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1、第 13 章三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系第 1 课时三角形中的边角关系(一)教学目标【知识与技能】1.认识三角形 ,理解三角形的边角关系.2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高.3.理解等腰三角形及其相关概念.【过程与方法】1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识.重点难点【重点】理解并掌握三角形的三
2、边关系.【难点】已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围.教学过程一、创设情境 ,导入新知教师多媒体出示:教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识 ,如图所示 .教师活动 :通过播放图片 ,引导学生认识三角形,并提出 :图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性?学生活动 :回顾小学学过的三角形,与同桌交流 ,找出图 (b)中的三角形 .教师归纳 :由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形.教师多媒体出示:精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
3、纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么 ?生:这个三角形的顶点有三个,分别是 A、B、C.师:这个三角形的边呢?生:边有三条 ,分别是 AB、BC和 CA.师:对.我们把这个三角形记作“ ABC ”, 读作 “ 三角形 ABC ”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边 AB对着 C, 记作 c;边 BC对着 A,记作 a;边 CA 对着 B,记作 b.也就是说 ,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用 “ ” 加上一个大写字母表示.师:按边分类时 ,你知道
4、的都有哪些三角形?生:等边三角形 .师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢?生:等腰三角形 .师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢?学生思考 .师:我们把这类三角形叫做不等边三角形.教师多媒体出示:教师板书 :三角形 (按边分 )师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗?生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边.师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.二、共同探究 ,获取新知师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系.学生
5、操作 .生:任意两边之和大于第三边.师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢?生:由所有两点之间的连线中线段最短得到.教师板书 :三角形中任何两边的和大于第三边.师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书 )如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗?学生思考 ,讨论 .师:不等式 a+bc,你把 a 移到不等式的右边,这个不等式如何表示?生:bc-a.师:对,也就是 c-ab,由此你能得到什么启示?学生思考 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
6、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 生甲 :同样的道理 ,由两个三角形两边之和大于第三边,可以得到两个三角形两边之差小于第三边 .生乙 :我们只要验证 “ 三角形中任何两边的和大于第三边” 和“ 三角形中任何两边的差小于第三边 ” ,因为第二个条件由第一个得到,所以我们只要满足第一个条件即可.下面请大家看一个例题 .教师多媒体出示:【例】等腰三角形中 ,周长为 18cm.(1)如果腰长是底边长的2 倍,求各边长 ;(2)如果一边长为4cm,求另外两边长.师:请同学们思考后回答.生:设等腰三角形的底边
7、长为xcm,则腰长为2xcm,根据题意 ,得x+2x+2x=18,解方程得x 的值 ,即底边长 ,然后求出腰长 .师:当已知一边长为4cm,但并未指明它是腰还是底时,应该怎么求另外两边的长呢?生:要分 4cm 是腰长和底边长两种情况来讨论.师:对.还要注意对得到的三条线段能否构成一个三角形进行讨论.教师找两名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正 .解:(1)设等腰三角形的底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意 ,得x+2x+2x=18.解方程 ,得x=3.6.所以三角形的三边长分别为3.6cm、 7.2cm、 7.2cm.(2)若底边长为4cm,设腰长为xcm,则有2x+4=18.解方
8、程 ,得x=7.若一条腰长为4cm,设底边长为xcm,则有2 4+x=18.解方程 ,得x=10.因为 4+44,2+43,3+42.师:你能不能用一个判断的结果得到这三条线段能否构成三角形?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 生: 师:2+4 一定大于3,3+4 一定大于 2,因为长度为4 的这一条边长已经大于3 了,同样的长度为 3 或 4 的一条边长已经大于2 了.生:只要看最长的一边是否小于其他两边之和.师:很好 .四、课堂
