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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第4章 线性系统的根轨迹法（4学时）【主要讲授内容】4.1 根轨迹法的基本概念4.2 根轨迹绘制的基本法则4.3 系统性能分析4.4 控制系统复域设计【重点与难点】1、重点：由根轨迹分析系统性能。2、难点：广义根轨迹的分析与应用。 【教学要求】1、了解根轨迹法的概念；2、掌握根轨迹方程以及绘制根轨迹的基本法则；3、会用根轨迹法分析系统；4、掌握主导极点的概念及其应用；5、会用MATLAB绘制根轨迹【实施方法】课堂讲授，PPT配合4.1根轨迹法的基本概念根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根（闭环极点）在平面上变化的轨迹, 它是一种由开环传函
2、求闭环特征根的图解方法。利用根轨迹法可以研究系统某个参数的变化对控制系统闭环传函数极点分布的影响。可以根据根轨迹决定反馈控制系统的型别，根据系统的型别和开环增益就可以决定系统的稳态性能。分析表明:根轨迹与系统性能之间有着密切的联系. 所谓根轨迹法就是根据系统的结构、参数(即系统的开环传递函数)给出系统的根轨迹图，并利用系统根轨迹对系统进行分析和设计。 由此可见，根轨迹法的关键是先要给出系统的根轨迹图。4.2根轨迹绘制的基本法则根轨迹是系统所有闭环极点的集合。我们以图4-1所示系统为例说明: 图4-1 控制系统框图 系统的闭环传递函数为:令闭环传递函数表达式的分母为零，得闭环系统特征方程:上式为
3、根轨迹方程，其实质就是系统的闭环特征方程。根轨迹上的点应同时满足的两个条件：幅值条件和相角条件。由于幅值条件与有关，而相角条件与无关，所以满足相角条件的任一点，代入幅值条件总可以求出一个相应的值，也就是说满足相角条件的点，必同时满足幅值条件。所以相角条件是确定平面上根轨迹的充要条件。注意：绘制根轨迹时，只需要使用相角条件，只有当需要确定根轨迹上各点的对应的值时，才使用幅值条件。 常规根轨迹及其绘制绘制根轨迹时，需将开环传递函数化为用零、极点表示的标准形式以根轨迹增益或开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹（常见情况）。 法则1 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。对于实际的物理系统，开
4、环零点数m一般小于或等于开环极点数n。 当 mn 时可认为有条根轨迹的起点在无穷远处 法则2 根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数 中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。4.2.1 根轨迹的渐近线渐近线可认为是Kg、s 时的根轨迹。渐近线的数目等于趋向无穷远处根轨迹的分支数。法则3 当开环有限极点数大于开环有限零点数时，有条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交点为的一组渐近线趋向无穷远处，且有法则4 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 4.2.2 根轨迹的分离点法则5 两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合
5、点），分离点坐标由下式决定：法则6 始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算:法则7 若根轨迹与虚轴相交，则交点处的Kg值和值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零而求得。4.2.3 闭环极点的和与积 法则8 在的情况下，闭环n个极点之和满足；闭环个极点之积满足。4.2.4 开环根轨迹增益g的求取根轨迹上任意点的值，可由根轨迹方程的幅值条件在根轨迹上图解求取。根轨迹的幅值条件为：由此可得：所以利用上式，在根轨迹上用图解法可求出任意点的值。 绘制根轨迹的一般步骤在已知系统的开环零、极点的情况下，利用以上绘制根轨迹的基本法
