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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -四.学问分析【学问梳理】数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法， 在高等数学中有着重要的用途， 因而成为高考的热点之一。 近几年的高考试题， 不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论， 而且加强了对于不完全归纳法应用的考查， 既要求归纳发觉结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观看归纳猜想证明”的思维模式，就显得特殊重要。一般的，证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值 n =n 0 时命题成立。（ 2）（归纳递推）假设 n =k（）时命题
2、成立，证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以肯定命题对从开头的全部正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理规律， 它的第一步称为奠基步骤， 是论证的基础保证， 即通过验证落实传递的起点， 这个基础必需真实牢靠。 它的其次步称为递推步骤， 是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立， 两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法， 这两步各司其职，缺一不行，特殊指出的是，其次步不是判定命题的真伪，而是证明命 题是否具有传递性， 假如没有第一步， 而仅有其次步成立， 命题也可能是假命题。【要点解析】1 、用数学归纳法证明有关
3、问题的关键在其次步，即nk1 时为什么成立，nk1 时成立是利用假设nk 时成立，依据有关的定理、定义、公式、性质 等数学结论推证出nk1 时成立，而不是直接代入， 否就 nk1 时也成假设了，命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是全部的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要详细问题详细分析。2 、运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特殊是查找n k 与 nk1 的关系时，项数发生什么变化被弄错。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - -
4、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（2）没有利用归纳假设： 归纳假设是必需要用的， 假设是起桥梁作用的， 桥梁断了就通不过去了。（3）关键步骤模糊不清，“假设nk 时结论成立，利用此假设证明n k 1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，留意证明过程的严谨性、规范性。【典型例题】例 1.用数学归纳法证明：时，。解析： 当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。假设时等式成立，即有，就当时，所以当时，等式也成立。由，可知，对一切等式都成
5、立。点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式， 命题关键在于 “先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 到 时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I ）考虑“ n 取第一个值的命题形式”时，需仔细对待，一般情形是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（ II ）步骤在由到的递推过程中，必需用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。此题证明时如利用数列求和中的拆项相消法，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页
6、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -，就这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。（3）在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑” 结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区分和联系。例 2.。解析： （1）当时，左边，右边，命题成立。（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。上式说明当时命题也成立。由（ 1）（ 2）知，命题对一切正整数均成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -
7、 - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 3.用数学归纳法证明：对一切大于1 的自然数 n，不等式成立。解析： 当时，左 =，右，左右，不等式成立。假设时，不等式成立，即，那么当时，时，不等式也成立。由，知，对一切大于1 的自然数 n，不等式都成立。点评：（ 1）此题证明命题成立时，利用归纳假设，并对比目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要留意两个步
8、骤缺一 不行，第步成立是推理的基础， 第步是推理的依据（即成立，就成立，成立，从而肯定命题对全部的自然数均成立）。另一方面，第步中，验证中的未必是 1，依据题目要求，有时可为2，3 等。第步中，证明用上归纳假设。时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 4.如不等式对一切正整数 n 都成立，求正整数 a
9、 的最大值，并证明你的结论。解析： 取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明，（1）时，已证结论正确（2）假设时，就当时，有，由于，所以，所以，即时，结论也成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由（ 1）（ 2）可知，对一切，都有，故 a 的最大值为 25。例 5.用数学归纳法证明：能被 9 整除。解析： 方法一：令，（1）能被 9
10、 整除。（2）假设能被 9 整除，就能被 9 整除。由（ 1）（ 2）知，对一切，命题均成立。方法二：（ 1），原式能被 9 整除，（2）如，能被 9 整除，就时时也能被 9 整除。由（ 1），（ 2）可知，对任何，能被 9 整除。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采纳增项、减项、拆项和因式分解等手段
11、凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例 6.求证：能被整除，。解析： （1）当时，命题明显成立。（2）设时，能被整除，就当时，。由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立。由（ 1）（ 2）可知，对，命题成立。例 7.平面内有 n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这 n 个圆将平面分成个部分。解析： 时， 1 个圆将平面分成2 部分，明显命题成立。假设时，个圆将平面分成个部分，当时，第 k+1 个圆交前面 k 个圆于 2k 个点，这 2k 个点将圆分成 2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k 个区域，所以这k+1 个圆将平面分成个部分，即个部分
12、。故时，命题成立。由，可知，对命题成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成 k+1 个时，所证的几何量将增加多少， 这需用到几何学问或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情形下，将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子， 然后作差，即可求出增加量， 然后只需稍加
13、说明即可， 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。例 8.设，是否存在关于自然数n 的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论。解析： 当时，由，得，当时，由，得，猜想。下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立。当时，由上面运算知，等式成立。假设成立，那么当时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当时，等式也成立。由知，对一切的自
14、然数 n，等式都成立。故存在函数，使等式成立。点评：（ 1）归纳、猜想时，关键是查找满意条件的与 n 的关系式，猜想的关系未必对任意的都满意条件，故需用数学归纳法证明。（2）通过解答归纳的过程供应了一种思路：可直接解出，即。【模拟试题】1. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，能被整除”时，其次步归纳假设应写成A. 假设时，命题成立B. 假设时，命题成立C. 假设时，命题成立D. 假设时，命题成立2. 证明，假设时成立，当1时，左端增加的项数是A. 1项B.项C. k项D.项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共
15、 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3. 记凸 k 边形的内角和为，就凸边形的内角和（）A. B.C.D.4. 某个命题与自然数n 有关，如时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时，该命题不成立，那么可推得A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当 n=4 时，该命题不成立D. 当 n=4 时，该命题成立5. 用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是A. B.C.D.6. （ 5 分）在数列中，且，2成等差数列（表示数 列的前
16、n 项和），就，分别为 。由此猜想 。7. （5 分）已知对一切都成立，那么 a= ， b= ， c= 。8. （ 14 分）由以下各式：，你能得出怎样的结论？并进行证明。9. （ 16 分）设数列满意，。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（1）证明：对一切正整数n 均成立。（2）令，判定与的大小，并说明理由。10. （ 14 分）已知函
17、数，设数列满意， 数列满意，。（1）用数学归纳法证明（2）证明：。11.（16 分）（ 2006 年，江西）已知数列满意：，且。（1）求数列的通项公式。（2）证明：对一切正整数n，不等式恒成立。【试题答案】1. B2. D3. B4.C5. C6.，7.，8. 解：对所给各式进行观看比较，留意各不等式左边最终一项的分母特 点：，猜想为，对应各式右端为。归纳得一般结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word
18、 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当时，结论明显成立。假设当时，结论成立，即成立，就当时，即当时结论也成立。由可知对任意，结论都成立。9. 解：（ 1）证明略。（2）方法一：，。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法二：（由（ 1）的结论）=，。方法三：，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -故，因此。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载