9、小结师:今天我们又学习了什么内容?生:我们学习了三角形的分类,等腰三角形的底边和腰,三角形三边的关系等.教师补充完善.教学反思通过本节课的学习,使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并让学生知道怎样判断三条线段是否能构成三角形.在判断三条线段能否构成三角形时,我们不对任意两边之和是否大于第三边、任意两边之差是否小于第三边一一验证,因为后面的式子可由前面的变形得到 .事实上 ,只要看最长的一边是否小于其他两边之和即可,因为当这个条件成立时,其他的两边之和大于第三边的式子也成立.通过这些方法的探讨使学生养成积极思考、简化计算的习惯 .第 2 课时三角形中的边角关系(二)教学目标【知识与技能
10、】1.掌握三角形的内角和定理.2.能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】经历实验探究,得出三角形的内角和定理.【情感、态度与价值观】1.通过带领学生探究三角形的角的数量关系,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.2.发展学生的合情推理能力,使学生养成独立思考的习惯.重点难点【重点】三角形的内角和定理.【难点】三角形内角和定理的证明过程.教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课我们把三角形按边来分类,并研究了三角形三边之间的关系,同学们还记得三角形的三边之间是什么关系吗?生:记得 .三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.师:对.那么如果按角来分类呢?生:分
11、为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 师:你能说说它们分别是怎样定义的吗?生:能.三角形中 ,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 ,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:在介绍等腰三角形时,我们对它的边进行了区分,分为腰和底边 .直角三角形中,我们怎么对它的边长加以区分呢?生:直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫做斜边.师:对.我们分别给它
12、们取一个名字,这样以后就容易指出了.直角三角形可以写成“ RtABC ”,我们把不是直角三角形的归为一类,称为斜三角形 ,所以斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形 .二、共同探究 ,获取新知师:我们再回忆一下,在一个三角形中三个内角之间有什么关系?生:三角形的三个内角和是180 .师:你还记得在小学时,我们是怎样知道这个关系的吗?生:用折叠和剪拼的方法得到的.师:好.请同学们拿出一张纸,画出一个三角形,并将它剪下来 .学生交流讨论后操作.师:将纸片三角形的一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行,然后把另外两角相向对折 ,使其顶点与已折角的顶点嵌合.学生操作 .教师多媒体出示:师:这样我
13、们就得到了什么结论?生:三角形的内角和是180 .教师多媒体出示:师:现在请同学们自己用剪拼的方法证明一下,看你们能不能得到这样的结果.学生操作 .生:能得到同样的结论:三角形的内角和是180 .师:很好 !你们还有什么方法来证明这个结论吗?生:用量角器量 .师:对,你们在纸上画出一个三角形,然后用量角器量它的三个内角,看它们有什么关系?学生操作后回答.师:同学们思考一下一个三角形中最多有几个钝角?学生计论后回答:一个.师:你是怎样得出的结论?生:因为一个三角形的内角和是180 ,钝角是大于90 的角 ,若有两个钝角 ,三个内角的和就超过 180 了,所以至多有一个钝角.精品资料 - - -
14、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 师:最多有几个直角呢?生:一个 .师:为什么呢 ?生:与钝角情况类似,若有两个直角 ,它们的和就已经是180 了,再加上第三个角的度数,内角和就超过180 了 .师:你分析得很好 !三、巩固练习 ,加深理解教师多媒体出示:【例】已知 :如图所示 ,ABC中,BDAC,垂足为 D,ABD=54 ,DBC=18 .求 A和 C的度数 .师:怎么求 A 的大小 ?把它看作哪个三角形的内角求?生:A 是ABD 的内角 ,因为
15、BDAC,所以 BDA=90 ,ABD 的度数已知 ,所以用三角形的内角和定理就可以求出A 的大小 .师:很好 !C 的度数怎么求呢?把它作为哪个三角形的内角来求呢?生:可以放在 ABC中求,也可以放在 DBC中求 .师:对.当 C 作为ABC的内角时怎么求呢?生:A+ABD+DBC+ C=180 ,所以 C=180 -A-(ABD+DBC),然后把各个角的度数代入即可 .师:当 C作为 DBC的内角时怎么求呢?生:因为 BDAC,所以 BDC=90 ,BDC+ DBC+C=180 ,所以 C=180 -BDC-DBC,然后把各角的度数代入即可.教师板书计算过程.解:由于 BDAC,(已知)所
16、以 ADB=CDB=90 .在ABD中,A+ABD+ADB=180 ,(三角形的三个内角和等于180 )ABD=54 ,ADB=90 ,(已知 )A=180 - ABD-ADB=180 -54 -90 =36 .在ABC中,C=180 - A-(ABD+DBC)=180 -36 -(54 +18 )=72 .四、课堂小结师:我们今天学习了什么内容?学生回答 ,教师补充完善 .师:你还有什么疑问吗?学生提问 ,教师解答 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - -
17、- - - - - - 教学反思本节课学生通过自主探索、合作交流、认真探究,从而证明出三角形的内角和等于180 ,并按照 “ 探究性学习方式” 的三个层次要素设计学生的学习过程: “ 回忆旧知、引入新知”, “分析交流、探索规律”, “学以致用、提高能力” ,使整节课既有规律性又有艺术性.教学过程中 ,不浪费任何一个促使学生动手操作、实践获得真知的机会,以师生互动、生生互动使学生主动自觉地发现结果,找到方法 ,培养学生的操作、观察,分析能力和思维的全面性.第 3 课时三角形中的边角关系(三)教学目标【知识与技能】1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的
18、高、中线与角平分线.2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.重点难点【重点】三角形的三条高、中线和角平分线的画法.【难点】钝角三角形三条高的画法.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.
