《2022年从平面向量到空间向量2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年从平面向量到空间向量2.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 从平面向量到空间向量 2 空间向量的运算（学案二）? 学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题? 自主整理1.空间两个向量a 和 b 的数量积是一个数,等于，记作 ab, 即 ab= . 2.空间向量的数量积的运算律_. (1)交换律 : ; (2)分配律 :; (3 ) ( R). 3.(1) |a|=_; (2)ab_; (3)cosa,b=(a 0,b 0)_. 4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a 的单位向量 ,记作 .与 a 同方向 .
2、 例题讲解【例1】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点 E,F,G 分别是AB,AD,DC的中点 .求下列向量的数量积: (1)ABAC;(2)ADBD;(3)BDGF ?;(4)BCEF ?. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 变式训练1.已知在空间四边形OABC 中,OB=OC,AB=AC, 求证:OA BC. 【例 2】 如图所示 ,在空间四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,O
3、AC=45 , OAB=60 ,求 OA 与 BC 夹角的余弦值 . 变式训练2.如图 ,已知 ABC 是正三角形 ,PA平面 ABC, 且 PA=AB=a, 求 PB 和 AC 所成的角的大小. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【例3】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是边AB,CD 的中点 . (1)求证 :MN 为 AB 和 CD 的公垂线 ;(2)求 MN 的长 ; (3)求异面直
4、线AN 与 MC 所成角的余弦值. 变式训练3.如图 ,平行六面体ABCD A1B1C1D1中,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60 . (1)求 AC1的长 ;(2)求 AC1与面 ABCD 所成的角 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 练习作业1.已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60 ,则|2a-3b|等于 ( ) A.97B.97 C.61D.61 2.下列各命题中,不正确的命题的个数为( ) 精品资料
5、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - aa=|a| m(a)b=(m)ab ,(m, R) a (b+c)=(b+c) a a2b=b2a A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知非零向量a,b 不平行 ,并且其模相等 ,则 a+b 与 a-b 之间的关系是( ) A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以4.已知 PA平面 ABC, ABC=120,PA=AB=BC=6, 则 PC 等于 ( ) A.62B.6 C.12 D.144 5.已知
6、向量a,b,c 两两之间的夹角都为60 ,其模都为 1,则|a-b+2c|等于 ( ) A.5B.5 C.6D.6 6.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则 ab 等于 ( ) A.-2 B.-1 C. 1 D.2 7.已知在平行六面体ABCD ABCD中,AB=4,AD=3,AA =5, BAD=90, BAA = DAA =60, 则 AC 等于 ( ) A.85 B.85C.52D.50 8.在四面体SABC 中,各棱长均为a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点 , 则异面直线EF 与 SA 所成的角等于( )A.90 B.60 C.45 D
7、.30 9.已知 a,b 是夹角为60 的两单位向量 ,而 ca,cb,且|c|=3,x=2a-b+c,y=3b-a-c ,则 cosx,y=_. 10.已知 |OA|=5,|OB|=2, OA,OB=60 ,OC=2OA+OB,OD=OA-2OB,则以OC,OD为邻边的OCED 的对角线 OE 的长为 _. 11.已知线段AB 的长度为 62,AB与直线 l 的正方向的夹角为120 ,则AB在 l 上的射影的长度为 _. 12.已知 |a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135 ,mn,则 =_. 13.设 ab,a,c=3,b,c=6,且|a|=1,|b|=2,|c|=
8、3,则向量 a+b+c 的模是 _. 14.在直二面角的棱上有两点A,B,AC和 BD 各在这个二面角的一个面内,并且都垂直于棱AB, 设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求 CD 的长. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 15.如图所示 ,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点 ,G 为 CC1的中点 ,求证:A1O平面 GBD. 6.如图所示 ,正方形 ABCD 与正方形 ABE
9、F 边长均为1,且平面 ABCD 平面 ABEF,点 M 在AC 上移动 ,点 N 在 BF 上移动 .若 CM=BN=a(0a2). (1)求 MN 的长度 ; (2)当 a 为何值时 ,MN 的长最小 ; (3)当 MN 长最小时 ,求平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 的大小 . ? 课后总结1.数量积是数量,可以是正数 ,也可以是负数或零,它没有方向 ,可以比较大小 .a 与 b 的
10、数量积的几何意义是:向量 a 的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa,b的乘积 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 2.利用两个向量的夹角为2,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3.根据空间两个向量的数量积的定义:ab=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦 cosa,b=|baba ?,这个公式可用来求空间两直线所成的角. 4.在空间两个向量的数量积中,特别地aa=|
11、a|a|cos0=|a|2,所以向量a 的模 |a|=2a,这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为 :|a b|= (22bbaaba?)2; |a+b+c|=accbbacbacba?222)(2222=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a b+2bc+2c a. 5.对于三个不为0 的向量 ,若 ab=a c,不能得出 b=c, 即向量不能约分. 6.若 ab=k,不能得出a=bk或b=ak,即向量不能进行除法运算. 7.对于三个不为0 的向量 ,(a b)c a(b c),即向量的数量积不满足结合律. 8.如何利用向量知识求线段的长度? 将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的
12、问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量 ,然后利用 |a|2=(a)2来求解 .选择基底时 ,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的 ,已知的或可以求出的.具体求模时 ,可分为两种不同情况: (1) 不建坐标系 ,直接进行向量运算;(2)建立坐标系 ,用距离公式求线段长度. 9.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角? 面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的精品资料 - - - 欢迎下载 -
13、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 角等于两向量的夹角;如果两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角 . 1 从平面向量到空间向量 2 空间向量的运算（学案二）? 学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题? 自主整理1. 空 间 两 个 向 量a和b的 数 量 积 是 一 个 数 ,等 于baba,cos， 记 作a
14、 b ,即a b=baba,cos. 2.空间向量的数量积的运算律. (1)交换律 :a b=b a; (2) 分配律 :a(b+c)= ab + ac; (3) (a b)= ( a) b( R). 3.(1) |a|=aa;(2)ab=a b=0; (3)cosa,b=baba(a 0,b 0).4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a 的单位向量 ,记作 .与 a 同方向 . 例题讲解【例1】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点 E,F,G 分别是AB,AD,DC的中点 .求下列向量的数量积: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
15、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (1)ABAC;(2)ADBD;(3)BDGF ?;(4)BCEF ?. 解析： 由于空间四边形ABCD 各棱长都等于a, 所以表面中各三角形均为正三角形. 所以有AB,AC,AD两两之间的夹角均为60 ,用数量积的定义求解即可 .答案： (1)在空间四边形ABCD 中|AB|=|AC|=a,且AB,AC =60 , 所以ABAC=a acos60 =21a2.(2)|AD|=a,|BD|=a,AD,BD=60 , 所以ADBD=a2cos60 =21a2.(3
