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1、精选优质文档-倾情为你奉上学号：本科生毕业论文（设计）开题报告题目：泰勒公式及其应用 院 （系） 数学系 专 业 班 级数学与应用数学09级2班学 生 姓 名 王瑜 指导教师（职称） 胡纪华（副教授） 提 交 时 间 2013年 1 月 安康学院 数学 院（系） 数学与应用数学 专业 2013届本科生毕业论文（设计）开题报告姓 名王瑜学 号论文(设计)题目泰勒公式及其应用选题的意义：在初等函数中，多项式函数是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似
2、计算都有重要意义。泰勒公式是数学分析这门课中最基础最重要的内容之一，它是将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，是我们学习数学分析的必备知识，当然也是必须要牢固掌握的。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是解决其他数学问题的有利工具。. 我的研究将着眼于泰勒公式的及其几个常见的展开式，针对公式的应用讨论几个问题，使我们对泰勒公式及其应用有一个总体认识，帮助我们更好的应用泰勒公式解决相关问题，从而学好数学分析这
3、门课。研究综述（前人的研究现状及进展情况,应不少于1000字）：在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版了增量法及其逆一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而得到的。一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰勒也已函数的泰勒展开而闻名于后世。 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取 点将原式进行泰勒展开，如何选取 使得泰勒展开后
4、，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力， 许多研究者已在此领域获得许多研究成果. 例如： 1.天津中德职业技术学院的张雅琴在文章中着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与观后以及分的敛散性判断等方面的具体应用方法； 2.湖南科技学院数学系的唐仁献 在文章泰勒公式的新证明及其推广中在推广了罗尔定理的基础上重
5、新证明了 泰勒公式； 3. 洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、 陶容、 张永胜在所著的文章 泰 勒公式在计算及证明中的应用中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证 明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题; 4.湖北师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的定积分不等式的几种典型证法和潍坊高等 专科学校的陈晓萌所著的泰勒公式在不等式中的应用也都解决了用其他方法较难解决的问题。在2002年2012年十年的时间范围内，以“泰勒公式”和“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章。 在这些文献中作者在不等式或者等式的证明或者计算时都充分利用了泰勒 公式的定理和性质，但方法
6、新颖又恰到好处，值得借鉴和学习。 泰勒公式的应用是非常广泛的，对于泰勒公式的研究还在进行中，我相信通过今后的不断研究，泰勒公式还能发挥出更多的作用。研究内容（应不少于800字）：题目的叙述： 介绍泰勒公式及其几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了6个问题 利用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明不等式，利用泰勒公式证明中值公式，利用泰勒公式判断某些级数的敛散性，利用泰勒公式求某些微分方程的解，泰勒公式在近似计算中的应用。 问题一：利用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分
7、式的极限问题。满足下列情况时可考虑用泰勒公式求极限：用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁； （1）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式； （2）所遇到的函数展开为泰勒公式不难. 当确定了要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数。如果分母（或分子）是n阶无穷小的阶数，就将分子（或分母）展开为同阶麦克劳林公式。如果分子、分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。 问题二：利用泰勒公式证明不等式 （1）有关一般不等式的证明针对类型：适用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题。证明思路：写
8、出比最高阶导数低一阶的泰勒公式； 根据所给的最高阶导数的大小或上下界对展开式进行缩放。 （2）有关定积分不等式的证明 针对类型：已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号。证题思路：直接写出被积函数的泰勒展开式，然后根据题意对展开式进行缩放。 （3）有关定积分等式的证明针对类型：适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题。证明思路：作辅助函数，将在所需点处进行泰勒展开并对泰勒余项作适当处理。 问题三：泰勒公式在近似计算中的应用利用泰勒公式求极限时，宜将函数用带佩亚诺余项的泰勒公式表示；若用于近似计算，则应将余项以拉格朗日型表达，以便于误差的估计。问题四：利用泰勒公式证明中值公式
9、问题五：利用泰勒公式判断某些级数的敛散性当级数的通项表达式是不同类型函数是构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式。 问题六：利用泰勒公式求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函数或非初等函数,因而解这类方程我们可以设想其解表示成泰勒级数的形式，我们大胆设想可以表示成更为一般的幂级数形式，从而得出了解这类方程的一种重要方法。完成论文的条件及拟采用的研究方法和技术路线（途径）：1 翻阅相关书籍，资料2 通过网络查阅资料3 采用归纳法进行总结并找出规律从而引发猜想运用数学归纳法对猜想进行证明前期准备情况:在中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找相关论文的发表日期、刊名、作
10、者，到图书馆过刊室查找相关文献，到电子阅览室查找相关期刊. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，做好了毕业论文初期的准备工作. 具体采用了归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法.研究工作进度安排及各阶段预期达到的目标：2012-02-202012-10-20 为论文做前期准备2012-10-202012-12-01 完成论文选题2012-12-012012-12-07 完成论文开题报告，拟定论文提纲2012-12-072013-03-20 完成论文初稿2013-03-202013-04-10 指导老师修改论文初稿2013-04-102013-04
11、-20 完成论文第二稿，指导老师审阅2013-04-212013-04-30 论文定稿2013-05-012013-05-15 论文答辩主要参考文献：1 华东师范大学数学续编.数学分析（上册，第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2 张自兰、崔福荫.高等数学证题方法M.西安：陕西科学出版社，1985.3 周民强.数学分析习题演练（第一册）M.北京：科学出版社，20104 裴文礼.数学分析中的典型问题和方法M.北京：高等教育出版社，19985 王向东.数学分析的概念和方法M.上海：上海科学技术出版社，1989指导教师意见：（对本课题的深度、广度及工作量的意见和对论文（设计）结果的预测）签 名： 年月日教研室主任意见：签 名： 年月日专心-专注-专业