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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题一三角函数与解三角形必考点一三角函数图象与性质类型一学会踩点例1(本题满分12分)已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间x上的最大值和最小值解：(1)由已知得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2x(2分)sin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x(4分)sin.(6分)所以，f(x)的最小正周期T.(7分)(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数(10分)f，f，f.(11分)所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.(12分)评分细则：得分点及踩
2、点说明(1)第(1)问无化简过程，直接得到f(x)sin，扣5分每一步用公式正确就得分(2)化简结果错误，但中间某一步正确，给2分(3)第(2)问只求出f，f得出最大值为，最小值为，得1分(4)若单调性出错，只得1分(5)单调性正确，但计算错误，扣2分(6)若求出2x的范围，再求函数的最值，同样得分1已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解：(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，所以，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0
3、x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减类型二学会审题例2已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值审题路线图(1)(2)规范解答(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期为T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ.由，得k0，所以.(2)由(1)得fsin，所以sin.由，得0，所以cos.所以cossin sinsincoscossin.2(2016山东临沂一模)已知函数f(
4、x)2cos2x12cos xsin x(01)，直线x是f(x)图象的一条对称轴(1)试求的值；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值解：f(x)2cos2x12cos xsin xcos 2xsin 2x2sin.(1)由于直线x是函数f(x)2sin图象一条对称轴，sin1.k(kZ)，k(kZ)又01，kZ，从而k0，.(2)由(1)知f(x)2sin，由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cosx.g2cos，cos.又，sin，sin sinsincoscossin.类型三学会规范例3(
5、本题满分12分)已知函数f(x)a(ba)，其中向量a(cos x，0)，b(sin x,1)，且为正实数(1)求f(x)的最大值；(2)对任意mR，函数yf(x)，xm，m)的图象与直线y有且仅有一个交点，求的值，并求满足f(x)的x值考生不规范示例解：(1)f(x)a(ba)ab|a|2cos xsin x0cos2xsin 2xcos2xsin 2xsin又1sin1，f(x)的最大值为.(2)函数f(x)与直线y有且只有一个交点，f(x)的周期为，2，f(x)sin，sin，sin，x，4x，4x，4x或，即x或x.规范解答(1)abcos xsin x01sin 2x.(2分)f(x
6、)a(ba)ab|a|2sin 2xcos2xsin 2xsin2xcos 2x(4分)sin.1sin1，f(x)的最大值为.(6分)(2)函数f(x)的最大值为，yf(x)，xm，m)的图象与直线y有且仅有一个交点，(8分)函数f(x)的周期T为.，1.f(x)sin，sin，sin.(10分)x，2x，2x0，2x或，即x或x.(12分)终极提升登高博见方法诠释将三角函数化为yAsin(x)之后(1)令xk(kZ)，可求得对称轴方程(2)令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标(3)将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(4)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A
7、0，A0.限时规范训练一三角函数图象与性质(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(1)因为0，sin ，所以cos .所以f().(2)因为f(x)cos x(sin xcos x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.2已知向量a(cos x，sin x)，向量b(cos x，sin x)，f(x)ab.(
8、1)求函数g(x)f(x)sin 2x的最小正周期和对称轴方程；(2)若x是第一象限角且3f(x)2f(x)，求tan的值解：(1)g(x)f(x)sin 2xcos2xsin2xsin 2xcos 2xsin 2xsin，函数g(x)f(x)sin 2x最小正周期T.当2xk(kZ)时，x.函数g(x)f(x)sin 2x的对称轴方程为x(kZ)(2)由3f(x)2f(x)，得3cos 2x4sin 2x.3cos2x3sin2x8sin xcos x0.(3cos xsin x)(cos x3sin x)0.又x是第一象限角，cos x3sin x，故tan x.tan2.3(2016山东
9、枣庄质检)已知函数f(x)sinsin2cos2，xR(其中0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数f(x)的单调递增区间解：(1)f(x)sin xcosxsin xcos x(cos x1)212sin1.由1sin1，得32sin11，所以函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)4已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的
10、交点，O为坐标原点若OQ4，OP，PQ.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图象向右平移2个单位后得到函数yg(x)的图象，当x(1,2)时，求函数h(x)f(x)g(x)的值域解：(1)由条件知cosPOQ，所以P(1,2)由此可得A2，周期T4(41)12，又12，则.将点P(1,2)代入f(x)2sin，得sin1，2k，2k(kZ)因为0，所以，于是f(x)2sin.(2)由题意得g(x)2sin2sinx.所以h(x)f(x)g(x)4sinsinx2sin2x2sinxcosx1cosxsinx12sin.当x(1,2)时，x，所以sin(1,1), 即12si
11、n(1,3)于是函数h(x)的值域为(1,3)必考点二解三角形类型一学会踩点例1(本题满分12分)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD是ADC面积的2倍(1)求.(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解：(1)SABDABADsinBAD，(1分)SADCACADsinCAD(2分)因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.(4分)由正弦定理可得.(6分)(2)因为ABD与ADC等高，所以SABDSADCBDDC，所以BD.(8分)在ABD和ADC中，由余弦定理知，AB2AD2BD22ADBDcosADB，(9分)AC2AD2DC22ADDCcosADC，(10分)故A