19、生甲 :在三角形中 ,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.生乙 :在三角形中 ,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.生丙 :在三角形中 ,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:很好 !我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗 ?生:记得 .三角形三个内角的和等于180 .师:很好 !这节课我们继续学习三角形的有关知识.二、共同探究,获取新知师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外 ,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗 ?生:角平分线 .师:什么是角平分线呢?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
20、 - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 生:三角形中 ,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 .师:还有什么元素 ?生:中线 .师:什么是中线呢 ?生:三角形中 ,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.师:还有什么元素呢?生:高.师:什么是高呢 ?生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.学生熟记定义 .师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?生:能.师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.学生操作 ,教师巡视 .教师在黑板上演示画一个角的平分线.1=2,BD 是ABC
21、的平分线 .师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.学生操作 ,教师巡视 .教师在黑板上演示画一条中线.BD=DC,AD是 BC边上的中线 .师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.学生操作 ,教师巡视 .教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.锐角三角形BC边上的高直角三角形BC边上的高钝角三角形BC边上的高精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?学
22、生思考 ,交流 .生:能.师:你是怎样做的?生:先作出一个三角形,把它裁剪下来 ,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线 .师:你太聪明了 .大家现在都知道怎么作的吗?生:知道 .师:那么请同学们动手做一做.学生操作 .师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?学生思考 ,交流 .生:能.师:你是怎么做的?生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.师:现在请大家动手作出中线.学
23、生操作 .师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?学生讨论 .生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.师:很好 ,请大家动手做一做.学生操作 ,教师巡视指导.三、作图练习,理解定义师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.学生操作 ,教师巡视指导.师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线 .学生操作 ,教师巡视指导.师:请同学们完成教材上“ 操作 ” 的第 1 题.学生操作 ,教师巡视指导,最后集体订正.师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中
24、,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下 ,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?生甲 :三条角平分线交于一点.生乙 :三条中线交于一点.生丙 :三条高交于一点.师:很好 !之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句: “ 不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”, “三角形中 ,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线” ,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“ 整数和分数统称为有理数” 是有理数的定义 .前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范
25、围.给出定义 ,就是在于明确研究对象是什么.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 四、课堂小结师:本节课我们学习了什么内容?生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.教学反思本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的 ,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻 .这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的 ,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是 “ 线段 ” ,而不是以往的 “ 射线 ” . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -