立体几何二面角(共21页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，(I)当=时,求证AB1丄平面A1BD;(II)当二面角AA1DB的大小为-时,求实数的值.2、3、如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且 （）求证：平面； （）若，求二面角的余弦值4、如图，三棱锥PABC中，PA 平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点 (1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值 (2)求三棱锥AEBC的体积 5、在四棱锥PABCD中，已知PB底面ABCD，BCAB，ADBC，AB=AD=2，CDBD，异面直线PA，CD所成角等于60（1）求证：面PCD面

2、PBD；（2）求直线PC和平面PAD所成角的正弦值； （3）在棱PA上是否存在一点E使得二面角ABED的余弦值为？6、已知四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值7、在四棱锥中，平面平面，且.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.8、如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点.()证明：B1C1CE；()求二面角B1CEC1的正弦值；9、

3、在如图所示的四棱锥中，已知平面为的中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的余弦值.11、如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面（1）证明：；（2）若，求二面角余弦值12、如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，APD=（I）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角BPCD的余弦值13、如图，在四棱柱中，底面，且 ，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.（）证明：平面；（）若E是棱AB的中点，求二面角的余弦值；（）求三棱锥的体积的最大值.二、 选择题三、 14、正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则

4、异面直线BE和SC所成的角为()A30 B45 C60 D9015、已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m，mn，则n16、下列说法正确的是 （ ）A直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线B直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线C直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线D直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M 三、填空题17、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD以上四个命题中，正确命题的

5、序号是 18、设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）若l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直上面命题中，其中错误的个数是19、已知l、m、n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：若lm，nm，则nl；若l，m，则lm；若l，则l若，=l，则l，其中真命题是（填序号）20、设a，b为两条直线，为两个平面，给出下列命题：（1）若ab，a，则b；（2）若a，b，则ab；（3）若ab，b，则a；（4）若a，a，则其中正确命题

6、的个数是21、如图在直三棱柱ABCA1B1C1中ACB=90，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是四、综合题22、如图，四棱锥中，底面，是的中点（1）求证：；（2）求证：面五、计算题23、如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小。 参考答案一、简答题1、解：（）取的中点为，连结在正三棱柱中面面， 为正三角形，所以， 故平面 以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，2分 则， 所以， 因为， 所以，又， 所以平面6分（）由得，所以， 设平面的法向量，平面的法向量， 由得平面的一个法向量为， 同理

7、可得平面的一个法向量， 由，解得，为所求12分2、3、解：（）如图，过点作于，连接.平面平面，平面平面平面于平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面 5分（）连接由（），得为中点，又，为等边三角形，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为.由得令，得.设平面的法向量为.由得令，得.故二面角的余弦值是. 10分4、(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF；cosAEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.8分(2)因为E是PC中点，所以E到平面AB

8、C的距离为PA1，VAEBCVEABC(22)1.12分5、【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）分别以BA，BC，BP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由CDPD，得C（0，4，0），异面直线PA和CD所成角等于60，得P（0，0，2）求出平面PCD的法向量和平面PBD的法向量，由此能证明面PCD面PBD（2）求出=（0，4，2）和平面PAD的法向量，由此能求出直线PC和平面PAD所成角的正弦值（3）设=m+（1m）=m（2，0，0）+（1m）（0，0，2）=（2m，0，22m），0m1，求出平面ABE的法向量

9、和平面DBE的法向量，由已知条件利用向量法能求出E（，0，）【解答】（1）证明：分别以BA，BC，BP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），D（2，2，0），设P（0，0，p），p0，C（0，c，0），=（2，2c，0），=（2，2，p），CDPD，=（2，2c，0）（2，2，p）=4+2（2c）=0，解得c=4，C（0，4，0）=（2，0，p），异面直线PA和CD所成角等于60，=（2，0，p）（2，2，0）=4=，由p0，解得p=2，P（0，0，2）=（0，4，2），=（2，2，2），=（0，0，2），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2）

