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1、精品名师归纳总结（1）集合的概念高中数学 必修 1 学问点第一章集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法： x | x具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素
2、.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB子集（或A 中的任一元素都属(1) AA(2) AABBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 BBA(3) 如 A(4) 如 AB 且 BC ,就 ACB 且 BA ,就 AB或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结真子集ABAB ,且
3、B 中至（1） A（ A 为非空子集）BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 BA ）少有一元素不属于 A2 如 AB 且 BC ,就 AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合A 中的任一元素都属AB于 B ,B 中的任一元素相等都属于 A(1) AB(2) BAAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）已知集合 A有nn1 个元素,就它有2n 个子集,它有 2 n1 个真子集,它有2 n1 个非空子集,它有 2n2 非空可编辑资料 - - - 欢
4、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结真子集.（ 8）交集、并集、补集【1.1.3 】集合的基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名称记号意义性质示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x | xA, 且AB交集xB（ 1） AAA（ 2） A（ 3） ABAABABB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x | xA, 或AB并集xB（ 1） AAA（ 2） AA（ 3） ABAABABB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 AeU A2 AeU AU可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补
5、集eU A x | xU , 且xA痧U AB痧U ABU A .U BU A.U B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |aa0 x |axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |aa0x | xa 或 xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| axb |c,| axb |cc0把 axb 看 成 一 个 整
6、 体 , 化 成 | x |a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |aa0 型不等式来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）一元二次不等式的解法判别式b 24ac000二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxca0O的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程2x1,2bb22a4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结axbxc的根0a0（其中 x1x2 x1x22a无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2ax2bxc的解集bxc0a00a0 x | xx1 或 xx2b x | xR2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解集 x | x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）函数的概念1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的
8、对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 f: AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数,且 ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做a,b 。满意 axb 的实数x 的集合叫做开区间,记做a, b 。满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a, b , a, b 。满意xa, x
9、a, xb, xb 的实数 x 的集合分别记做 a, a,b,b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ,前者 a 可以大于或等于b ,而后者必需ab （ 3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ytan x 中, xkkZ 2可编辑资料 - - - 欢迎
10、下载精品名师归纳总结零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 a, b ,其复合函数f g x 的定义域应由不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式 ag xb 解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,
11、仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ,就在可编辑资料 - -
12、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a y0 时,由于x, y 为实数,故必需有b y4a yc y0,从而确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
13、结（ 5）函数的表示方法【1.2.2 】函数的表示法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A中任何一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,记作f : AB 可编辑资
14、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且象,元素 a 叫做元素 b 的原象aA,bB 假如元素 a和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量 的值 x1 、x2 , 当 x1x2时,都有
15、fx1fx2 , 那 么 就说y y=fXfx2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的单调性fx在这个区间上是 增函数o假如对于属于定义域I内某y个区间上的任意两个自变量 的值 x 1、x2 ,当 x1fx2 , 那 么 就说fx1 x1x2 xy=fXfx 1fx2 某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx在这个区间上是 减函数ox1x 2x某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函
16、数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就yf gx为增。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf u 为减, ug x 为减, 就yf g x 为增。如yf u 为增, ug x 为减, 就yf g x 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减。如yf u 为减,ug
17、 x 为增,就yf g x 为减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）打“”函数f xxa a x0 的图象与性质y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 分别在 ,a 、a , 上为增函数,分别在 a ,0、 0,a 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）最大（小）值定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f xM 。可编辑资
18、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）存在 x0I ,使得f x0M 那么,我们称 M 是函数f x的最大值,记作fmax xM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数m 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f xm 。（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在 x0I ,使得f x0 m那么,我们称m是函数f x的最小值,记作f max xm 可编辑资料 -
19、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质【1.3.2 】奇偶性定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于函数 fx定义域内（ 1）利用定义（要先可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意一个x,都有fx=判肯定义域是否关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的奇偶性fx,那么函数 fx叫做 奇函数假如对于函数 fx定义域内任意一个 x,都有 f x=fx,那么函数 fx叫做 偶函数原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定
20、义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域。化解函数解析式。争论函数的性质（奇偶性、单调性）。画出函数的图象 利用基本函
21、数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf xh 0,左移h个单位h 0,右移 | h|个单位yf xhyf xk 0,上移 k个单位k 0,下移 | k |个单位yf xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结伸缩变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x01,伸1,缩yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x0 A 1,缩yAfx可编辑资料 - - - 欢迎
22、下载精品名师归纳总结对称变换yf xA 1,伸x轴yf xyf xy轴yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x原点yf xyf x直线yxyf 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x去掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf（ 2）识图x保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y| f x |可编辑资料 - - - 欢迎下载
23、精品名师归纳总结对于给定函数的图象,要能从图象的左右、 上下分别范畴、 变化趋势、 对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象的显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 xna, aR, xR, n1,且 nN ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用可编辑资料 - -
24、- 欢迎下载精品名师归纳总结符号 n a 表示。当 n 是偶数时, 正数 a 的正的 n 次方根用符号n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示。 0 的 n 次方根是 0。负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数 当 n 为奇数时, a 为任意实数。 当 n 为偶数时, a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnnaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根式的性质：aa 。当 n 为奇数时,aa 。当 n 为偶数时,a| a |aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）分数指数幂
25、的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数的正分数指数幂的意义是：ma nn am a0, m, nN, 且 n1 0 的正分数指数幂等于0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m1 m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数的负分数指数幂的意义是：an nnm a0, m, nN, 且 n1 0 的负分数指数幂没可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数rs（ 3）分数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r aasar s a0, r , sR a ars a0,r , s
26、R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ab r（ 4）指数函数ar br a0,b0,rR【2.1.2 】指数函数及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数名称指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义函数yax a0 且 a1) 叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1yya x图象y10,10a1xyayy10,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OxOx定义域R值域0,过定点奇偶性图象过定点0,1,即当 x
27、非奇非偶0 时,y1 单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数ax1 x0ax1x0函数值的变化情形ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0a 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越高。在其次象限内,a 越大图象越低可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）对数的定义2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 axNa0,且a1 ,就 x叫做以 a为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中 a叫做底数, N 叫做真数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
28、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog aNaxN a0, a1, N0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）几个重要的对数恒等式log a 10, loga ab1 , log a ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log10N 。自然对数： ln N ,即 loge N （其中 e2.71828 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（
29、4）对数的运算性质假如 a0, a1,M0, N0 ,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法： log a Mlog a Nlog a MN 减法： log a Mlog a NMlog aN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘：n log a Mlog a Mn nR a log a NN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n log a b MnlogabM b0, nR换底公式：log a Nlog
30、b N b logb a0, 且b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）对数函数函数名称【2.2.2 】对数函数及其性质对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义函数 ylog ax a0 且 a1 叫做对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1yx1yloga x0a1yx1 yloga x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象O1,
31、0x1,0Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x1 时, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性非奇非偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log a x0x1log a x0 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数值的变化情形log a x0x1log a x0 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log a x00x1
32、log a x0 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 变化对 图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低。在第四象限内,a 越大图象越靠高2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义一般的,函数yx 叫做幂函数,其中 x 为自变量,是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象 幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限图象关于 y 轴对称 。是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 。是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0,就幂函数的图象在 0,上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性： 当为奇数时, 幂函数为奇函数, 当为偶数时, 幂函数为偶函数 当q（其中pp, q 互质, p 和 qZ ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 p 为奇数 q 为奇数时,就qyx p是奇函数,如 p 为奇数 q 为偶数时,就qyx p是偶函数,如 p 为偶数 q