12、B22AC23AD2BD22DC26.(11分)由(1)知AB2AC，所以AC1.(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，正确列出面积公式各得1分(2)得出AB2AC，得2分(3)将正弦比转化为边长比得2分，错误结果扣1分(4)第(2)问，正确得出BD的值得2分，面积比转化正确，值算错扣1分(5)正确利用余弦定理各得1分(6)两式相加消去角得1分1(2016高考全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bs
13、in Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.类型二学会审题例2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值审题路线图： 规范解答(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin
14、C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.2(2016高考山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值解：(1)证明：由题意知2，化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B.因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，从而sin Asin B2si
15、n C，由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立，故cos C的最小值为.类型三学会规范例3(本题满分12分)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积考生不规范示例(1)b2ac，abcos B(2)a2c2b2，acaS1规范解答(1)由题设及正弦定理可得b22ac.(2分)又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(6分)(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.(8分)故a2c22ac，得ca.所以ABC的
16、面积为Sac1.(12分)终极提升登高博见求解三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形中边角的互化若要把“边”化为“角”，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C”，若要把“角”化为“边”，常利用“sin A，sin B，sin C，cos C”等，然后利用三角形的内角和定理、大边对大角及三角函数等知识求出三角形的基本量.限时规范训练二解三角形(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC9
17、0.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解：(1)由已知得，PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30.故PA.(2)设PBA，则BCP，在RtBCP中，PBBCsin sin ，在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.2如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解：(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理
18、得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解：(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bcos2cossin 2C2sin Ccos C，2sin Ccos Csin2C解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C.又因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B.由正弦定理，得cb，又因为A，bc
19、sin A3，所以bc6，故b3.4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积解：(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，及a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.法二：由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin
20、 Bcoscos Bsin.所以ABC的面积为absin C.专题一规范滚动训练(一)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csin A.(1)求角C的大小；(2)若c2，且ABC的面积为，求ab的值解：(1)由题意得sin A，由正弦定理得sin A，又sin A0，sin C，又0C90，C60.(2)SABCabsin 60，ab4.又c2，由余弦定理得c2a2b22abcos 60，即4a2b22ab，即4(ab)22abab，(ab)243ab16，ab4.2已知函数f(x)2cos xcos
21、2sin(x1)sin cos x的部分图象如图所示(1)求的值及图中x0的值；(2)将函数f(x)的图象上的各点向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)2cos xcos2sin(x1)sin cos xcos xsin xsin cos xcos sin xsin cos(x)由题图可知，cos ，又0，所以.又cos，所以x0，所以x0.(2)由(1)可知f(x)cos，将图象上的各点向左平移个单位长度得到ycoscos的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍后得
22、到g(x)cos的图象因为x，所以x.所以当x0，即x时，g(x)取得最大值；当x，即x时，g(x)取得最小值.3已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m(2b,1)，n(2ac，cos C)，且mn.(1)若b2ac，试判断ABC的形状；(2)求y1的值域解：(1)由已知，mn，则2bcos C2ac，由正弦定理，得2sin Bcos C2sin(BC)sin C，即2sin Bcos C2sin Bcos C2cos Bsin Csin C，在ABC中，sin C0，因而2cos B1，则B.又b2ac，b2a2c22accos B，因而aca2c22accos ，即(a
23、c)20，所以ac，ABC为等边三角形(2)y1112cos A(cos Asin A)sin 2Acos 2Asin，由已知条件B知A.所以，2A.因而所求函数的值域为(1，4已知函数f(x)2sinsin，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，若A，c2，且锐角C满足f，求ABC的面积S.解：(1)由题意得，f(x)2sinsin2sinsin2sincossin，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)由(1)得，fsinsin C，所以sin C，又角C为锐角，所以C.由正弦定理，得，又c2，所以a2.又sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以ABC的面积Sacsin B221.专心-专注-专业