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1、精选优质文档-倾情为你奉上求数列通项公式的方法数列是高考中的重点考察内容之一，每年高考都会考察，小题一般较易，大题一般较难。数列的通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接规律法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：（1）、，； （2）、 ，；（3）、，；（4）、1,2,5,8,12（5）、二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式.已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 已
2、知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列， 三、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、递推式为a=p a+q（p1，pq0）型，通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k。例3、数列a满足a=1，a=a+1（
3、n2），求数列a的通项公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，数列 a2是以为公比，1为首项的等比数列a2=（） a=2（）说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列 a2，从而达到解决问题的目的。练习、1数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。解：由得设a，比较系数得解得是以为公比，以为首项的等比数列 2、已知数列满足，且，求解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型2、递推式为（p、q为常数）型，可同除，得
4、，令从而化归为（p、q为常数）型例4已知数列满足， ，求解：将两边同除，得设，则令条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列因,3、递推式为解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例5:设数列：，求.解：令化简得：所以解得 ，所以又因为，所以数列是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列4、递推式为解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。例6
5、:设数列：，求.5. 递推式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例7:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：
6、数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。四、累加（乘）法1、递推式为型数列，我们可以根据递推公式，写出n取1n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。例8. 若在数列中，求通项。解析：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =2、递推式为型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。例9.在数列中，（），求通项。解析：由已知，又，所以=五、取倒变换、对数变换、换元变换法1、取倒变换：递推式为的关系，可在等式两边同乘以先求出或递推式为类型一般是等式两边取倒数后转化为求解例10.设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.
7、2、对数变换：递推式为类型，一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解例11 、 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列，.， 变式:1.已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列满足时，求通项公式。4、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。5、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。3、换元变换：递推式中含有
8、根号、指数、对数等一般是通过换元后转化为求解例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例13. 已知数列满足，求 。解析：设， ， ，总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。六、阶差法（对无穷递推数列）例14 已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得 则 故所以由，则，又知，则，代入
9、得。所以，的通项公式为七、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例15、（2003高考广东）设a 0为常数，且a n3 n -12 a n -1（n为正整数）证明对任意n1 ， a n 3 n（1）n -12 n （1）n 2 n a 0证明： a n3 n -12 a n -13 n -12（3 n -22 a n -2） 3 n -123 n -22 2（3 n -32 a n -3） 3 n -123 n -22 2 3 n -32 3（3 n -42 a n -4） 3 n -123 n -22 23 n 3 （1）n -12 n -1（1）n 2 n a 0（1）n 2 n
10、a 0 前面的n项组成首项为3 n -1，公比为的等比数列，这n项的和为： 3 n（1）n -12 n a n 3 n（1）n -12 n （1）n 2 n a 0八、数学归纳法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例16.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1） 写出与之间的关系式（）。（2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。（3） 略解析：（1） 是线段的中点， （2），=，=，猜想，下面用数学归纳法证明 当n=
11、1时，显然成立； 假设n=k时命题成立，即 则n=k+1时，= = 当n=k+1时命题也成立， 命题对任意都成立。变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 九：特征根法。1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程叫做数列的特征方程，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.例17、已知数列满足：求解：作方程 当时，数列是以为公比的等比数列.于是2.对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的
12、通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例18、（1）已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（特征根法：这种方法一般不用于解答题）：数列：， 的特征方程是：。 ,。又由，于是 故解法二（待定系数迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。十、不动点法 不动点法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。例 求函数的不动点。解：令，解出，即4是函数的一个不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在
13、变形求解。类型一：形如例 19、 已知数列中，求数列的通项公式。解：因为，所以，两边都减去不动点得，所以可以得到，设，所以，数列为等比数列，故，所以。类型二：形如分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例20 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。1、用函数的不动点求数列的通项公式：如果给出的数列的递推式中不含有自变量的函数，那么就可以考虑用函数的不动点法：首
14、先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。2、定理1：若函数，是函数的一个不动点，即，如果数列满足递推关系，则。3、 定理2：设，数列满足递推关系，且初始值，如果函数有两个相异的不动点，则，这里，也就是说数列是以为公比的等比数列；如果函数只有唯一的不动点，则，这里，即数列是以为公差的等差数列。例21、已知数列满足，求。解：因为所给数列的递归函数对应的不动点的方程为，解为，所以数列是以为公比的等比数列，因为，所以，再解出。例22、 设数列的首项，求的通项公式。解：因为所给数列的递归函数对应的不动点的方程为，解为，把递归式的两边都减去
15、不动点1得到，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，得。例23、 已知，且，求数列的通项公式。解：因为所给数列的递归函数对应的不动点的方程为，解方程得到函数的不动点为，所以， ，两式相除得，再经反复迭代得，因此可以解出数列的通项公式。解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。练习、1、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 2、已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？3、（2005，重庆,文,22,本
16、小题满分12分）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和十一、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例24. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即（1）又因为所以.即（2）由（1）、（2）得：， 十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例25、（04山东数学竞赛）、已知数列满足，求分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可解：，从而；即数列是以3为周期的周期数列又，所以例26、若数列满足；若，则的值为（ ）A B C D解析：紧扣分段函数的定义，代入a
17、1=求得a2=，并依次求出故此数列是周期为3的周期性数列，故故选B十三、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.例27、已知数列满足（n），且有条件2）.解：由得：对n，再由待定系数法得：十四、循环法数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出例28在数列中，解：由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6333，十五、开方法对有些数列，可先求再求2bn=an+an+1,a2n+1=bnbn+1.例29、两个数列它们的每一项都是正整数，且对任意自然数、成等差数列，、成等比数列，解：由条件有： 由式得：把、代入得：，变形得）.0，.是等差数列.因故小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.专心-专注-专业