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1、精选优质文档-倾情为你奉上（备战中考）2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）反比例函数知识讲解1、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k0k0时，
2、函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；当kS2S3 C. S1=S2S3 D. S1=S204. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=(k0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果ABC的面积为3.则k的值为 . 【答案】6或6.5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y（x0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y（x0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则
3、点P3的坐标为 。 【答案】（1，1）（第5题） （第6题） （第8题）6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的轴于点，斜边,反比例函数的图像经过的中点，且与交于点,则点的坐标为 . 【答案】7. (2011绍兴，5分) 若点是双曲线上的点，则 （“”,“ 8. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_. 【答案】10（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（，3），ABx轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以点C为
4、圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是_（填“相离”、“相切”或“相交”） 【答案】相交11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 .x112. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数k=_.（第10题） （第13题） （第17题） （第18题）13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（）的圆内切于ABC，则k的值为 【答案】414. （
5、2011广东省，6，4分）已知反比例函数的图象经过（1，2）则 【答案】215. (2011江苏南京，15，2分)设函数与的图象的交战坐标为（a，b），则的值为_16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数（k是常数，k0）的图像经过点(1，2)，那么这个函数的解析式是_ 【答案】17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（1，0），B（0，2），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k=_【答】1218. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A在双曲线上，ABx轴于B，且AOB的面积SAOB=
6、2，则k=_ 【答案】419. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 。 【答案】k-20（2011湖南常德，3，3分）函数中自变量的取值范围是_. 【答案】21. （2011湖南永州，7，3分）若点P1(1，m)，P2（2，n）在反比例函数的图象上，则m_n(填“”、“”或“=”号） 【答案】22. （2011内蒙古乌兰察布，17，4分）函数 , 的图象如图所示，则结论： 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) 当时， 当 时， BC = 8 当 逐渐增大时，随着的增大而增大，随着 的增大而减小其中正确结论的序号
7、是 . 【答案】23. （2011广东中山，6,4分）已知反比例函数的图象经过（1，2）则 【答案】224. （2011湖北鄂州，4，3分）如图：点A在双曲线上，ABx轴于B，且AOB的面积SAOB=2，则k=_ 【答案】4 （第22题图） （第24题图） （第25题图） （第26题图）25. （2010湖北孝感，15，3分） 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 . 【答案】226. （2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB轴，将ABC沿A
8、C翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是. 【答案】2三、解答题1. （2011浙江省舟山，19，6分）如图，已知直线经过点P（，），点P关于轴的对称点P在反比例函数（）的图象上（1）求的值；（2）直接写出点P的坐标；（3）求反比例函数的解析式【答案】（1）将P（-2，a）代入得a=-2(-2)=4; (2) P（2，4） （3）将P（2，4）代入得4=，解得k=8，反比例函数的解析式为3. （2011广东广州市，23，12分）已知RtABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y = 的图象上，且sinBAC= （1）求k的值和边AC的长； （2）
9、求点B的坐标【答案】（1）把C（1，3）代入y = 得k=3设斜边AB上的高为CD，则 sinBAC=C（1，3） CD=3， AC=5 图1 图2（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有：AD=4，AO=41=3 ACDABCAC2=ADAB AB= OB=ABAO=3= 此时B点坐标为（，0） 当点B在点A左侧时，如图2 此时AO=41=5 OB= ABAO=5= 此时B点坐标为（，0）所以点B的坐标为（，0）或（，0）4. （2011山东菏泽，17（1），7分）已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P(，5)试确定反比例函数的表达式；若点Q是上述一次函数与反比例函数图象
10、在第三象限的交点，求点Q的坐标 【答案】解：因一次函数y=x2的图象经过点P(k，5)， 所以得5=k2，解得k=3 所以反比例函数的表达式为 （2）联立得方程组 解得 或 故第三象限的交点Q的坐标为(3，1) 5. （2011山东济宁，20，7分）如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小. 【答案】（1） 设点的坐标为（，），则.,. 反比例函数的解析式为. (2) 由 得 为（，）. 设点关于轴的对称点为，则
