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1、一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道， 学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题， 不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目， 各个击破， 从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系， 找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答. 现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下
2、降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升， 十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率 .解设这两个月的平均增长率是x. ，则根据题意，得200(1 20%)(1+x)2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 即(1+x)2，解这个方程，得x1，x2（舍去） .答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+
3、x)2n求解，其中mn. 对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 x)2n即可求解，其中mn.二、商品定价例 2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20% ，商店计划要盈利400 元， 需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得 (a21)(350 10a) 400，整理，得a256a+7750，解这个方程，得a125，a231.因为 21(1+20%)，所以a2=31 不合题意，舍去.所以 35010a3501025 100（件） .精品资料 - - -
4、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 答需要进货 100 件，每件商品应定价25 元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点 .三、储蓄问题例 3 王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90% ，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息
5、税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+x) 500(1+ 530. 整理，得90 x2+145x30.解这个方程，得x1 % ，x2 . 由于存款利率不能为负数，所以将x2舍去 .答第一次存款的年利率约是%.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高
6、吗， 竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 米，二人没办法，只好请教聪明人， 聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试， 不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm ，那么渠底宽为(x+m ，上口宽为(x+m.则根据题意，得12(x+x+x，整理，得x2+ 0.解这个方程，得x1（舍去），x21.所以x+1+.答渠道的上口宽2.5m，渠深 1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
7、- - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 例 5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） .大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x3.则根据题意， 得x210(x3)+x，即 x2-11x+30 0，解这个方程，得x5 或x6.当x5 时，周瑜的年龄25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x6 时，周瑜年龄为36 岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36 岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题
8、，通过求解同学们应从中认真口味.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 六、象棋比赛例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0 分. 如果平局，两个选手各记1 分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985. 经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1) 个选手比赛一局，共计n(n1) 局
9、，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为12n(n1) 局. 由于每局共计2 分，所以全部选手得分总共为n(n1)分. 显然 (n1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0， 2， 6， 故总分不可能是1979， 1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n1) 1980，得n2n19800，解得n145，n2 44（舍去） .答参加比赛的选手共有45 人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
10、师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 七、情景对话例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元. 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游. 因为 100025 2500027000，所以员工人数一定超过25 人.则根据题意，得1000 20(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解这个方程，得x145，x230.当x45 时， 100020(
11、x25)600700，故舍去x1；当x230 时， 100020(x25) 900700，符合题意 .答：该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 八、等积变形例 8 将一块长18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二. （精确到 0.1m）（1）设计方
12、案 1 （如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 .（2）设计方案2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.图 1如果人数超过25 人，每增加1人，人均旅游费用降低20 元，如果人数不超过25 人，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2 中的小路的宽和图3 中扇形的半径； 若不能符合条件， 请说明理由.解都能 . （1）设小路宽为x，则 18x+16xx2231815，即x234x
13、+1800，解这个方程，得x344362，即x.（2） 设扇形半径为r， 则231815，即r2， 所以r.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题图 2图 4图 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 例 9 如图 4 所示，在ABC中， C90，AC6cm ，BC8cm ， 点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB
14、边向点B以 2cm/s 的速度移动 .（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半 . 若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为C90，所以AB22ACBC226810（cm）.（1）设xs 后，可使PCQ的面积为 8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得12(6 x) 2x8. 整理，得x26x+80，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ的面积为 8cm2.精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
15、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半 .则根据题意，得12(6x) 2x121268. 整理，得x26x+120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题例 10 一个长为 10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子
16、的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角221068（m ）.（1）若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理， 列方程 72+(6+x)2102， 整理，得x2+12x150，解这个方程，得x1，x2（舍去），所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1
17、.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)2+(6+1)2100. 整理，得x216x+130.解这个方程，得x1，x2（舍去） .所以若梯子底端水平向外滑动1m ，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 则根据勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+x)2102，整理，得 2x24x0，解这个方程，得
18、x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例 11 如图 5 所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B，在B的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航 一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？图 5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
19、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）已知军舰的速度是补给船的2 倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处， 那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1 海里）解（1）F位于D的正南方向，则DFBC. 因为ABBC，D为AC的中点，所以DF12AB100 海里，所以，小岛D与小岛F相距 100 海里 .（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(300 2x) 海里.在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程x21002+(300
20、2x)2，整理，得3x21200 x+1000000.解这个方程，得x120010063，x2200+10063（不合题意，舍去） .所以，相遇时补给船大约航行了118.4 海里 .说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系， 并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 十二、图表信息例 12 如图 6 所示，正方形ABCD的边长为 12，划分成1212
21、 个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放， 第一张nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1) (n1) 个小正方形 . 如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止 .请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同， ?完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23 456使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积 （重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.当n2 时，求S1S2的值；精品资料 - - - 欢
22、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 是否存在使得S1S2的n值？若存在， 请求出来； 若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1n2+(12 n)n2(n1)2 n2+25n12.当n2 时，S1 22+252 1234，S21212 34110.所以S1S2341101755.若S1S2，则有n2+25n1212122，即n225n+840，解这个方程，得n14，n221（舍去） .所以当n4 时，S1S2.
23、所以这样的n值是存在的 .说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在， 进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题图 6精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 例 13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分
24、别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（ 1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（ 20 x）cm.则根据题意，得24x+2204x17，解得x116，x24，当x16 时， 20 x4，当x4 时， 20 x16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和 16cm.（2）不能 . 理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm ，则另一段为 （20y）cm.则由题意得24y+2204y12，整理，得y220y+1040，移项并配方，得 (y10)240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.精品资料 - -
25、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 说明本题的第（ 2）小问也可以运用求根公式中的b24ac来判定 . 若b24ac0，方程有两个实数根，若b24ac0，方程没有实数根，本题中的b24ac 160 即无解 .十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14 如图 7，在等腰梯形ABCD中，ABDC5，AD4，BC10. 点E?在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；（2）是
26、否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时BE的长；若不存在， 请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由 .解（1）由已知条件得， 梯形周长为12，高 4，面积为 28.过点F作FGBC于G，过点A作AKBC于K.则可得，FG125x4，图 7KG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 所以SBEF12BEFG2
27、5x2+245x（7x10） .（2）存在 . 由（ 1）得25x2+245x14，解这个方程，得x17，x25（不合题意，舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE7.（3）不存在 . 假设存在，显然有SBEFS多边形 AFECD12，即(BE+BF) (AF+AD+DC) 12. 则有25x2+165x283，整理，得 3x224x+700，此时的求根公式中的b24ac5768400，所以不存在这样的实数x. 即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12 的两部分 .说明求解本题时应注意： 一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x25 时，并不
28、属于 7x10，应及时地舍去；三是处理第（ 3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性 .十五、利用图形探索规律精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 例 15 在如图 8 中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长1357n（奇数）黑色小正方形个数正方形边长2468n（偶数）黑色小正方形个数图 8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
29、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）在边长为n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数 n，使P25P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.解 （1）观察分析图案可知正方形的边长为1、 3、 5、 7、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、n时，黑色正方形的个数为 4、8、12、16、2n（偶数） .（2）由（ 1）可知n为偶数时P12n，所以P2n22n.根据题意，得n22n52n，即n212n0，
30、解得n112，n20（不合题意， 舍去）. 所以存在偶数n12，使得P25P1.说明本题的第（ 2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决 . 列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系， 从而将实际问题转化为方程模型，要善于精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、 工程问题、 增长率问题中的一些特殊关系等等.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -