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1、二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质一、二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。二、二次函数的解析式三种形式1一般式：；2顶点式：ya(xh)2k（a0），顶点坐标为（，），对称轴是。3两点式：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则ya(xx1)(xx2)对称轴为直线xx1x2。2三、二次函数yax2bx+c（a0）的图象与性质二次函数1开口大小。由决定，越大，开口越。2开口方向：由决定。当a0时，函数开口方向向；当a若交点在X轴的上方，则c0；若交点在X轴的下方，则C0；（3）b的符号由对称轴来确定：b0知a、b同号；2ab若对称轴在Y轴的右侧,由0知
2、a、b异号。2a对称轴在Y轴的左侧,由7.缺项二次函数的特征2（1）抛物线yax（a0）的顶点在Y轴上时抛物bx+c线关于轴对称，=0；解析式为。2（2）抛物线yax（a0）经过原点，则=0；bx+c解析式为。2（3）抛物线yax（a0）顶点在原点，则b=bx+cc=，解析式为。8.抛物线的平移和轴对称左右平移在括号,记上反符号上下平移在末梢（1）抛物线yax2bx+c上（下）平移n(n0)个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为；（2）抛物线yax2bx+c左（右）平移n(n0)个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为。2（3）抛物线yax关于x轴对称的抛物线解析式bx+
3、c是（方法是将原yax2bx+c解析式中的不变，把转换为，再整理）2物线yaxbx关于y轴对称的抛物线解析式是+c（方法是将原解析yax2bx+c式中的不变，把转换为，再整理）扩展阅读：二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点yax22当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的（0，0）x0（0，0）yaxkya(xh)2（0，c）x0（0，k）右侧y随x的增大而增大。2（0，ah）（h，0）xhya(xh)2k当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随22（0，ahk）（h，k）x
4、hyaxbxcx的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。b4acb2（,)2a4abx（0，c）2a2.抛物线的平移法则：2（1）抛物线yaxk的图像是由抛物线yax的图像平移k个单位而得到2的。当k0时向上平移；当k0时向下平移。2（2）抛物线ya(xh)的图像是由抛物线yax的图像平移h个单位而得到2的。当h0时向左平移；当h0时向右平移。2（3）抛物线的ya(xh)k图像是由抛物线yax的图像上下平移k个单位，2左右平移h个单位而得到的。当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0时向右平移。3.二次函数的最值公式：形如y最小值yaxbxc的二次函数。当a0时，图
5、像有最低点，函数有最小值0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值4acb24a；24acb24a；当a24.抛物线yaxbxc与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。2yaxbxc的最值问题：6.二次函数（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。（2）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴比较，再进行求最值。6.二次函数与一元二次方程的关系：22yaxbxcaxbxc0的两根。(1)抛物线与x轴的交点坐标的横坐标方程xb2a,把他与取值范围相(2)抛物线与x轴的交点个数是由b24ac决定的：当0时抛物线与x轴有两个交点；当0抛物线与x轴有一个交点；当0时抛物线与x轴没有点。0时抛物线与x轴有交点。（此定理的逆定理也成立。）7.二次函数的三种常用形式：2yaxbxc（1）一般式：ya(xh)k（2）顶点式：2（3）两根式：ya(xx1)(xx2)8.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。第 3 页 共 3 页