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1、高等数学教学教案第二章 连续与极限授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第一节 数列的极限定义与计算课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限运算性质教学难点极限定义参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、等差与等比数列一般地，如果一个数列满足常数（），那么这个数列做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，即.根据等差数列的定义可以推得
2、通项公式，前项求和公式或.如果一个数列满足常数（），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（）.即.2、极限定义 如果当数列的项数无限增大时，它的一般项无限接近于一个确定的常数，则称为数列的极限. 此时也称数列收敛于，记作，或.二、定理与性质：定理1（数列极限的运算法则）若，则（1）；（加减法则）（2）；（乘法法则）（3）；（交换法则）（4）. （除法法则）定理2（数列极限的唯一性）：如果数列收敛，即，则它的极限唯一.定理3（收敛数列的有界性）收敛数列必有界.定理4（收敛数列的保号性） 如果，且（或），则存在正整数，当时，都有（或）.推论：如果数列从某项起
3、有（或），且，则（或）.三、主要例题：例1 已知，求它的前项和例2已知数列，证明.例3 求下列函数的极限：（1） ; （2）;（3） ; （4）;(5) ; （6）.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第二节 函数的极限定义和计算课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限运算性质，极限与左右极限关系教学难点极限定义参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解极限的概念(对极限的-X，-定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换
4、元法则。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、自变量趋于无穷大时的极限定义1 设函数在大于某一正数时有定义，如果当时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，也称函数收敛于，记作 或 .2、自变量趋于有限值时的极限定义2 设函数在点的某个去心邻域内有定义，为该邻域内的任一点，如果当趋于时，对应的函数值无限接近于某个确定的数值，则称是当时的极限，记作 或 如果这样的常数不存在，则称当时，函数无极限，或者称函数发散. 为了方便，也常称“不存在”.二、定理与性质：定理1 且.定理2 （极限的四则运算法则） 设，则 （1）;（2）;(3) .推论 若，存在，则（1）；（2）； （
5、3）若，则.上述极限中将“”改为“”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）定理3（复合函数的极限运算法则） 设函数是由函数与复合而成的，在点的去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则.三、主要例题：例1 设函数，讨论其在时的极限.例2 证明（其中是常数）.例3 证明.例4 已知函数讨论.例5 计算下列函数的极限:（1）; (2) ;(3) ; (4) .例6 求 .例7 计算 例8 求极限.例9 求极限.例10 求极限 .例11 (1) 求极限; (2) 求极限.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第三节 两个重要极限课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手
6、段黑板多媒体结合教学重点两个重要极限的计算教学难点两个重要极限参考教材同济版高等数学职教；武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求掌握运用两个重要极限求极限的方法。教 学 基 本 内 容一、基本概念：二、定理与性质： 性质 如果，那么.三、主要例题：例1 计算下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）.例2 计算下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）.例3 求下列函数的极限: （1）； （2） ；(3) ； (4) ； 授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第二章第四节 无穷小与无穷大课的类型新知识课教学方法讲授、
7、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点无穷小定义，无穷大定义，两者关系，等价无穷小定义，高阶无穷小定义，常见等价无穷小教学难点无穷大参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、无穷小，定义1 设在内有定义，若，则称函数为时的无穷小.2、无穷大，定义2 设在内有定义，如果当时，对应的函数值的绝对值无限增大，就说是当时的无穷大量，简称无穷大，记作.3、无穷小的比较定义3 设、为同一个自变量的变化
8、过程中的无穷小，且，若，则称是比高阶的无穷小，记作；若，则称是比低阶的无穷小；若，则称是的同阶无穷小；特别当时，则称和是等价无穷小，记作；二、定理与性质：定理1（无穷小运算性质）在自变量的同一变化过程中，（1）有限个无穷小的和与差都是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小；（3），其中.定理2 在自变量的同一变化过程中，(1) 如果为无穷大，则为无穷小；(2) 如果为无穷小，且，则为无穷大.定理3 设, 为同一个自变量的变化过程中的无穷小，则与是等价无穷小的充分必要条件为.定理4 设, , , 为同一个自变量的变化过程中的无穷小，设，且存在，则.三、主要例题：例
9、1 求极限.例2证明.例3求 .例4 证明当时，.例5 利用等价无穷下替换求下列极限：（1） ； （2）；（3）； （4）求. 授课序号05教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第五节 函数的连续性及其性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点连续定义，间断点类型闭区间上函数性质教学难点判别间断点类型参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函
10、数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、函数在一点的连续性:定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果，则称在点连续.定义2 设函数在点的某个邻域内有定义，如果，则称在点连续.2、区间上的连续函数若函数在开区间（或）内处处连续（每一点处均连续），则称函数在开区间（或）内连续.若函数在开区间内连续，且在处右连续，在处左连续，则称函数在闭区间上连续.3、函数的间断点如果函数有下列三种情形之一：（1）在处没有定义；（2）虽然在处有定义，但不存在；（即、之一不存在，或两者存在但不相等）（3）虽在处有定义，存在，但，则称函数在处间断（不连续）. 而称为的间断点，或
11、不连续点.具体分法如下：（1）若、存在， 则称为函数的第一类间断点.如果（即存在），则称为函数的可去间断点，如果，则称为函数的跳跃间断点.（2）不是第一类的间断点，均是第二类间断点. 二、定理与性质：定理1（连续函数的四则运算）设函数和在点处连续，则（1）和；（2）差；（3）积；（4）商都在点处连续. 定理2 （反函数的连续性） 如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续. 定理3 （复合函数的极限） 设函数由函数与函数复合而成，,若, 而函数在连续, 则.定理4 （复合函数的连续性） 设函数由函数与函数复合而成，,若, 而函数在连
12、续 , 则.定理5（最大值最小值定理）若函数在闭区间上连续，则该函数在该闭区间上必有最大值和最小值.定理6（有界性定理）若函数在闭区间上连续，则该函数在该闭区间上必有界.定理7 （零点定理） 若函数在上连续，且，则至少存在一点，使.定理8 （介值定理） 若函数在上连续，且，则对于、之间的任意一个数，在内至少存在一点，使, 进一步，函数必取得介于最大值最小值之间的任何值 . 三、主要例题：例1 用连续性定义证明在处连续.例2 证明在内连续.例3 在处无定义，但，因此为的第一类间断点，为可去间断点.例4 函数知为函数的第一类间断点，为跳跃间断点.例5求 .例6 求 例7 试证方程至少有小于的正根.*例8如果函数在上连续，且，证明在内至少有一，使.11