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1、第六讲 角动量守恒定律和刚体的转动动能6-0 回顾回顾6-1 角动量的守恒角动量的守恒6-2 角动量守恒定律在有心力场中的应用角动量守恒定律在有心力场中的应用6-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律6-4 转动动能转动动能*6-0 回顾回顾角动量定理角动量定理(质点和质点系）质点和质点系）dLMdt21ttMdt 12LL 对轴（对轴（Z）zzdLMdtiiizrmJ2)(vmrPrLFrM定义：定义：转动惯量转动惯量zzJL dmrJz2刚体定轴转动刚体定轴转动zzMJ比一比比一比CP 0 FdtPdFCL 0 MdtLdMzzzyxCLMMM, 0, 0, 0但xz
2、zyxCPFFF, 00, 0但普遍规律，宏观、微观都适用。普遍规律，宏观、微观都适用。 系统角动量守恒，动量守恒吗？系统角动量守恒，动量守恒吗？议一议议一议 系统动量守恒，角动量守恒吗？系统动量守恒，角动量守恒吗？00 合合M,F00 合合M,FFFOF2F3F1 试一试：证明力偶矩与参考点选取无关试一试：证明力偶矩与参考点选取无关 是独立的，故质点系角动量守是独立的，故质点系角动量守恒和动量守恒也是相互独立的。恒和动量守恒也是相互独立的。00外外与FM 质点对某点的角动量守恒，对另一点也守恒吗？质点对某点的角动量守恒，对另一点也守恒吗？vvvvr0rrrkmvrvmrLoBkmvrvmrL
3、PB sinPAkmvrvmrLPA sin有心力场：运动质点所受的力总有心力场：运动质点所受的力总是通过一个固定点。是通过一个固定点。力心力心F,/ Fr质点对力心的角动量永远守恒！质点对力心的角动量永远守恒！rrF !Lrmv恒矢量0M 有心力是保守力。质点在有心力作用下，它的机械有心力是保守力。质点在有心力作用下，它的机械能守恒。能守恒。vm212MmmvGCr6-2. 角动量守恒在有心力场中的应用角动量守恒在有心力场中的应用“行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”例例1. 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：用角动量守
4、恒定律推导行星运动开普勒第二定律：解：设在时间解：设在时间 t 内，行星的矢径扫过扇形面积内，行星的矢径扫过扇形面积 s sin21rrSrr 21面积速度：面积速度：tSdtdst 0limtrrt 21lim0vrdtrdr 2121 vmrL恒矢量恒矢量 vrdtdS21恒量恒量r r 太太阳阳行星行星S r例例2. 地球可看作是半径地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，一颗人的球体，一颗人造地球卫星在造地球卫星在地面地面上空上空 h=800km 的圆形轨道上，以的圆形轨道上，以v1=7.5 km/s 的速度绕地球运动。突然点燃的速度绕地球运动。突然点燃 一一 火箭，火箭，其冲
5、力使卫星附加一个其冲力使卫星附加一个 向外的径向分速度向外的径向分速度 v2=0.2 km/s使卫星的轨道变成椭圆形。求此后卫星轨道的最低点和使卫星的轨道变成椭圆形。求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？最高点位于地面上空多高？解：解：)(21vvmr ,21vr ,v/r , vr )1( ,1rmvrmv 12rmvrmv,vmr h1v2vvrR?2h?1hvr,rmv22121()2Mmm vvGr,2,1(2)2MmmvGr对卫星原来的圆运动有对卫星原来的圆运动有)3(212rvmrMmG h1v2vvrR?2h?1hvr联立（联立（1）（）（2）（）（3）式，）式，消去消
6、去 V G M m 则有则有 02)(221,212,2221 rvrrvrvv0)()(1,211,21 rvrvvrvrvvkmvvrvr73972057720057211,1 kmvvrvr70132057720057211,2 远地点高度远地点高度kmRrh997,11 近地点高度近地点高度kmRrh613,22 h1v2vvrR?2h?1hvr 想一想：试从有心场中系统角动量守恒的角度想一想：试从有心场中系统角动量守恒的角度出发，解释天体呈旋转盘状结构的原因出发，解释天体呈旋转盘状结构的原因6.3 6.3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律讨论：讨论：时，当0z
7、MzZiiiLJCzzdLMdt（1)1) 绕固定转轴转动的刚体绕固定转轴转动的刚体如果如果 = =恒量恒量则则 = =恒量恒量zJ例：回转仪例：回转仪 无论怎样改变框架方向，无论怎样改变框架方向，都不能使陀螺仪的转轴的都不能使陀螺仪的转轴的空间取向发生变化空间取向发生变化回转仪回转仪21212211tzzzzztM dtLLJJ（2)2)若系统由若干个刚体组成，若系统由若干个刚体组成，角动量可在系统内部角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。量不变。1122zzzLJJ恒量例：直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支
8、奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动（3 3）对转动惯量可变系统，若所受合外力矩为零，）对转动惯量可变系统，若所受合外力矩为零，则角动量也守恒则角动量也守恒收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小JC花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小6-4 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 1.1.力矩的功力矩的功 力力 对对P 点作功：点作功：FrFddAsin|d|rF2cos|d|rFdd|rsdr0
