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1、2019-2020学年高考数学一轮复习 平面向量的概念与线性运算（2）导学案 文知识梳理：1. 向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量 加法与减法(1).向量加法按 法则或 法则;向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度： 方向： (2)运算律 4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、题
2、型探究探究一：平面向量的基本概念例1给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。 解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是
3、必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。例2：设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|;(2) 若与a0平行，则=|；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3解析：向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的
4、概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。探究二：平面向量的线性运算例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，。点评：其实在以A，B，C，D，
5、E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。探究三：平面向量共线定理例3：如图所示,ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP：PM的值.解:设=e1, e2,则=-3e2-e1, 2e1+e2,APM和BPN分别共线,存在R,使=-e1-3e2, =2e1+e2.故=(+2)e1+(3+)e2,而2e1+3e2,由平面向量基本定理得，即AP:PM=4:1.三、方法提升1、向量的线性运算可以结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，特别是有向线段表示向量运算时，要利用“首
6、尾相接”或“起点相同”来化简；2、证明三点共线问题，可用向量共线定理来解决。四、反思感悟 五、课时作业1.(2010四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, =16,|则|=( )A.8 B.4 C.2 D.1解析:由可知,则AM为RtABC斜边BC上的中线,因此,|选C.2.已知ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是( ) C.-3 D.0解析: 又r=,r+s=0.故选D.3.平面向量a,b共线的充要条件是( )A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在R,使b=a D.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错
7、.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=a时,a,b一定共线,若b0,a=0.则b=a不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.4.已知OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于( )解析:故选A.5.设DEF分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与A.反向平行B.同向平行 C.不平行D.无法判断解析:故选A.6.已知a,b是不共线的向量, =a+b, =a+b,(,R),那么A、B、C三点共线的充要条件为()A.+=2 B.-=1 C.=-1 D.=1解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由A、B、C三点共线a+b=ma+mb(-m
8、)a=(m-1)b.因为a,b不共线,所以必有故可得=1.反之,若=1,则=所以 (a+b)=所以A、B、C三点共线.故选D.7、关于非零向量，有下列四个命题 “|+|=|”的充要条件是“方向相同”； “|+|=|”的充要条件是“方向相反”； “|+|=|”的充要条件是“有相等的模”；“|-|=|”的充要条件是“方向相同”；其中真命题的个数是（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)8.若点O是ABC所在平面内的一点,且满足,则ABC的形状为_.解析:故ABC为矩形的三个顶点,ABC为直角三角形.答案:直角三角形三、解答证明10、已知点D在ABC的边BC上，且= ，设= ，= ，证明= 。