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1、$4几种特殊函数的积分1有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. . mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分一、有理函数的积分Integration of rational function$4几种特殊函数的积分2假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式 ; Proper fraction ；,)2(mn
2、这有理函数是这有理函数是假分式假分式;Improper fraction ； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. 例例212234 xxx100234 xx22 x2924222 xxxx22x24402xx 10423 xxx xx203 1242 xx-48042 x-2x+9如同如同435423 2352034有理函数的积分就化为如何有理函数的积分就化为如何求真分式的积分求真分式的积分$4几种特殊函数的积分3（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxA
3、axAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：Specially ：, 1 k分解后为分解后为;axA 难点难点 Difficult point将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.$4几种特殊函数的积分4（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：Specially ：, 1
4、 k分解后为分解后为;2qpxxNMx $4几种特殊函数的积分5分解定理：分解定理： 设多项式设多项式 )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ 22(40,40)pqrs其中其中（最最简简分分式式）之之和和：式式可可唯唯一一地地分分解解成成部部分分分分则则真真分分式式)()(xQxp$4几种特殊函数的积分6 )()()()(221axAaxAaxAxQxp )()(221bxBbxBbxB )()(22222211qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM )()(22222211srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR ,iiiiiiAB M NR S其中都是常数。其中都
5、是常数。$4几种特殊函数的积分7最简分式的积分有两类：最简分式的积分有两类：), 2 , 1()(. 1 kdxaxAk积分为对数函数或有理真分式。积分为对数函数或有理真分式。222.(40,1,2,)()kMxNdxpqkxpxq 积分为真分式、对数、反正切函数。积分为真分式、对数、反正切函数。2k （时较复杂）（时较复杂）由分解定理知道，只要会求最简分式（都可积）由分解定理知道，只要会求最简分式（都可积）的积分即可。的积分即可。$4几种特殊函数的积分8例例 Example 1dxxx 2)2( 22)2(22)2(22xdxxdxdxxxcxx 222ln例例 Example 2解解dxx
6、x 2)2(dxx 3242解解dxx 3242 222)23(2232xdxxdxcx 32arctan322$4几种特殊函数的积分9例例 Example 3 （99硕士入学理工数学二）硕士入学理工数学二）dxxxx 13652 4)3(8136622122xdxdxxxxcxxx 23arctan4)136ln(212例例 Example 4dxxxx 22)136(52(40)pq 222222)3()3(8)136(6221xxddxxxx由由P258,例例9cxxxxxx 23arctan21)136(3)136(2122$4几种特殊函数的积分10例例 Example 5 将下列真分
7、式化为部分分式之和：将下列真分式化为部分分式之和：22323)3()2)(1(13 xxxxxxx解解 由分解定理由分解定理22323)3()2)(1(13 xxxxxxx222221133221221)3(3)2()2(21 xxNxMxxNxMxCxCxCxBxAxA通分比较两端分子通分比较两端分子同次幂系数同次幂系数即可求得即可求得$4几种特殊函数的积分116532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA例例 Example 6Example 6（P262P262例例1 1） 解解1
8、（待定系数法）（待定系数法）（1）2356xdxxx2356xdxxx56()23dxxx5ln26ln3xxC $4几种特殊函数的积分12解解2 （观察法）（观察法）)3)(2(3 xxx2536 xx由分解定理应为由分解定理应为32 xBxA)3)(2( xx(x-2)- (x-3) 求求A、B还可用下面方法：还可用下面方法：在恒等式在恒等式),2()3(3 xBxAx（1）中）中令令 x=2, 得得 A=-5令令 x=3, 得得 B=665$4几种特殊函数的积分132)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CB
9、A,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例 Example 7 (P263Example 7 (P263例例2 2）.)1(12dxxx 解解$4几种特殊函数的积分14 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(1121lnln11xxCx $4几种特殊函数的积分15例例 Example 8(P264Example 8(P264例例4 4）.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBx
10、xA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得.)1)(21(12 dxxx解解$4几种特殊函数的积分16 求积分求积分.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(122222111ln 1255511xxdxdxxx2211ln 12ln(1)arctan.555xxxC$4几种特殊函数的积分17例例9. 观察法练习：观察法练习：)1()1(122 xxxx22)1(xx 112 xxx)1(1 xx111 xx1252 xxx(2
11、1)(1)xx (21)(1)xx12312 xx)1(12 xxxx)1()1(222 xxxxxx112 xxxx421xx )1)(1(222xxx )1111(2122xx 2 3$4几种特殊函数的积分18例例 Example 10Example 10 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136 $4几种特殊函数的积分19Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)
12、1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1($4几种特殊函数的积分20说明说明Directions 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：出现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分Discuss the integral ,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2$4几种特殊函数的积分21,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22
13、,222atqpxx , bMtNMx 记记 Write$4几种特殊函数的积分22, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论Conclusion 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab $4几种特殊函数的积分23三角有理式的定义：三角有理式的定义：Definition of trigonometricDefinition of trigo
14、nometric rational function rational function 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分Integration of trigonometric rational function$4几种特殊函数的积分242sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu
15、 uxarctan2 22sin,1uxu 22os,1c1uxu 221dxduu dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）$4几种特殊函数的积分25例例1111 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(11222222222212211111uuduuuuuu $4几种特殊函数的积分26duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 2
16、11duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx $4几种特殊函数的积分27例例 Example 12Example 12 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx $4几种特殊函数的积分28解（二）解（二）xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111
17、duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx $4几种特殊函数的积分29解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc (cot )dx .cot31cot3Cxx 结论结论Conclusion 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换. :万能置换公式还可变换为万能置换公式还可变换为222221sin2,cos2,11
18、1uuduxxdxuuu 则则tan ,ux 令令$4几种特殊函数的积分30例例1313 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141$4几种特殊函数的积分31 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tan
19、ln41x .tan41Cx $4几种特殊函数的积分32例例14dxxx sin1cos xxdsin1)sin1(cx )sin1ln(例例15(总习题总习题四四,26)dxxx sin1sindxxxx 2sin1)sin1(sinxdxxxd 22tancos)(cos dxxx)1(seccos12cxxx tansecdxxx sin1cos$4几种特殊函数的积分33讨论类型讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. . 例例Instance 16Instance 16 （P268P268例例9 9）求积分求积分 dxxxx1
20、1解解 Solution 令令txx 1,12txx 三三.简单无理函数的积分简单无理函数的积分Integration of simple irrational function $4几种特殊函数的积分34,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 1112212ln1ttCt 1122 ln1ln.xxxCxx 222ln(1)ln1tttC $4几种特殊函数的积分35例例 Example 17Example 17 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dt
21、tt 163322366ln|1|ttttC 3662131616ln(11).xxxxC说明说明Directions 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍取根指数的最小公倍数数3211166 (1)11tdtttdttt $4几种特殊函数的积分36例例18 18 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx $4几种特殊函数的积分37简单无理式的积分简单无理式的积分. In
22、tegration of simple irrational function 有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结 Brief summary 有理函数有理函数标准化标准化三角函数三角函数有理化有理化无理函数无理函数有理化有理化三角化三角化$4几种特殊函数的积分38思考题思考题Consideration question 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应
23、注意什么？$4几种特殊函数的积分39思考题解答思考题解答Solution to consideration question 分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.$4几种特殊函数的积分40一、一、 填空题：填空题：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其，其 A_, , B_ _ , , C_；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其中其中 A_, , B_, , C_；3 3、计算、计算 ,sin2xdx可用万能代换可用万能代换 xsin_ _, , dx_ _； 4 4、计算、计算 ,mbaxdx令令 t_, , x_,_, dx
24、_ . . 练习题练习题 Exercises $4几种特殊函数的积分415 5、有有理理函函数数的的原原函函数数都都是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、求求下下列列不不定定积积分分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .$4几种特殊函数的积分42三三、求求下下列列不不定定积积分分（用用以以前前学学过过的的方方法法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、
25、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9 9、 dxxx22)1ln(； 1 10 0、 xdxx arcsin12； 1 11 1、dxxxxx cossincossin； 1 12 2、 )(xbaxdx. .$4几种特殊函数的积分43二二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21； 2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224； 3 3、)12arctan(42121
26、2ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat 2； 5 5、初初等等函函数数 . .练习题答案练习题答案 Answers to exercise $4几种特殊函数的积分44 4 4、Cx 3tan2arctan321； 5 5、Cx 512tan3arctan51； 6 6、Cxxx )11ln(414； 7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2, ,或或 Cxxx arcsin11ln2； 8 8、Cxx 311
27、23. .$4几种特殊函数的积分45三三、1 1、 Cxx 11)1 ( 212； 2 2、Cxx )sinln(； 3 3、Cxxxx 233213)1 (； 4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2； 5 5、Cxxx 484arctan81)1 ( 8； 6 6、Cxx 2tan12, ,或或Cxxx tansec；$4几种特殊函数的积分46精品课件精品课件！$4几种特殊函数的积分47精品课件精品课件！$4几种特殊函数的积分487 7、Cxx 66)1(ln；8 8、Ceexexxx )1ln(1；9 9、 Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln2222；1 10 0、xxxxarcsin124)(arcsin22 Cx 42；1 11 1、Cxxxx sin21cos21ln221)cos(sin21；1 12 2、Cxbax arctan2. .