10、，设平面PBD的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，0），=11+0=0，面PCD面PBD（2）解：=（0，4，2），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面PAD的法向量=（u，v，t），则，取u=1，得=（1，0，1），设直线PC和平面PAD所成角为，sin=|cos|=，直线PC和平面PAD所成角的正弦值为（3）解：设=m+（1m）=m（2，0，0）+（1m）（0，0，2）=（2m，0，22m），0m1，平面ABE的法向量=（0，1，0），设平面DBE的法向量=（x1，y1，z1），则，取z=m，得=（m1，1m，m），设二面角ABED的平面角为，二面角ABED的余弦值

11、为，cos=，整理得3m28m+4=0，由0m1，解得m=，E（，0，）【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面角、面面垂直、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力6、【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，（2）设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值【解答】解：（1）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A

12、（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），B（0，2，0），M（0，1，），所以=（1，1，0），=（0，2，1），|=，|=，=2，cos（，）=，（2）=（1，1，0），=（1，1，0），=（0，1，），设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即，令x=1，则y=1，z=2，所以=（1，1，2），则cos，=，设直线BC与平面ACM所成的角为，则sin=sin，=cos，=【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力7、解：（）证明： 作于， CE与AD必相交，又平面平面， 平面PAB， 又， 平面. 5分（）（方法一

13、：综合法）连AC，由已知得AC=2，从而，又，平面，从而平面PCD平面PAC作于，于，连，设则所求的二面角为，所以. （法二：向量法（略） 8、方法一：如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0). 3分(1)证明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0， 所以B1C1CE. 5分(2)解(1，2，1). 设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1). 8分由(1)知，B

14、1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量. 10分于是cosm， 11分从而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值为. 12分方法二(1)证明因为侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.经计算可得B1E，B1C1，EC1，从而B1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E，2分又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1CE. 5分(2)解过B1作B1GCE于点G，连接C1G.由(1)知，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得

15、CEC1G，所以B1GC1为二面角B1CEC1的平面角. 9分在CC1E中，由CEC1E，CC12，可得C1G.在RtB1C1G中，B1G，所以sin B1GC1，即二面角B1CEC1的正弦值为. 12分9、（）详见解析（）详见解析（）【解析】试题分析：（）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（）先证明线面垂直，再到面面垂直；（）找到ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可试题解析：（）解：取PA的中点M，连接BM，ME且BC且 MEBC且 ME=BC 四边形MEBC为平行四边形， BMECE，CE面PAB，BM面PAB，CE面PAB

16、（）证明：平面， 又， 平面 又平面所以平面平面 （）解：取中点，则，由（）知平面则平面所以为直线与平面所成的角 ， 即直线与平面所成角的正切值为 考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定10、（）详见解析（）详见解析（）【解析】试题分析：（）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（）先证明线面垂直，再到面面垂直；（）找到ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可试题解析：（）解：取PA的中点M，连接BM，ME且BC且 MEBC且 ME=BC 四边形MEBC为平行四边形， BMECE，CE面PAB，BM面PAB，

17、CE面PAB （）证明：平面， 又， 平面 又平面所以平面平面 （）解：取中点，则，由（）知平面则平面所以为直线与平面所成的角 ， 即直线与平面所成角的正切值为 考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定11、解：（1）因为，,故又底面，可得所以面. 故（2）过作交于，连接，因为底面，则为二面角的平面角.在中，则所以而 ，在中，则所以12、解：（）证明：因为四棱锥PABCD的底面是矩形，所以CDAD，又侧面PAD底面ABCD，所以CDPA又APD=，即PAPD，而CDPD=D，所以PA平面PCD因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD.4分（）解：如图，以AB为x

18、轴，AD为y轴建立空间直角坐标系Axyz设AB=2，P（0，a，b）（a0，b0），则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）由PAPD，=（0，a，b），=（0，2a，b），得a（2a）+b2=0因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2a）2+b2 由，得a=1，b=1.6分由（）知，=（0，1，1）是面PCD的一个法向量设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则=0，=0，又=（2，1，1），=（0，2，0），所以取=（1，0，2）8分因为cos，=，又二面角BPCD为钝角，所以二面角BPCD的余弦值为.12分13、（）证明：因为是棱柱，所以平面平面

19、.又因为平面平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （）解：因为底面，所以，两两垂直，以A为原点，以，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系. 则，所以 ,.设平面的法向量为由，, 得令,得. 又因为平面的法向量为， 所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （）解：过点F作于点,因为平面平面，平面,所以平面,所以 .因为当F与点重合时，取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. 二、选择题14、C15、B 16、B 三、填空题17、【考点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定【专题】阅读型【分析】先把正方体的平面展开图

20、还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则ABEF，EF与MN为异面直线，ABCM，MNCD，只有正确故答案为【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题18、2【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；数形结合；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】由面面平行的判定说明（1）正确；由线面平行的判定说明（2）正确；由题意得到与所成角可能是锐角、直角或钝角说明（3）错误；由线面垂直的判定说明（4）错误【解答】解：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条

21、直线，由面面平行的判定可得平行于，（1）正确；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则由线面平行的判定说明l和平行，（2）正确；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直，错误，与所成角可能是锐角、直角或钝角；（4）若l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直，错误，只有l与内的两条相交直线垂直时，才有直线l与垂直错误命题的个数是2个故答案为：2【点评】本题考查线面之间的位置关系，解题的关键是熟练应用线面平行和垂直的判定定理，是基础题 19、（填序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】根据异面直线所成角的定义可判断；利用面面平行的性质知两平面内直

22、线平行或异面判断；根据线面平行的判定定理的条件判断；借助图形，由面面垂直可得线面垂直，进而的线线垂直，再利用线面垂直的判定定理判断【解答】解：若lm，nm，n与m成90角，由异面直线所成角的定义可知，n与l成90角，则nl，为真命题；若l，m，则lm或l与m异面，是假命题；若lm，m，则l或l，是假命题；若，=l，如图，在平面内取点O，过O在内分别作OA，OB垂直于与的交线和与的交线，则由面面垂直的性质得OA，OB，得：OAl，OBl，有l，故正确故答案为：【点评】本题考查了面面垂直的判定与性质，考查了面面平行的判定及线线垂直的判定，考查了学生的空间想象能力，是中档题20、2个【考点】空间中直

23、线与平面之间的位置关系【专题】证明题【分析】（1）由线面垂直的定义可得：若ab，a，则b是正确的（2）若a，b，则a与b可能平行、可能相交或者可能异面（3）若ab，b，则a或者a（4）由面面平行的定义可得此结论是正确的【解答】解：（1）由线面垂直的定义可得：若ab，a，则b是正确的，所以（1）正确（2）若a，b，则a与b可能平行、可能相交或者可能异面，所以（2）错误（3）若ab，b，则a或者a所以（3）错误（4）由面面平行的定义可得：若a，a，则是正确的，所以（4）正确故答案为2个【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握线线、线面、面面的平行或者垂直的判定定理、性质定理21、【考点】异面直线及其所

24、成的角【专题】计算题【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值【解答】解：A1C1AC，异面直线A1B与AC所成角为BA1C1，易求，故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题四、综合题22、证明：（1）底面，又，故面面，故 （2）证明：，故是的中点，故由（1）知，从而面，故易知，故面 五、计算题23、解法一：（1）证明：，分别是线段，的中点，。又平面，平面，平面。（2）解，为的中点，且，又底面，底面，。又四边形为正方形，。又，平面。又平面，。又，平面。（3）平面，平面，平面平面，平面，平面平面=，平面，分别是线段的中点，平面。平面，平面，就是二面角的平面角。在中，所以二面角的大小为。解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，。（1）证明：，平面，且平面，平面。（2）解：，。又平面。（3） 设平面的法向量为，因为，则取。又因为平面的法向量为，所以，所以二面角的大小为。 专心-专注-专业