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1、精品名师归纳总结高中数学必修 4 5 总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一部分 三角函数及其恒等变换1. 与角终边相同角的集合为k 360,kZ,象限角, 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线角的集合可借用此表示。2. 已知是第几象限角, 求nnN * 所在象限的方法： 先把各象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结限均等为 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一,二,三,四,就 原先是第几象限对应的标号即为终边所落n在的区域。3. 半径为 r 的扇形的圆心角（为弧度制）所对弧的长
2、为 l ,周长为C ,面积为 S ,就有以下公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lrC2rlS1 lr21 r 22 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 三角函数在各象限的符号：一全正,二正弦,三正切,四余弦。PTOMAx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 三角函数线：sinMPcosOMtanAT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 同角三角函数的基本关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s i n2c o 2s1t a ns i n c o s可编辑资料
3、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 三角函数的诱导公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式一：sikn 2sinc o sk 2c o s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t a nk 2t a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式二：sinsinc o sc o st a nt a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式三：sinsinc o sc o st a nt a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式四：sinsinc o sc o st a nt
4、 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式五：sin2cosc o s2s i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式六：sin2cosc o s2s i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式一到四：函数名称不变,正负看象限。公式五到六：奇变偶不变,正负看象限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补充公式：tan21tant a n 21t a nk, kZ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 三角函数的图象与性质可
5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性函 数质ysin xycos xytan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RR定义域x xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域1,11,1R22周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 k,2k2上 2k2函数。,2kk上 是 增kZ, k上是增22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是增函数。 kZ2k ,2k上 是 减函数。 kZ可编辑资料 - -
6、 - 欢迎下载精品名师归纳总结2 k,2k322函数。 kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性上是减函数。 kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称中心k,0对称中心 k,02对 称 中 心k,0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称轴 xk2对称轴 xkkZ,无对称轴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称性kZkZ9. 三角函数不等式的解法（ 1）三角函数线法。（ 2）函数图象法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如求sinx2 的解集,就画出直线 y22 ,就该直线上方 y 值所2可编辑资料 - - -
7、 欢迎下载精品名师归纳总结对应的 x 的值就是该不等式的解集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 函数 yAsinxbA0,0 的图象与性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ） 图象的变化过程： 函数ysin x的图象向左平移个单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysi nx,图象上各点的横坐标变缩短为原先的1 倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysinx, 图 象 上 各 点
8、 的 纵 坐标 变 为 原 来 的 A 倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yAsinx,图象向上平移 b 个单位yAsinxb 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） yAsinxb 的周期 T 为 2,同理得2T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ） 如y1Asinxb 的 最 大 值 为1ymax, 最 小 值 为ymin, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Aym a x2ym i n, bymax2ymin。可编辑资料
9、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ） 利用以上结论,再依据图象中任意一点以及的范畴,可求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yAsinxb 的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 两角和与差的正弦,余弦,正切公式和二倍角公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）sisncis ocnisons可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c o sc o sc o ss i ns i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）s i n22s i nc o s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
10、cos 2cos 2sin 22 cos2112 sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）t a nt a nt a nt a n22 t a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1t a nt a n1t a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 拓展公式（不要求记忆）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 半 角 公 式 ：sin21cos 2c o s21c o s 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t a n21c o s1c o s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）
11、积化和差公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin coscos cos1 sin 21 cos 2sincosc o s s i ns i ns i n1 s i n 21 c o s 2s i n c o s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）和差化积公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsin2 sin2cos2s i ns i n2s i n2c o s2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscos2 cos2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c o sc o s2s i n2s i n
12、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）弦化切公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 tan21tan22c o s1t a 2n 21t a 2n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） ）三倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 33 sin4 sin 3c o 3s4 c o 3s3 c o st a 3n3 t a nt a 3n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13 t a n13. 几个有用的三角函数结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）如tanb ,就aa
13、rctanb ,就有以下结论： a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sinb cosa 2b2sinarctan ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 当k时,且 k4Z ,就 1tan1tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）函数yAsinxkb 的对称轴为 x2kZ ,对称中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结心为 k,bkZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
14、纳总结其次部分：平面对量与解三角形1. 向量的基本概念：三要素,零向量,单位向量,平行向量,相等向量,共线向量。（1） 零向量与任一向量平行 0 a 。 （2） 如a 与b 共线,就a b 。（3） 如a 与b 相等,就 a b 且ab2. 平面对量的线性运算：（ 1） 向量的加法运算：三角形法就（左图） ,平行四边形法就（右图）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 三角形不等式： ababab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3 ）向量的加法 满足 交 换律,结合律。（ 4） 向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。可编辑资料 - -
15、- 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 向量的运算公式： ABBCAC（合并公式）,ACABBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（分解公式）, ABBA0 这些在做题中应用相当广泛。（6） 向量的数乘运算：aa ,0 时, a 的方向与 a 相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同。0 时, a 的方向与 a 相反。0 时,a量的数乘运算符合交换律,结合律,安排律。0 。向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） 向量共线定理：如 a 与 b 共线, a0就有唯独的实数,使得 ba 。用这个结论可以证明两向量共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
16、纳总结3. 平面对量的基本定理：假如e1 、e2是同一平面内的两个不共线向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数 1 ,2 ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 e12 e2。（不共线的向量e1 ,e2作为这一平面内全部向量的一组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基底）4. 平面对量的坐标运算：（1） 平面对量的坐标： 将向量的始点平移到坐标原点上就向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标。 即一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 平面对量
17、的坐标运算：如 ax1, y1 , bx2 , y2,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abx1x2 , y1y2abx1x2 , y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax1 ,x2（3） 平面对量共线的坐标表示：如 a共线,就有以下关系：x1, y1, bx2 , y2, a 与b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1y2x2 y10用这个结论可以证明两向量共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
18、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 两点A x1, y1, B x2 , y2之间的距离公式,中点 C 的坐标公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为：2ABx1x22y1y2Cx1x2 , y1y2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 分点坐标公式：设点是线段 12 上的一点,1 、 2 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别是x1, y1,x2, y2,当 12时,点的坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2 , y1y2115.