11、点的坐标为（，）.令直线的解析式为.为（，） 的解析式为. 当时，.点为（，）.6. （2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若OBM的面积为2。（1）求一次函数和反比全例函数的表达式。（2）在x轴上存在点P，使AMPM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。【答案】（1）直线y=k1x+b过A（0，-2），B（1，0） 一次函数的表达式为y=2x-2 设M（m,n），作MDx轴于点DSOBM=2 OBMD=2 n=2 n=4 将M（m，4）代入y=2x-2得：4=2m-2
12、m=34= k2=12 所以反比例函数的表达式为y=(2)过点M（3，4）作MPAM交x轴于点P MDBP PMD=MBD=ABOtanPMD= tanMBD= tanABO=2 在RtPDM中，=2 PD=2MD=8PO=OD+PD=11 在x轴上存在点P，使PMAM，此时点P的坐标为（11，0）7. （2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数（k10）与一次函数相交于A、B两点，ACx轴于点C.若OAC的面积为1，且tanAOC2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？【答案】解（1）在R
13、tOAC中，设OCm.tanAOC2， AC2OC2m.SOACOCACm2m1， m21m1（负值舍去）. A点的坐标为（1，2）.把A点的坐标代入中，得k12.反比例函数的表达式为. 把A点的坐标代入中，得k212， k21.一次函数的表达式.（2）B点的坐标为（2，1）. 当0x1和x2时，y1y2.8. （2011浙江省，18，8分）若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（a,2）(1)求反比例函数的解析式；(2) 当反比例函数的值大于一次函数的值时，求自变量x的取值范围【答案】(1) 的图象过点A（a,2） a=3 过点A（3,2） k=6 (2) 求反比例函数与一次函数的图象的交点
14、坐标，得到方程： 解得：x1= 3 , x2= -1 另外一个交点是（-1，-6） 当x-1或0x0）的图象经过点A(2，m)，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 .（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1x3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值. 【答案】（1）A(2，m) OB=2 AB=m SAOB=OBAB=2m= m=点A的坐标为（2，） 把A（2，）代入y=，得= k=1 （2）当x=1时，y=1；当x=3时，y= 又 反比例函数y=在x0时，y随x的增大而
15、减小， 当1x3时，y的取值范围为y1。（3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2。10（2011四川重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxb(k0)的图象与反比例函数y (m0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA5，E为x轴负半轴上一点，且sinAOE(1)求该反比例函数和一次函数；(2)求AOC的面积【答案】(1)过A点作ADx轴于点D，sinAOE ，OA5，在RtADO中，sinAOE ，AD4，DO=3，又点A在第二象限点A的坐标为(3，4)，将A的坐标为(3，4)代入y ，得4=m12，该反比例函数的解
16、析式为y，点B在反比例函数y的图象上，n2，点B的坐标为(6，2)，一次函数ykxb(k0)的图象过A、B两点，该一次函数解析式为yx2(2)在yx2中，令y0，即x2=0，x=3，点C的坐标是（3，0），OC3， 又DA=4，SAOCOCAD346，所以AOC的面积为611. （2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线经过点P（，），点P关于轴的对称点P在反比例函数（）的图象上（1）求点P的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y22时自变量x的取值范围【答案】（1）将P（-2，a）代入得a=-2(-2)=4，P（2，4） (2) 将P（2，4）代入得4=，解得k=8，反比例函
17、数的解析式为 自变量x的取值范围x412. （2011江西，19，6分）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。求点D的坐标；求经过点C的反比例函数解析式.【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，AOB=90，所以AB=5.因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5，所以OD=AD-AO=1, 因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）.(2)设反比例函数解析式为. 因为BC=AB=5，OB=3, 所以点C的坐标为（-3，-5）.因为反比例函数解析式经过点C, 所以反比例函数解析式为.13. （2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数的图象与反比例函数（
18、x0）的图象交于点P，PAx轴于点A，PBy轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且SDBP=27，。（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【答案】（1）D（0，3）（2）设P（a，b），则OA=a，OC=，得C（，0）因点C在直线y=kx+3上，得，ka=9 DB=3b=3(ka+3)=ka=9，BP=a由得a=6，所以，b=6，m=36一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （3）x614. （2011江苏宿迁,26,10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y（x0）
19、图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求AOB的面积；（3）Q是反比例函数y（x0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB求证：ANMB【答案】解：（1）点P在线段AB上，理由如下： 点O在P上，且AOB90AB是P的直径 点P在线段AB上（2）过点P作PP1x轴，PP2y轴，由题意可知PP1、PP2是AOB的中位线，故SAOBOAOB2 PP1PP2 P是反比例函数y（x0）图象上的任意一点 SAOBOAOB2 PP12PP22 PP1PP212（3）如图，