6、则就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。绘制概略根轨迹的一般步骤为：第一步：根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并把它们标在复平面上；第二步：确定实轴上的根轨迹；第三步：确定根轨迹的渐近线；第四步：确定根轨迹的分离点(会合点)。第五步：计算根轨迹的出射角和入射角；第六步：确定根轨迹与虚轴的交点；第七步：大体绘出根轨迹的概略形状；第八步：必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。需要注意的是，在根轨迹绘制过称中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标轴与纵坐标轴必须采用相同的坐标比
7、例尺。广义根轨迹及其绘制在控制系统中，除根轨迹增益Kg（或开环增益K）外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。参数根轨迹的绘制法则与常规根轨迹完全相同，但在绘制之前需要对闭环特征方程进行等效变换。假设系统除Kg外的任意变化参数为A，则需要用闭环特征方程中不含有A的各项去除该方程，使原特征方程式变为的形式。 式中为系统的等效开环传递函数，它具有如下形式若研究的控制系统为非最小相位系统（在右半s平面具有开环零、极点的系统）或正反馈系统，绘制根轨迹时，其相角遵循的条件，而不是常规根轨迹遵循的，故一般称为零度根轨迹。法则 3 渐近线与与实轴的交角应改为 法则 4 根轨迹在实轴上的分布应改为：实轴上的某
8、一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。法则5始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算除以上三个法则外，其他法则不变。4.3 系统性能分析得到了系统的根轨迹，就可以用它来分析控制系统的性能，即通过系统根轨迹的形状、走向和一些关键点（如与虚轴的交点，与实轴的交点等）等，对控制系统的稳定性、稳态特性和动态特性进行分析。4.3.1 基于根轨迹的系统稳定性分析控制系统稳定的充要条件是闭环极点均在平面的左半平面，而根轨迹是所有闭环极点的集合，因此，只要控制系统的根轨迹位于平面的左半平面，控制系统就是稳定的，否则就是不稳定的。当系统
9、的参数变化引起系统的根轨迹从左半平面变化到右半平面时，系统从稳定变为不稳定，根轨迹与虚轴交点处的参数值就是系统稳定的临界值。 因此，根据根轨迹与虚轴的交点可以确定保证系统稳定的参数取值范围。根轨迹与虚轴之间的相对位置，反映了系统稳定程度的大小，根轨迹越是远离虚轴，系统的稳定程度越大，反之则越小。4.3.2 基于根轨迹的系统稳态性能分析利用误差系数得到典型输入信号作用下的稳态误差：4.3.3 基于根轨迹的系统动态性能分析根轨迹法的基本任务就是根据已知开环零、极点的分布及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出系统的闭环极点。由系统的根轨迹图确定指定Kg值（或KK值）时的闭环极点，一般是根据根轨迹方程的
10、幅值条件采用试探法确定。一旦闭环零点、极点都确定了，系统的闭环传递函数也就确定了，于是就可采用拉氏变换法或直接利用计算机求解得到闭环系统的时间响应，从时间响应就可以得到各项性能指标。 4.3.4 增加零、极点对根轨迹的影响在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间（注意，增加积分控制相当于增加位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性）。在开环传递函数中增加零点，可以导致根轨迹向左方移动，从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。4.4 控制系统复域设计用MATLAB绘制根轨迹利用MATLAB产生根轨迹是非常简单的。在应用MATLAB画根
11、轨迹时，需要将根轨迹方程（闭环特征方程）写成如下形式通常采用下列MATLAB命令画根轨迹：rlocus(num,den) 其中,num和den分别为多项式P(s)和Q(s)的系数向量。利用该命令，可以在屏幕上得到画出的根轨迹图，增益向量自动确定。对于定义在状态空间内的系统，则采用下列命令rlocus(A,B,C,D) 如果用户需要自己定义增益向量，则上述命令相应变为rlocus(num,den,K) 及 rlocus(A,B,C,D,K)若引入左端变量，即r,K=rlocus(num,den)r,K=rlocus(num,den,K)r,K=rlocus(A,B,C,D)r,K=rlocus(A,B,C,D,K)屏幕上将显示矩阵和增益向量，利用绘图命令plot(r,”) 画出根轨迹。如果在画根轨迹时，希望标上符号“”或“”，则需要采用下列命令：如需在根轨迹图上画定常线和定常圆，可以用下面的命令：sgrid专心-专注-专业