19、平面对量的数量积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）a bab cos（ 为a 与 b 的夹角）,零向量与任一向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘积为 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） a baba 与b 同向。 a b0为锐角。 a b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为直角。 a b0为钝角。 a baba 与b 异向。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）aba b0a bab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） 平面对量
20、数量积的坐标表示：如 ax1 , y1 , bx2 , y2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 a 与b 的夹角,就有以下关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bx1x2y1y2c o sa b abx1x222x1y1y1 y222x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 正弦定理与余弦定理：（1） 正弦定理：如在三角形 ABC 中 ,角 A , B , C 的对边分别为 a, b , c ,其外接圆半径为 R ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc sin C2 Rsin Aab sin
21、 Bcsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 余弦定理：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2c22bc cos Ab2a 2c 22ac cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b 22ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 解三角形的推论：（ 1） 三角形的面积公式：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,就：
22、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1Sab sin C 21bc sin A21ac sin B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 判定角的大小范畴：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2c 2C为 锐 角 。 a 2b 2c2C为 直 角 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2c2C 为钝角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 判定三角形解的情形：1. 已
23、知一边与两个角。（一个解）2. 已知三边。（如两边之和大于第三边就有一个解,否就无解）3. 已知两边及其夹角。（一个解）4. 已知两边及一边的对角。（一个解,两个解或者无解） 已知三角形 ABC 两边a , b , a 的对角为 A 。（1） ） 如 A 为直角或者钝角, ab ,就有一个解, 否就无解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 如 A 为锐角, ab sinA ,就有两解。 B 可取锐角或者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结钝角。（3） ） 如 A 为锐角, ab sinA ,就有一解。 B 可取
24、直角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ） 如 A 为锐角, ab sinA ,就无解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 在三角形内成立的特别关系： 如在三角形 ABC 中,角 A ,B , C 的对边分别为 a , b , c,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin ABsin Cc o sABc o Cs0s i n AB 2Cc o s2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABc o s2Cs i n 2可编辑资料 -
25、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan Atan Btan Ctan Atan Btan C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 中线长公式：如在三角形ABC 中,角 A , B , C 的对边分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为a , b , c , a 边上的中线长为ma , b 边上的中线长为mb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 边上的中线长为 mc 就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b2ma2c 2a222a 2mb2c 2b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
26、下载精品名师归纳总结2a 2mc2b2c22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三部分 数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 等差数列：（ 1）等差数列的递推公式：an 1and 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）等差数列的通项公式： ana1n1 d 。（ 3）如 a ,b ,c 成等差数列,就 b 为a 与c 的等差中项,就 2bac 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 等差数列的前 n 项和：等差数列前 n项和的公式： Snn a1an2, Snna1n n1 d 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
27、纳总结3. 等差数列的推论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） anan 1d （可用此证明等差数列） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 2anan 1an 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） a1ana2an 1a3an 22a中 （结论 2 的推广）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 如 an, bn为等差数列,那么panqbn也为等差数列。可编辑资料 -
28、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） amanmnd （通项公式的推广） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） 求公差的公式： danan1 , daman 。mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） 如mnpq ,那么 amana paq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（8） 等差数列的通项公式也可表示为anpnq ,它是一个一次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数, 已知
29、任意两项, 就可用待定系数法求通项公式。 其中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1pq , dp 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（9）（依据结论 3 进行推导）（10） 等差数列前 n 项和的公式为 Snna1n n12d ,也可表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSAn2Bn ,它是一个二次函数,其中, a1AB, d2 A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n反之,如 SAn
30、2Bn ,就a 为等差数列。如SAn2BnC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn就 an 从第 2 项起为等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（11） 已知Sn ,求an 的方法：a1S1 , anSnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（12） 如an 为等差数列,就Sn也为等差数列。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（13） 如 an, bn为等差数列,其前 n 项和分别为An , Bn ,那么可编辑资料 - -
31、 - 欢迎下载精品名师归纳总结anA2n 1bnB2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（14） Sm , S2mSm , S3mS2 m ,m Z 也为等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 15）如项数为2 nnN * ,就S2 n2n1 an , S偶S奇nd ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S奇an 。S偶an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（16）如项数为 2n1 nN * ,就S2 n 12n1 an,且S奇 S偶an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精
32、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S奇nS偶n,其中, S奇1nan, S偶n 1 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 等比数列：（1） 等比数列的递推公式：an 1qan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 等比数列的通项公式： ana qn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（3） 如a , b , c 成等比数列,就 b 为a 与c 的等比中项,就 b 2ac5. 等比数列的前 n 项和：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列前 n项和的公式： Sna1 11nq, Snqa1an q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 等比数列的推论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）anan 1d （可用此来证明等比数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（2） a 2（3） a1an 1ana2an 1an 1a3an 2