递增 .若 0, 即时，由得，11ax；由得，011xax或故在单调递减，在单调递增.若 , 即时，由得，11xa；由得，011xxa或故在单调递减，在单调递增.综上所述 ，当1a，单调增区为), 1(, 减区间是)1 ,0(;当时，的减区间是，增区间是；当时，在定义域上递增，单调增区为（不存在减区间）; 当时，的减区间是，在增区间是.3. 已知函数32( )331,f xaxxxaR, 讨论函数)(xf的单调性 .解：因为32( )331,f xaxxxaR，所以/2( )3(21)fxax
15、x (1) 当0a时，/( )3(21)fxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当1,2x时，/( )0fx；当1,2x时，/( )0fx；所以函数( )f x在1(,2上单调递增，在1,)2上单调递减；(2) 当0a时，/2( )3(21)fxaxx的图像开口向上，36(1)aI) 当136(1)0,aa时，时，/( )0fx，所以函数( )f x在 R上递增；II) 当0136(1)0,aa时，时，方程/( )0fx的两个根
16、分别为121111,aaxxaa且12,xx所以函数( )f x在11(,)aa，11(,)aa上单调递增，在1111(,)aaaa上单调递减；(3) 当0a时，/2( )3(21)fxaxx的图像开口向下，且36(1)0a方程/( )0fx的两个根分别为121111,aaxxaa且12,xx所以函数( )f x在11(,)aa，11(,)aa上单调递减，在1111(,)aaaa上单调递增。综上所述，当0a时，所以函数( )f x在1111(,)aaaa上单调递增，在11(,)aa，11(,)aa上单调递减；当0a时，( )f x在1(,2上单调递增，在1,)2上单调递减；当01a时，所以函数
17、( )f x在11(,)aa，11(,)aa上单调递精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 增，在1111(,)aaaa上单调递减；当1a时，函数( )f x在 R上递增；4. 已知函数 . 讨论的单调性.解： 因为1( )ln1af xxaxx的定义域为),0(所以222111( )(0,)aaxxafxaxxxx，令2( )1,(0,)h xaxxa x，则)()( xgxf与同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x) 的正负符号与
18、开口有关，因此可先分类型讨论：当0a时，由于110a1，)(xh开口向下 , 结合其图象易知(0,1)x，( )0h x , 此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；(1,)x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )fx单调递增 .当0a时，)(xh开口向上 ,但2x是否在定义域需要讨论：因10011aaa或所以i) 当1a时，由于11 0a1，)(xh开口向上 , 结合其图象易知(0,1)x，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递增 .(1,)x时，( )0h x , 此时( )0fx ，函数( )fx单调递减； ii)当10a时， g(x) 开口向上
19、且),0(,21xx，但两根大小需要讨论： a) 当12a时，12,()0 xxhx 恒成立，此时( )0fx ，函数( )f x在（0，+ ）上单调递减； b) 当1101 102aa 时， ，g(x) 开口向上且在（0，）有两根精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - (0,1)x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；1(1,1)xa时( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递增；1(1
20、,)xa时，( )0h x ， 此时( )0fx ，函数( )f x单调递减； c) 当121a时，1110a，g(x) 开口向上且在（0，）有两根)11,0(ax时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；)1 ,11(ax时( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递增；), 1(x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内， 再讨论两根大小注，结合 g(x)
21、的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二：10011aaa或i) 当0a时，由于110a1，)(xh开口向下 , 结合其图象易知(0,1)x，( )0h x , 此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；(1,)x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )fx单调递增 . ii)当1a时，由于110a0)令2( )2 (1)2(1)1g xaa xa x, 则)( xf与)(xg同号（ 1）当1a时，xxfxxfxgln)(,01)( ,1)(在定义域),0(上为增函数 (2) 当1a时 , 224(1)8 (1)121644(31)(
22、1)aaaaaaa当0113a时， g(x) 开口向上，图象在x 轴上方，所以0)(xg所以( )0fx，则( )fx在(0,)上单调递增精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当0131aa或,此时令( )0fx，解得)1(21,)1(2121aaaxaaax由于210)(100)1(2xxxgaaa开口向上且，因此可进一步分类讨论如下：i) 当1a时，120)(0)1(2x，xxgaa开口向下0 x，( )0fx10 xx ; (
23、 )0fx1xx则( )f x在1(31)(1)(0,)2 (1)aaaaa上单调递增，在1(31)(1)(,)2 (1)aaaaa上单调递减 ii)当103a时，( )0fx10 xx或2xx; ( )0fx21xxx则( )f x在1(31)(1)(0,)2 (1)aaaaa，1(31)(1)(,)2 (1)aaaaa上单调递增，在1(31)(1) 1(31)(1)(,)2 (1)2 (1)aaaaaaaaaa上单调递减综上所述， f(x)的单调区间根据参数a讨论情况如下表：增减增增增增（其中 )6. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+212kx(k0)，求f(x) 的单调区间 .解：
24、( 1,)x，(1)( )1x kxkfxx.12100,0kfxxxkk令得:（1）当0k时，( )1xfxx.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以，在区间( 1,0)上，( )0fx；在区间(0,)上，( )0fx.故( )fx的单调递增区间是( 1,0)，单调递减区间是(0,).（2）当2111kxk即时，考虑到 k0得，无解.（3）当21xx即1k时，2( )01xfxx故( )fx的单调递增区间是( 1,).（4）当
25、21xx即01k（0kQ）时，由得，10kxk；由得，110kxxk或故( )f x的单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.（5）当21xx即1k（0kQ）时，由得，10kxk；由得，110kxxk或故( )f x的单调递增区间是1( 1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk.综上知 : 当0k时，( )f x得单调递增区间是( 1,0)，单调递减区间是(0,)；当1k时，( )f x的单调递增区间是( 1,)；当01k时，( )fx的单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk当1k时，( )f x的单调递增区间是1( 1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -