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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1不等式的解为2若（i为虚数单位），则实数m=3若函数f（x）=sin的最小正周期为，则=4集合A=，则AB5若0x，则函数的单调递增区间为6如图，若OFB=， =6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为7函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）=8一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为9已知直线l和曲线的极坐标方程分别为（sincos）=1和=1，若l和相交于两点A，B，则|AB|=
2、10如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米11一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色从袋中随机地取出3个小球其中取到黑球的个数为，则E=（结果用最简分数作答）12若正方形ABCD的边长为1，且=，则|=13已知复数z1，z2满足|z1|1，1Rez21，1Imz21，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为14xR，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，N（1）=1；则函数的所有零点之
3、和为二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15a，b，c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A若ab，a，则bB若ab，b，则aC若ac，bc，则abD若a，b，则ab16”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件17在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A第2项B第3项C第4项D第5项18已知m，n，i，j均为正整数，记ai，j为矩阵中第i行、第j列的元素，且ai，j+1=ai，j+1，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j（其中in2，jm2）；给出结论：a5，6
4、=；a2，1+a2，2+a2，m=2m；若m为常数，则其中正确的个数是（）A0个B1个C2个D3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0x，求h（x）=f（x）+g（x）的值域20在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=2x的反函数
5、为f1（x）（1）若f1（x）f1（1x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1x）m=0在区间0，2内有解，求实数m的取值范围22如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，点P在AOB内，PMOA于M，PNOB于N；（1）若k=1，求|OM|的值；（2）若P（2，1），OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且SMON=，当P变化时，求动点T轨迹方程23已知数列an的前n项和为Sn，且an0，（1）若bn=1+log2（Snan），求数列bn的前n项和Tn；（2）若0n，2nan=tann，求证：数列n为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，
6、若对任意的nN*，cnm恒成立，求实数m的最大值2015年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1不等式的解为x|0x1【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式组，求出解集【解答】解：同解于x（x1）0所以不等式的解集为x|0x1故答案为x|0x1【点评】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解2若（i为虚数单位），则实数m=1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件
7、列式求得m值【解答】解：由，得，即，m=1故答案为：1【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3若函数f（x）=sin的最小正周期为，则=2【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，再根据y=Asin（x+）的周期等于，得出结论【解答】解：由于函数f（x）=sin=sincos=sinx的最小正周期为，则=，=2，故答案为：2【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（x+）的周期等于 T=，属于基础题4集合A=，则AB
8、0，1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中y=，得到1x0，即x1，A=（，1，由B中y2=4x，得到x=0，即B=0，+），则AB=0，1，故答案为：0，1【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键5若0x，则函数的单调递增区间为【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间【解答】解：=，令：，解得：（kZ）由于：0x，则：函数
9、的单调递增区间为：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的确定主要考查学生的应用能力6如图，若OFB=， =6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为=1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为，并且可得到a=，再根据即可得到，解出a，c，从而得到b2，从而得出椭圆的标准方程【解答】解：根据已知条件知：c=，a=|，b=；又，；解得a=，c=；b2=2；椭圆的标准方程为故答案为：【点评】考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以
10、及数量积的计算公式7函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）=1【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据g（x）为偶函数即可得到a=0，从而便求出f（a）=1【解答】解：函数g（x）=x2+ax是偶函数；g（x）=g（x）；x2ax=x2+ax；ax=0；a=0；f（a）=f（0）=1故答案为：1【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数解析式求函数值的方法8一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为4【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】设出球的半径，求出球的体积，利用圆锥与球的体
11、积相等，圆锥的高为1，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：设球的半径为：r，则球的体积为：圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，=，r=1，球的表面积为：4r2=4故答案为：4【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积，考查计算能力，比较基础9已知直线l和曲线的极坐标方程分别为（sincos）=1和=1，若l和相交于两点A，B，则|AB|=【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】把极坐标方程化为直角方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式|AB|=2，即可得出【解答】解：直线l：（sincos）=1化为yx=1，曲线：=1，化为x2+y2=1，圆心到直线的距离d=，|AB
12、|=2=2=故答案为：【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、弦长公式|AB|=2，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米【考点】解三角形的实际应用【专题】解三角形【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，可得BC=千米，AC=10=千米DA
13、C=120，CD=（千米）故答案为：【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力11一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色从袋中随机地取出3个小球其中取到黑球的个数为，则E=（结果用最简分数作答）【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】应用题；概率与统计【分析】由题意，H（3，2，7），利用公式可求E【解答】解：由题意，H（3，2，7），所以E=故答案为：【点评】本题考查超几何分布，考查学生的计算能力，正确运用超几何分布的期望公式是关键12若正方形ABCD的边长为1，且=，则|=5【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】可画出图形，而根
14、据=进行数量积的计算即可求得答案【解答】解：如图，=故答案为：5【点评】考查求向量长度的方法：|=，以及数量积的计算公式13已知复数z1，z2满足|z1|1，1Rez21，1Imz21，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为12+【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（xa）2+（yb）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求【解答】解：复数z1，z2满足|z1|1，1Rez21，1Imz21，则可设z1=cos+isin，z2=a+bi（1a1，1b1），由z=z1+z2，得z=（
15、a+cos）+（b+sin）i，设z=x+yi，则，（xa）2+（yb）2=1当a，b变化时，z点的轨迹如图：则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积等于故答案为：12+【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题14xR，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，N（1）=1；则函数的所有零点之和为4【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】作函数y=3x+1与函数y=2x的图象，结合图象讨论以确
16、定方程N（3x+1）=2x的解，从而求函数的所有零点之和【解答】解：作函数y=3x+1与函数y=2x的图象如下，当43x+13时，N（3x+1）=3，故2x=3，解得，x=（舍去）；当53x+14时，N（3x+1）=4，故2x=4，解得，x=；当63x+15时，N（3x+1）=5，故2x=5，解得，x=；当73x+16时，N（3x+1）=6，故2x=6，解得，x=（舍去）；故函数的所有零点之和为=4；故答案为：4【点评】本题考查了数形结合的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15a，b，c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A若ab，a，则bB若a
17、b，b，则aC若ac，bc，则abD若a，b，则ab【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；空间位置关系与距离；推理和证明【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系，判断A；利用线面垂直的性质定理判断B，D；若ac，bc，则a与b平行、相交、异面都有可能，可判断C【解答】解：对于A，ab，a与b可以确定平面若，则b；若=l，a平面，al取l为b，则b，故A不正确；对于B，因为直线ab，直线b，所以若a，则a，或者a，故B不正确；对于C，若ac，bc，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于D，若a，b，利用线面垂直的性质定理可得ab，正确故选：D【点评】本
18、题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义，几何特征及判定方法是解答的关键16”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称
19、轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题17在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A第2项B第3项C第4项D第5项【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；二项式定理【分析】在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项【解答】解：展开式的通项为Tr+1=第5项的系数为24，第3项的系数为22，由已知，得出24： 22=56：3，解得n=10令105r=0，可得r=2时，取到常数项，故选：B【点评】本题考查二项式定理
20、的应用：求指定的项牢记公式是基础，方程思想是关键18已知m，n，i，j均为正整数，记ai，j为矩阵中第i行、第j列的元素，且ai，j+1=ai，j+1，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j（其中in2，jm2）；给出结论：a5，6=；a2，1+a2，2+a2，m=2m；若m为常数，则其中正确的个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】进行简单的合情推理【专题】综合题；推理和证明【分析】利用条件确定an，m=+m，再进行验证，即可得出结论【解答】解：由题意，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j，所以an，1an1，1=，所以利用叠加法可得an，1=+1，因为ai，j+1=ai，j+1，所以a
21、n，m=+m所以：a5，6=，故不正确；a2，1+a2，2+a2，m=2+3+4+m+1=，故不正确；由an，m=+m，可得，故不正确；若m为常数，利用极限可得，正确故选：B【点评】本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定an，m=+m是关键三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0x，求h（x）=f（x）+g（x）的值域【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的求值【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）
22、的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2a）的值；（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域【解答】解：（1），其对称轴为，因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，所以，又因为，所以即（2）由（1）得=，所以h（x）的值域为【点评】本题考查三角函数的化简求值，对称性的应用，三角函数的最值求法，考查计算能力20在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说
23、明理由【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EMAD，而AD平面ABB1A1，则EM面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，BM=，于是在RtBEM中，用反正切表示出MBE即可（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据
24、中位线定理可知EGA1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FGC1CB1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F平面A1BE【解答】解：（1）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD又在正方体ABCDA1B1C1D1中AD平面ABB1A1，所以EM面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，B
25、M=于是在RtBEM中，tanEBM=，即直线BE与平面ABB1A1所成的角是（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FB
26、G，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力，属于中档题21已知函数f（x）=2x的反函数为f1（x）（1）若f1（x）f1（1x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1x）m=0在区间0，2内有解，求实数m的取值范围【考点】反函数；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】（1）易得f1（x）=log2x，解关于x的对数方程可得；（2）易得m的范围即为函数y=2x+21x在0，2的值域，由“对勾函数”的单调性可得【解答】解：（1）f（x）=2x的反函数为f1（
27、x）=log2x，由若f1（x）f1（1x）=1可得log2xlog2（1x）=1，log2=1， =2，解得x=；（2）关于x的方程f（x）+f（1x）m=0在区间0，2内有解，2x+21x=m在区间0，2内有解，m的范围即为函数y=2x+21x在0，2的值域，函数y=2x+21x=2x+在（0，）单调递减，在（，2）单调递增，当x=时，函数取最小值2，当x=2时，函数取最大值，实数m的取值范围为【点评】本题考查反函数，涉及函数的值域和对数函数的性质，属基础题22如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，点P在AOB内，PMOA于M，PNOB于N；（1）若k=1，求|OM|的值；（2）
28、若P（2，1），OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且SMON=，当P变化时，求动点T轨迹方程【考点】轨迹方程；直线的一般式方程【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kxy=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为，求出|OM|，|ON|，利用SMON=，可得P变化时，动点T轨迹方程【解答】解：（1）因为，所以|OP|=，因为OA的方程为y=x，即xy=0，点P到直线的距离为=，所以|OM|=；（2）直线OA
29、的方程为kxy=0，P（2，1）到直线的距离为d=，所以|OM|=，所以OMP的面积为=，所以；（3）设M（x1，kx1），N（x2，kx2），T（x，y），x10，x20，k0，设直线OA的倾斜角为，则，根据题意得代入化简得动点T轨迹方程为【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题23已知数列an的前n项和为Sn，且an0，（1）若bn=1+log2（Snan），求数列bn的前n项和Tn；（2）若0n，2nan=tann，求证：数列n为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的nN*，cnm恒成立，求实数m的最大值【考点】数列与不等式的综合
30、；等比关系的确定；数列的求和；数列与函数的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）直接利用已知条件以及对数的运算法则，直接求出通项公式然后求解前n项和（2）化简2nan=tann，通过an=SnSn1求出an，得到n的函数关系式，然后证明数列n为等比数列，求出其通项公式；（3）化简|，利用函数的最值，求解实数m的最大值【解答】解：（1），bn=1+log2（Snan）=1+log2=12n，Tn=n2（2）由，代入，得，当n2时，因为，代入上式整理得tann1=tan（2n），所以的常数当n=1时，所以数列n是等比数列，首项为，公比为，其通项公式为（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以，对任意的nN*，cnm恒成立，所以m（cn）min由知，cn+1cn，所以数列cn是单调递增的，cn最小值为c1=0，m（cn）min=0，因此，实数m的取值范围是（，0，m的最大值为0【点评】本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，等比数列的判断，考查分析问题解决问题的能力专心-专注-专业