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1、精选优质文档-倾情为你奉上简单的三角恒等变换教学目标1运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换(重点)2公式的综合运用，根据三角变换特点，设计变换过程(难点)3应用半角公式求值时的符号问题(易混点)基础初探教材整理半角公式阅读教材P139P140例2以上内容，完成下列问题sin_，cos_，tan_，tan，tan.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，则tan .()解：(1).只有当2k2k(kZ)，即4k4k(kZ)时，cos .(2).当cos 1时，上式成立，但一
2、般情况下不成立(3).当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立(4).若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan 成立【答案】(1)(2)(3)(4)化简求值问题(1)已知cos ，且180270，求tan ；(2)化简(1sin )(1sin ).(1)cos tan tan 的值；cos tan tan 的值对于(1)的思考要注意符号的选择(2)灵活运用三角函数公式求解解：(1)法一：因为180270，所以90135，即是第二象限的角，所以tan 0，tan 2.法二：因为180270，即是第三象限角，sin ，tan 2.(2)原式1(sin sin )sin sin 12si
3、n cos sin sin sin sin sin sin sin sin 0.1解决给值求值问题的方法及思路(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用2三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：运用公式之后能否出现特殊角；运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；运
4、用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致再练一题1(1)已知sin ，cos ，则tan 等于()A2B2C2D(2)(2)化简(0，cos 0，所以的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限所以tan 0，故tan 2.【答案】C(2)原式.因为0，所以0，所以sin 0，所以原式cos .三角恒等式的证明(1)求证：12cos2cos 22；(2)求证：.(1)可由左向右证：先把左边cos2 降幂化为同角后整理可证(2)可先从左边表达式分母中升幂缩
5、角入手，再通过改变函数结构向右边转化解：(1)左边12cos2cos 212cos 22右边所以原等式成立(2)左边右边所以原等式成立三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立再练一题2已知0，0，且3sin sin(2)，4tan 1tan2，求证：.证明：3s
6、in sin(2)，即3sin()sin()，3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，2sin()cos 4cos()sin ，tan()2tan .又4tan 1tan2，tan ，tan()2tan 1，.三角函数在实际问题中的应用如图321所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？图321解：设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.0，0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性利用三角公式化简函数
7、式，写为f(x)Asin(x)b的形式，再讨论函数的性质解：(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2 x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即0，cos .【答案】C2已知cos ，则sin 等于()ABCD解：由题知，sin 0，sin .【答案】A3已知sin cos ，则sin 2的值等于()ABCD解：由sin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，所以sin 2.【答案】C4(2014山东
8、高考)函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_解：ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期T.【答案】5 化简. 解：1.学业分层测评一、选择题1若函数f(x)sin2 x(xR)，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数D最小正周期为的偶函数解：f(x)cos 2x.故选D【答案】D2(2016邢台期末)若sin()且，则sin等于()ABCD解：由题意知sin ，cos ，sincos .故选B【答案】B3(2016鹤岗一中期末)设acos 7sin 7，b，c，则有()AbacBabcCacbDcba解：as
9、in 37，btan 38，csin 36，由于tan 38sin 38sin 37sin 36，所以bac.故选A【答案】A4若sin()cos cos()sin 0，则sin(2)sin(2)等于()A1B1C0D1解：sin()cos cos()sin sin()sin 0，sin(2)sin(2)2sin cos 20.【答案】C5若函数f(x)(1tan x)cos x，0x，则f(x)的最大值是()A1B2C1D2解：f(x)(1tan x)cos xcos xsin xcos x2sin.0x，x0，aR)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求的值；(2)
10、设f(x)在区间上的最小值为，求a的值解：f(x)1cos 2xsin 2xcos 2xasina1.(1)由2x2k(kZ)，得xk(kZ)又0，当k0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x，故1.(2)由(1)知f(x)sina1，由x，得2x，2x，当2x，即x时，f(x)取得最小值为a1.由a1，得a.能力提升1(2016临沂高一检测)已知450540，则的值是()Asin Bcos Csin Dcos 解：因为450540，所以225270.所以cos 0，sin 0.所以原式sin .故选A【答案】A2(2016泉州质检)已知函数f(x)2cos2 ，g(x).(1
11、)求证：fg(x)；(2)求函数h(x)f(x)g(x)(x0，)的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值解：(1)证明：f(x)2cos2 1cos x，g(x)12sin cos 1sin x，f1cos1sin x，fg(x)，命题得证(2)函数h(x)f(x)g(x)cos xsin xcos，x0，x，当x，即0x时，h(x)递减，当x，即x时， h(x)递增函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，可知当x时，函数h(x)取到最小值小结cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos c
12、os sin cos2sin22cos2112sin22sin cos 给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示将已知条件转化而推出可用的结论其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值已知，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值(1)结合的取值范围，求解tan 的值；(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan 的式子
13、代入求值即可解：(1)由tan ，得3tan210tan 30，即tan 3或tan .又0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_解：f(x)sin xcos xsin，因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，所以2，所以.【答案】5(2015重庆高考)已知函数f(x)sin 2xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象当x时，求g(x)的值域解：(1)f(x)sin 2xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最小值为.(2)由条件可知g(x)sin.当x时，有x，从而ysin的值域为，那么ysin的值域为.故g(x)在区间上的值域是.专心-专注-专业