20、连接MN，则MN过点Q，且SMONSAOB12OAOBOMON AONMOB AONMOB OANOMB ANMB15. （2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数ykxb的图象交反比例函数（x0）图象于点A、B，交x轴于点C（1）求m的取值范围；（2）若点A的坐标是（2，4），且，求m的值和一次函数的解析式；【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以42m0，解得m2；（2）因点A(2，4)在反比例函数图象上，所以4，解得m6，过点A、B分别作AMOC于点M，BNOC于点N，所以BNCAMC90，又因为BCNAMC，所以BCNACM，所以，因为，所以，即，因为AM4，所以BN
21、1，所以点B的纵坐标为1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y1时，x8，所以点B的坐标为（8，1），因为一次函数ykxb的图象过点A(2，4)，B(8，1)，所以，解得，所以一次函数的解析式为yx516. （2011四川成都，19,10分） 如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q(4，) (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求OPQ的面积【答案】解：（1）由反比例函数的图象经过点（，8），可知，所以反比例函数解析式为，点Q是反比例函数和直线的交点，点Q的
22、坐标是（4，1），直线的解析式为.（2）如图所示：由直线的解析式可知与轴和轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC轴，垂足为C，过点Q作QD轴，垂足为D， SOPQ=SAOB-SOAQ-SOBP =OAOB-OAQD-OBPC=25-51-51=.17. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3M）. （1）求双曲线的解析式 （2）根据图象直接写出不等式x+l的解集
23、【答案】解：（1）依题意： 解得： 双曲线的解析式为：y= （2）2x0或x318. （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数与反比例函数相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BDx轴于点D，且SBDO=4。过点A的一次函数与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。（1）求正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合图像，求出当时x的取值范围。【答案】（1）设B（p，q），则 又SBDO=4，得，所以，所以得A(4，2) ，得，所以 由得，所以（2）或19. （2011四川宜宾,21,7分）如图，一次函数的图象与反比例函数（x0）的图象相交于A点，与y轴
24、、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时，一次函数值小于反比例函数值（1）求一次函数的解析式；（2）设函数（x0）的图象与（x0）的图象关于y轴对称，在（x0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQx轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标【答案】解：时，一次函数值大于反比例函数值，当时，一次函数值小于反比例函数值A点的横坐标是-1，A（-1,3） 设一次函数解析式为，因直线过A、C则 解得 一次函数的解析式为的图象与的图象关于y轴对称， B点是直线与y轴的交点，B（0,2）设P(n，)，S四边形BCQP=S梯形B
25、OQP-SBOC=2 ， P（，）20(2011重庆綦江，23，10分)如图，已知A（4，a），B（2，4）是一次函数ykxb的图象和反比例函数的图象的交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB的面积.【答案】：解: （1）将B(2，4）代入 ，解得 m8 反比例函数的解析式为 ，又点A在图象上，a2 即点A坐标为(4，2) 将A(4，2)； B(2，4）代入ykxb得 解得 一次函数的解析式为yx2 (2)设直线与x轴相交于点C，则C点的坐标为（2，0）（平方单位）注：若设直线与y轴相交于点D,求出D点坐标（0，2），21. （2011江西南昌，19，6分）如图，四边形ABC
26、D为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。求点D的坐标； 求经过点C的反比例函数解析式.【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，AOB=90，所以AB=5.因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， 所以OD=AD-AO=1,因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）.(2)设反比例函数解析式为. 因为BC=AB=5，OB=3, 所以点C的坐标为（-3，-5）.因为反比例函数解析式经过点C, 所以反比例函数解析式为.22. （2011江苏南通，28，14分）（本小题满分14分）如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y（x0）交于点B(2，1)，过点P(p，p1)（p1）作
27、x轴的平行线分别交曲线y（x0）和y（x0）于M，N两点.（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAPM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点B(2，1)在双曲线y上，得m2. 设直线l的解析式为ykxb直线l过A(1，0)和B(2，1) ，解得直线l的解析式为yx1.(2) 证明：当xp时，yp1，点P(p，p1)（p1）在直线l上，如图. P(p，p1)（p1）在直线y2上，p12，解得p3 P(3，2) PNx轴，P、M、N的纵坐标都等于2把y2分别代入双曲线y和y，得M(1
28、,2),N(-1,2) ，即M是PN的中点，同理：B是PA的中点， BMAN PMBPNA.（3）由于PNx轴，P(p，p1)（p1）， M、N、P的纵坐标都是p1（p1）把yp1分别代入双曲线y（x0）和y（x0），得M的横坐标x和N的横坐标x（其中p1）SAMN4SAPM且P、M、N在同一直线上， ,得MN=4PM即4(p)，整理得：p2p30， 解得：p 由于p1，负值舍去p 经检验p是原题的解， 存在实数p，使得SAMN4SAPM， p的值为.23. （2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数ykxb与反比例函数y的图象交于A（2，3），B（3，n）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kxb的解集_；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，求SABC 【解】（1）点A（2，3）在y的图象上， m6，反比例函数的解析式为y， n2，点A（2，3），B（3，2）在ykxb的图象上， 一次函数的解析式为yx