16、)|GF|=21a,|AC|=a,又GFAC,GF,AC=,所以GFAC=21a2cos =21a2.(4)因为 |EF|=21a,|BC|=a,EFBD, 所以EF,BC=BC,BD=60 .所以BCEF=21a2cos60 =41a2. 小结直接求两个向量的数量积时, 应选取好基底, 三个基向量的选取很重要, 一般要保证三个向量两两之间夹角已知或可求, 最好是特殊角 , 然后利用定义求解. 变式训练1.已知在空间四边形OABC 中,OB=OC,AB=AC, 求证:OA BC. 证明 :因为 OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以 OAC OAB. 所以 AOC= AOB. 因为)(OB
17、OCOABCOA?=OBOAOCOA?=|OCOAcosAOC-|OBOAcosAOB=0. 所以 OABC. 【例 2】 如图所示 ,在空间四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45 , OAB=60 ,求 OA 与 BC 夹角的余弦值 . 解析： 求异面直线所成的角,可以用常规方法,也可以用向量夹角公式求解 ,cosOA,BC=|BCOABCOA?,应先求出OABC. 答案： 因为BC=AC-AB,所以OABC=OAAC-OAAB=|OA| |AC| cosOA,AC-|OA| |AB| cosOA,AB=8 4 cos135 -8 6 cos120 =24-
18、162.所以 cosOA,BC=|BCOABCOA ?=52235821624.所以 OA 与 BC 夹角精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 的余弦值为5223. 小结用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时,应注意角的范围,向量夹角范围是0 ,180 ,异面直线所成的角的范围是(0 ,90 ,当用夹角公式求出的角为钝角时,它的补角才等于异面直线所成的角. 变式训练2.如图 ,已知 ABC 是正三角形 ,PA平面 ABC, 且 P
19、A=AB=a, 求 PB 和 AC 所成的角的大小. 解 :PA平面 ABC, ABC 为正三角形 , PA=AB=a, 所以 PAAC,BAC=60,PB=2a,AC=a. 所以ACABACPAACABPAACPB?)(=21a2. 所以 cos ACPB, =4222|2?aaaACPBACPB.所以 PB 与 AC 所成的角为arccos42. 【例3】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是边AB,CD 的中点 .(1)求证 :MN 为 AB 和 CD 的公垂线 ;(2)求 MN 的长 ; (3)求异面直线AN 与 MC 所成角的余弦值. 解析： 如
20、图 ,设AB=p,AC=q,AD=r.由题意 ,可知 |p|=|q|=|r|=a, 且 p,q,r 三向量两两夹角均为60 . 答案： (1)证明：ABADACANMN21)(21=21(q+r-p), 所以MNAB=21(q+r-p)p=21(q p+r p-p2)=21(a2 cos60 +a2 cos60 -a2)=0. 所以 MN AB, 同理可证MN CD.所以 MN 为 AB 与 CD 的公垂线 . (2)解： 由(1)可知MN=21(q+r-p), 所以 |MN|2=(MN)2=41(q+r-p)2=41q2+r2+p2+2(q r-q p-r p)=41a2+a2+a2+2(2
21、2a-22a-22a) =41 2a2=22a. 所以 |MN|=22a. 所以 MN 的长度为22a. (3)解： 设向量AN MN与MC的夹角为,因为AN=21(AC+AD) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - =21(q+r), MC=AC-AM=q-21p, 所以ANMC=21(q+r)(q-21p) =21(q2-21q p+r q-21r p) =21(a2-21a2 cos60 +a2cos60 -21a2 cos6
22、0 ) =21(a2-424222aaa)=22a. 又因为 |AN|=|MC|=23a, 所以ANMC=|AN| |MC| cos=23a23a cos =22a.所以 cos =32. 所以向量 AN 与 MC 的夹角余弦值为32.从而异面直线AN,MC 所成角的余弦值为32. 小结空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此求线段长度的问题可用向量求解.立体几何中有关判断线线垂直,异面直线所成角的大小问题 ,通常可以转化为求向量的数量积和求向量的夹角而得到. 变式训练3.如图 ,平行六面体ABCD A1B1C1D1中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为
23、 1,且两两夹角为60 .(1)求 AC1的长 ;(2)求 AC1与面 ABCD 所成的角 . 解 :(向量法 )记 a=AB,b=AD,c=1AA于是 |a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60 .(1)11CCBCABAC=a+b+c , 所以2121|ACAC=a2+b2+c2+2a c+2a b+2b c=1+1+1+2cos60 +2cos60 +2cos60 =6. 所以1AC=6. (2)连结 AC,BD, 由四边形ABCD 是菱形 ,知 BDAC. 又BD=b-a, 1CCBD ?=(b-a) c=b c-a c=0. 所以 BD CC1.所以 BD平面 ACC1
24、. 所以平面 ABCD 平面 ACC1.故 AC 是 AC1在平面 ABCD 内的射影 , C1AC 即为 AC1与面 ABCD 所成的角 .因为1AC=a+b+c,AC=a+b, cosC1AC=cos1AC,AC=|11ACACACAC ?=|)()(bacbabacba?=322364?. 故 AC1与平面 ABCD 所成的角为arccos322.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 练习作业1.已知 |a|=2,|b|=3,
25、a,b=60 ,则|2a-3b|等于 ( ) A.97B.97 C.61D.61 解析 :|2a-3b|2=4a2+9b2-12a b=4 4+9 9-12 |a|b|cos60 =97-12 2 321=61. 所以 |2a-3b|=61.答案 :C 2.下列各命题中,不正确的命题的个数为( ) aa ?=|a| m(a)b=(m)ab(m,R)a (b+c)=(b+c) a a2b=b2a A.4 B.3 C.2 D.1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - -
26、- - - - - - - - 解析 :正确 ,不正确 .答案 :D 3.已知非零向量a,b 不平行 ,并且其模相等 ,则 a+b 与 a-b 之间的关系是( ) A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以解析 :因为 (a+b) (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.所以 (a+b) (a-b).答案 :A 4.已知 PA平面 ABC, ABC=120,PA=AB=BC=6, 则 PC 等于 ( ) A.62B.6 C.12 D.144 解析 :因为BCABPAPC, 答案:C 所以BCABBCABPAPC?22222=36+36+36+2 36cos60 =144.所以 |PC|=
27、12. 5.已知向量a,b,c 两两之间的夹角都为60 ,其模都为 1,则|a-b+2c|等于 ( ) A.5B.5 C.6 D.6 解析 :(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a b+4a c-4b c=1+1+4-2cos60=5.所以 |a-b+2c|=5.答案 :A 6.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k, 则 a b 等于 ( ) A.-2 B.-1 C. 1 D.2 解析 :a b=(2i-j+k) (i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案 :A 7.已知在平行六面体ABCD ABCD中,AB=4,AD=3,AA =5, BA
28、D=90, BAA = DAA =60, 则 AC 等于 ( ) A.85 B.85C.52D.50 解析 :2222|)(ADABAAADABAC)(2|2AAADAAABADABAA?=50+2(10+7.5)=85. 答案 :B 8.在四面体SABC 中,各棱长均为a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点 ,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 ( )A.90 B.60 C.45 D.30 解析 :选SA、SB、SC为基向量表示其他向量. SBSASCSFESEF212121,所以|2121212SASBSASASCSAEF?=21a2,2)212121(|SBSASCEF=21a
29、SCSBSA22)(2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 所以 cosEAEF,=2222212?aaa.所以EAEF,=4=45 .答案 :C9.已知 a,b 是夹角为 60 的两单位向量 ,而 ca,cb,且|c|=3,x=2a-b+c,y=3b-a-c, 则 cos x,y=_.解析 :因为 |x|=6)2(2cba,|y|=2)3(cab=10, x y=(2a-b+c) (3b-a-c)=29,所以 cosx,y=2
30、015310629.答案 :2015310.已知 |OA|=5,|OB|=2, OA,OB=60 ,OC=2OA+OB,OD=OA-2OB,则以OC,OD为邻边的OCED 的对角线 OE 的长为 _. 解析 :因为ODOCOE,所以222)22()(OBOAOBOAODOCOE=OBOAOBOAOBOA?69)3(222=9 25+4-6 5 2 cos60 =199. 所以 OE=199.答案 :199 11.已知线段AB 的长度为62,AB与直线 l 的正方向的夹角为120 ,则AB在 l 上的射影的长度为 _。解析 :AB在 l 上的射影的长度为|AB|cos120 |=6221=32.