9、0 drFrdP因因MFrsinddMA 0ddMMAsinFrd 对于刚体定轴转动对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作位移，任何一对内力作功为零。功为零。2.2.定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理外力矩所做元功为：外力矩所做元功为：dJdtdJddJdtdMddA总外力矩对刚体所作的功为：总外力矩对刚体所作的功为： 212221212121JJdJMdA 刚体在刚体在 时间内转过角位移时间内转过角位移 时时tdtdd转动动能转动动能22211122Amvmv比一比：比一比：cpmghE 表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集表明：一个不太大的刚
10、体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。中在质心时所具有的势能一样。3.3.刚体的重力势能刚体的重力势能iiiiphmgghmE质心高度为：质心高度为：mhmhiic 对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为 的物体，它的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。之和。m试一试：含刚体转动及平动的功能原理的形式？试一试：含刚体转动及平动的功能原理的形式？直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动txvdd22ddddtxtvatdd22ddddttmvP 2
11、21mvEKJL 221JEKFmMJxFAddtF dddMA tM dmaF JM 0dPPtF0dLLtM2022121dmvmvxF2022121dJJMvovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量不守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒机械能不守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量不守恒；动量不守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计例例3 3、如图所
12、示、如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端射入一静止悬于顶端长棒的下端, ,穿出后速度穿出后速度损失损失3/4,3/4,求求子弹穿出后棒的角速度子弹穿出后棒的角速度 。已知棒。已知棒长为长为l , ,质量为质量为M. .解解: : 以以 f 代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :子弹对棒的反作用力对棒的冲子弹对棒的反作用力对棒的冲量量矩为：矩为：v0vmMJdtflldtf0043)(mvvvmfdt因因 ， 由两式得由两式得ffv0vmM请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ? 为为什么什
13、么? ?总角动量守恒吗总角动量守恒吗?-?-若守恒若守恒, , 其方程应如何写其方程应如何写? ?（下一页）（下一页）Jlvmlmv400不守恒不守恒上端有水平阻力上端有水平阻力200314943MlJMlmvJlmv这里例题例题4 4 一匀质细棒长为一匀质细棒长为l l ，质量为，质量为m m，可绕通过其端点，可绕通过其端点O O的水的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m m ，它与地面的摩擦系数为它与地面的摩擦系数为 。相撞
14、后物体沿地面滑行一距离。相撞后物体沿地面滑行一距离s s而而停止。求相撞后棒的质心停止。求相撞后棒的质心C C 离地面的最大高度离地面的最大高度h h，并说明棒在，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。这个问题可分为三个阶段进行分析。C CO O2223121212mlJlmg（1 1）（2 2） 223131mlmvlml1 1） 机械能守恒机械能守恒2 2）角动量守恒）角动量守恒式中式中 棒在碰撞后的角速度，它棒在碰撞后的角速度，它可正可负。可正可负。 取正值，表示碰后取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。棒向
15、左摆；反之，表示向右摆。C CO Omamg asv202gsv 22 （3 3）亦即亦即lgsgl233由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（3 3）联合求解，即得）联合求解，即得3 3）牛顿定律）牛顿定律（4 4） 0,0,棒向右摆，棒向右摆，0233 gsgl 亦即亦即l l 600，棒向左摆，即，棒向左摆，即0233 gsgl (5)(5)lgsgl233亦即亦即l l66 s s；例例5. 在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量端连接一质量m = 1 kg 的滑块，如图所示弹簧自然的滑块，如图所示弹簧自然长度长度l0
16、= 0.2 m，劲度系数，劲度系数k =100 Nm-1. 设设t = 0时，弹时，弹簧长度为簧长度为l0，滑块速度，滑块速度v0 = 5 ms-1，方向与弹簧垂，方向与弹簧垂直以后某一时刻，弹簧长度直以后某一时刻，弹簧长度l =0.5 m 求该时刻滑求该时刻滑块速度的大小和夹角块速度的大小和夹角 lvl00vsin00lmlmvv20220)(212121llkmmvv12020sm4)(mllkvv30)arcsin(00llvv解：由角动量守恒和机械能守恒可得解：由角动量守恒和机械能守恒可得 例例6 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸
17、面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg作业作业4B-1，4B-2，4B-3，4B-4, 4B-5