《数列经典题型总结培训讲学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列经典题型总结培训讲学.docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1（ 07 高考山东文 18）设 an是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列 an 的前 n 项和已可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知 S37 ,且 a13,3a2, a34 构成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求数列 an 的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）令 bnln a3n1, n1,2,L,求数列 bn 的前 n 项和 T 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
2、- 欢迎下载精品名师归纳总结*练习： 设 Sn 1+2+3+ +n, n N , 求f nSnn32 Sn的最大值 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、错位相减法例 2（ 07 高考天津理 21）在数列a中,a2, aan 122 n nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中0 （）求数列n1an 的通项公式。n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列an 的前 n 项和Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3（
3、07 高考全国文21）设 an 是等差数列, bn 是各项都为正数的等比数列,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1b11 , a3b521, a5b313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 an, bn 的通项公式。an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列的前 n 项和bnSn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、逆序相加法例 4（ 07 豫南五市二联理22. ）设函数1f x2 x2 x2的图象上有两点P1 x1, y1 、P2 x2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载
4、精品名师归纳总结y 2 ,如 OPOP1OP22, 且点 P 的横坐标为.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I ）求证： P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II）如 Snf 1 nf 2 nf 3 nnf,nnN * ,求Sn ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、裂项求和法例 5 求数列1,1122,1,3nn1的前 n 项和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6（ 06 高考湖北卷理1
5、7）已知二次函数yf x的图像经过坐标原点,其导函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x6 x2 ,数列 a 的前 n 项和为S ,点 n, S nN 均在函数yf x 的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结像上。（）求数列 annnn的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设 bn1anan, Tn 是数列 bn1的前 n 项和,求使得 Tnm 对全部 nN 都成20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立的最小正整数m。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、分组求和法例 7 数列 an 的前 n 项和 Sn2
6、an1 ,数列 bn 满 b13, bn 1anbn nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明数列 an 为等比数列。（）求数列 bn 的前 n 项和 Tn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 求 S12223242L 1n1 n2 （ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、利用数列的通项求和先依据数列的结构及特点进行分析,找出数列的通项及其特点,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9求 111111111n个11 之和 .可编辑资料 - -
7、 - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 1111k个1199999k个11 10 k1（找9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项及特点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1111111111n个1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（分组求和）1 101191 10 2191 103191 10n19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 101910 210310 n1 19111n个1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1010 n1n91019可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 10n 11081
8、9n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10已知数列 an ： an8n1 n, 求n 3n 11 anan 1 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 通项及特点）n1 anan 18n1n11 n31（找n2 n4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 8 n12 n41n3 n4（设制分组）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 41n21811n4n3n4（裂项）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1和）1 anan 141n 1 n218n4n111 n3n4（分组、 裂项求可编辑资料 - - - 欢迎下载精
9、品名师归纳总结 4 13 1331 8 144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1解法：把原递推公式转化为an 1anf n,利用累加法 逐差相加法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例: 已知数列an满意 a11 , aa 21 ,求n 2nan 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由条件知：an 1an1n 2n1nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别令 n1,2,3, n1 ,代入上式得 n1 个等式累加之,即可编辑资料 - -
10、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1a31a2 a4a 31111anan 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12所以 an 23341a11nn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a1,an2111312 n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2an 1f nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：把原递推公式转化为an 1anf n ,利用累乘法 逐商相乘法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例: 已知数列an满意 a12 , an13na ,求
11、nn1an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由条件知式累乘之,即an 1ann,分别令 n n11,2,3, n1 ,代入上式得 n1 个等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 . a3. a 4 . an123n1an12a又1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2a3a2nan 1234na1n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3n例: 已知 a13 , an 13n1n 3n21 ,求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na3n1n3n11 . 3 n21 .23 n22. 3232131a.
12、1232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n43n7 L5 2 363n13n4853n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 3an 1panq （其中 p, q 均为常数, pq p10 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为： 利用换元法转化为等比数列求解。an 1tp ant ,其中 tq,再1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例: 已知数列an中, a11 , an 12an3 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设递推公式an 12an3 可以转化为
13、an 1t2ant 即 an 12antt3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故递推公式为an 132 an3 , 令 bnan3 ,就b1a134 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 11bnan 13an32 . 所以bn 是以 b14 为首项, 2 为公比的等比数列,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn42 n 12 n, 所以 an2 n 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 : 递推式：an 1panfn 。解法：只需构造数列bn ,消去f n 带来的差异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
14、结类 型 4an 1panqn （ 其 中p , q均 为 常 数 , pq p1 q10 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ an 1panrq n , 其中 p, q, r均为常数）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：一般的,要先在原递推公式两边同除以n 1q,得：an 1nq n 1p . an qq n1 引入帮助q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 bn（其中anbnqn1）,得：bn 1p b1 再待定系数法解决。qq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例: 已知数列an中, a15, an 1n161 an31
15、 n2,求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：在an 111 nan 321两边乘以2n 1 得：2 n 1 . a2 2 n3. an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 bn2n . a ,就 b2 b1, 解之得： b1nn332 2 n 所以3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnbnan2n1 n321 n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 5 递推公式为Sn 与 an 的关系式。 或 Snf an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解
16、法：这种类型一般利用an与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anSnSn 1f an f an1 消去 Sn n2 或与 Snf SnSn 1 n2 消去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 进行求解。例：已知数列a前 n 项和 S4a1. （ 1）求a与 a 的关系。 （ 2）求通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n公 式 an .nn2 n 2n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由 Sn4an12 n 2 得：Sn 14an 112n 1 于是可编辑
17、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn 1Snanan 1 1n 2212n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 an 1anan 112n 1an 1112 an2n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an2n 1（ 2）应用类型4（ an 1panqn （其中 p, q 均为常数, pq p1 q10 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的方法,上式两边同乘以n 1 得： 2n 12 n a2 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1S1n4a1121 2a11 . 于是数列n2 n an是以 2 为首项, 2 为公差
18、的等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 2 an22n12 nann 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 6 an 1pa nanb p1、0,a 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1xn1ypanxny, 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出x, y, 从 而 转 化 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anxny 是公比为 p 的等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例: 设数列an
19、： a14, an3an 12n1, n2 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 bnanAnB,就anbnAnB ,将an , an1 代入递推式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnAnBA3 A23 bn 1AAn1B12n13bn 13 A2n3B3 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B3B3 A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取bnann1 （）就bn3bn1 , 又 b16 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn63 n 12 3 n 代入（）得a2 3 nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n说明：（ 1）如f n为 n 的二次式,就可设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnanAn2BnC ;2此题也可由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an3an 12n1,an 13an 22n11（ n3 ）两式相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 13 an 1an 22 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 2pbn 1qbn 求之 .可编辑资料 - - - 欢迎下载