31、答案 :3212.已知 |a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135 ,mn,则 = _. 解析 :由 mn,得(a+b) (a+ b)=0,a2+ a b+a b+ b2=0, 18+32 4 cos135 +324cos135 +16=0,4 +6=0, =23.答案 :2313.设 ab,a,c =3,b,c=6,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b+c 的模是 _. 解析 :因为 |a+b+c |2=(a+b+c )2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a b+a c+b c) =1+4+9+2(0+1 321+2 323)=17+63,所以 |a+
32、b+c |=3617.答案 :361714.在直二面角的棱上有两点A,B,AC和 BD 各在这个二面角的一个面内,并且都垂直于棱AB, 设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求 CD 的长. 解析 :作出符合题意的空间直观图,不难发现 ABCD 为一空间四边形,由空间向量的加法运算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 法则 ,有BDABCACD,于是 CD 之长可求 . 答案 :如图 ,依题意有AC,AB,BD 两两
33、垂直 ,所以ABCA?=0,BDCA?=0,BDAB ?=0. 所以 |CD|2=CDCD=)(BDABCABDABCA=|222BDABCA=62+82+242=676.所以 CD=676=26.15.如图所示 ,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点 ,G 为CC1的中点 ,求证 :A1O平面 GBD. 解析 :只要证明OA1与面 GBD 内两个不共线向量垂直即可. 证明： 设11BA=a,11DA=b,11AA=c,则 a b=0,b c=0,a c=0. 而OA1=)(2111ADABAAAOAA=c+21(a+b), ABADBD=b-a, 121)(2
34、1CCADABCGOCOG=21(a+b)-21c. 所以OA1BD=(c+21a+21b) (b-a)=c (b-a)+21(a+b) (b-a)=c b-c a+21(b2-a2) =21(|b|2-|a|2)=0.所以OA1BD.所以OA1BD. 同理可证OA1OG,所以 A1OOG.又因为 OG BD=O, 且 A1O面 GBD, 所以 A1O面 GBD. 16.如图所示 ,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 边长均为 1,且平面 ABCD 平面 ABEF,点 M 在AC 上移动 ,点 N 在 BF 上移动 .若 CM=BN=a(0a2). (1)求 MN 的长度 ;(2)当 a 为
35、何值时 ,MN 的长最小 ; (3)当 MN 长最小时 ,求平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角 的大小 . 解析 :根据向量的基本运算,利用AMFANFNM这一关系来求2| NM,这是求长度问题的常见方法. 答案 :(1)AC=2,BF=2,CM=BN=a.AM=(1-2a)AC,NF=(1-2a)BF. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - AMFANFNM=(1-2a)FABF+(1-2a)AC=(1-2a)FABABE
36、)(+(1-2a)(BCAB) =(1-2a)BEBABE)(+(1-2a)(BCBA)=(1-2a)BC+(-2a)BE222)21(|BEaBCaNMNM=2221)21(22)21(aBEBCaaa?=)20(21)22(2aa. (2)由(1),知当 a=22时,|MN|的最小值为22,即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时 ,MN 长最小 ,最小值为22. (3)取 MN 中点 G,连结 AG,BG.因为 AM=AN,BM=BN, 所以 AG MN,BG MN. 所以 AGB 是二面角的平面角 . 所以46|BGAG.所以 cos =|2|222GAGBABGAGB=3146462
37、1)46()46(22?.=所以二面角的大小为 arccos(31).? 课后总结1.数量积是数量,可以是正数 ,也可以是负数或零,它没有方向 ,可以比较大小 .a 与 b 的数量积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 的几何意义是:向量 a 的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa,b的乘积 . 2.利用两个向量的夹角为2,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3.根据空间两个向量的数量积的定义:a
38、b=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦|,cosbababa,这个公式可用来求空间两直线所成的角. 4.在空间两个向量的数量积中,特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a 的模 |a|=2a,这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为 :|a b|= (22bbaaba?)2; |a+b+c|=accbbacbacba?222)(2222=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a b+2bc+2c a. 5.对于三个不为0 的向量 ,若 ab=a c,不能得出 b=c, 即向量不能约分. 6.若 ab=k,不能得出a=bk或b=ak,即向量不能进行除法运
39、算. 7.对于三个不为0 的向量 ,(a b)c a(b c),即向量的数量积不满足结合律. 8.如何利用向量知识求线段的长度? 将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量 ,然后利用 |a|2=(a)2来求解 .选择基底时 ,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的 ,已知的或可以求出的.具体求模时 ,可分为两种不同情况: (1) 不建坐标系 ,直接进行向量运算;(2)建立坐标系 ,用距离公式求线段长度. 9.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角? 面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示
40、,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向量的夹角;如果两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -