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1、目录目录T0 xxx0 oxyM0M一、问题的提出一、问题的提出 如图如图:当曲线的割线当曲线的割线M0M的的M点沿曲线趋向于点点沿曲线趋向于点M0时时,MMtantan,0割线倾斜角割线倾斜角当当的的斜斜率率为为切切线线TM0 xykxx00limtanlimtanxy.)()(lim000 xxfxxfx 1、曲线的切线曲线的切线割线切线 割线割线M0M的极限位置的极限位置MT称为曲线在点称为曲线在点M处的处的 切线切线.目录目录 ,)(,)(, )()(limlim ,)(:0000000处的导数处的导数在点在点值为函数值为函数并称这个极限并称这个极限处可导处可导在点在点则称函数则称函数
2、存在存在如果极限如果极限某邻域内有定义某邻域内有定义在点在点设函数设函数定义定义xxfyxxfyxxfxxfxyxxfyxx 二二、导数的导数的定义：定义：, 0 xxy 记为记为目录目录说明：说明：值值；导导数数是是一一个个特特殊殊的的极极限限. 1xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000即即)(0 xxx 2、导数的其它形式、导数的其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx 2)()2(lim)(0000的的任任意意性性自自变变量量的的增增量量 x . 3hxfhxfxfh)()(lim)(0000 目录目录, 2)(0 xf已知已知
3、._)()3(lim:000 xxfxxfx则则解解xxfxxfx)()3(lim000 )(33)()3(lim30000 xfxxfxxfx 导数实际上就是改变导数实际上就是改变量之比的量之比的极限极限x是变量是变量“三统一三统一”再求再求极限极限例例目录目录._)(, 4)()2(lim. 10000 xfhxfhxfh则则导导数数值值若若极极限限., 1)(. 20 xf已知._)()5(lim:000 hxfhxfh则则4)(x )()2(lim 0000 fhxfhxfh解解2222)(0 xf hxfhxfh)()5(lim 000解解：555)(50 xf练习：练习：目录目录三
4、、用导数定义求导数的步骤三、用导数定义求导数的步骤步骤步骤:);()()1(00 xfxxfy 求增量求增量;)()()2(00 xxfxxfxy 算比值算比值.lim)()3(00 xyxfx 求极限求极限解解例例2)(xxfy 求函求函数数 在在 x =1=1的导数的导数. . )1()1(fxfy 221)1( x2)(2xx xfxffx)1()1(lim)1(0 xxxx 20)(2lim2)2(lim0 xx目录目录2)(xxfy 练习练习： 求函数求函数 在在 x = 2= 2，3 3，x0的导数的导数. .xfxffx ) )( () )( (limlim) )( (2220
5、解：解：xxx 22022 ) )( (limlimxxxx 420 limlim440 ) )( (limlimxx xfxffx ) )( () )( (l li im m) )( (3330 xxx 22033 ) )( (limlimxxxx 620 limlim660 ) )( (limlimxx xxfxxfxfx ) )( () )( (limlim) )( (0000 xxxxx 20200 ) )( (limlimxxxxx 0202 limlim00022xxxx ) )( (limlim 解解目录目录2)1( fxxf2)( xx2)( :2 即即4)2( f4)3( f
6、002)(xxf 总结：总结：目录目录函数函数 f (x) 在点在点 x0可导的可导的必要条件是它在点必要条件是它在点 x0 连续连续.目录目录,)(),(, .)(),( ),(:dxxdfdxdyxfyxfxfbax或或记作记作简称导数简称导数的导函数的导函数数数这个新函数叫做原来函这个新函数叫做原来函一个确定的导数值一个确定的导数值都对应着都对应着对于任一对于任一定义定义 五五. 导函数导函数xxfxxfxfyx)()(lim)(:0 即即 )()()(0000 xfxfxfxxx的导数的导数注意：函数在点注意：函数在点即：先求导再代值即：先求导再代值目录目录目录目录.)()(的导数的导
7、数为常数为常数求函数求函数CCxf xxfxxfxfx )()(lim)(0hCCh 0lim. 0 . 0)(. 1C即解解1 1、常数函数的导数公式、常数函数的导数公式 通常说成：常数的导数为零.例例例例 2 e00 )2(ln0目录目录2 2、幂函数的导数公式、幂函数的导数公式? ?) )( ( 3xxxfxxfxfx ) )( () )( (l li im m) )( ( 0 xxxxx 330 ) )( (l li im mxxxxxxx 223033 limlim2220333xxxxxx ) )( (limlim 233xx ) )( (xx22 ) )( (又又12 xx )
8、). ( . (目录目录12121 x) )( () )( ( 21xx. .2121 x例例 )(10 x )(5x) )( () )( ( 11xx21 x) )( (. .21x . .x21 . .) ). . ( (xx214 910 x45x目录目录练习练习：求下列函数的导数求下列函数的导数) ).(.( 81 x78x ) ).(.( 212x)1(10 x) ).(.( 33x) )( ( 3x) )( ( 32x) ).(.( 314x) )( ( 321x3)2( x.23x )(2 x11)10( x.1011x )(10 x2123x )(23 x.3231 x)(32
9、 x323131 xx ) )( (252323 xx) )( (353232 xx) )( (目录目录3、指数函数的导数公式指数函数的导数公式. .l n l n) ). ( . (aaaxx 5特特别别地地. .) ).(.(xxee 6例例 )2(x.)( xe)43( xx43ln)43()43(xx . 2ln2xxxeee ln目录目录4、对数函数的导数公式对数函数的导数公式axxalnln) ).(log.(log17 . .) ). . ( (l l n nxx18 例例)(ln x)(log xe)(lg x.)(log10 x)(log2 x2ln1x .1ln1xex 1
10、0ln1x 目录目录5、三角函数的导数公式三角函数的导数公式. .c co os s) ). . ( (s si i n nxx 9. .s si i n n) ). . ( (c co os sxx 10.seccos1).(tan*1122xxx .cscsin1).(cot*1222xxx 目录目录八、导数的几何意义八、导数的几何意义oxy T0 xM1.几何意义几何意义)(),(k ,)(,()()( 0000为倾角为倾角即即的斜率的斜率处的切线处的切线在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf 2.切线方程为切线方程为3.法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 目录目录例：例：求曲线求曲线 y = x 在点在点(2, 8)处的切线与法线方程处的切线与法线方程 y =3x, .12)2( fk故所求的切线方程为：故所求的切线方程为：y- 8 =12(x- 2)即：即：12x y 16 = 0法线方程为法线方程为)2(1218 xy即即 x + 12y 98 =0解解目录目录1)1( 101)1(,1. 1 xyxyfkxy22)1(202)1(, 13. 22 xyxyfkxy解：解：