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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数学归纳法证明及其使用技巧步骤第一数学归纳法一般的 , 证明一个与自然数n 有关的命题 Pn, 有如下步骤 :(1) 证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立。 n0 对于一般数列取值为0 或 1, 但也有特别情形 ;(2) 假设当 n=k kn0,k 为自然数 时命题成立 , 证明当 n=k+1时命题也成立。综合12,对一切自然数 n n0, 命题 Pn 都成立。其次数学归纳法对于某个与自然数有关的命题Pn,(1) 验证 n=n0,n=n1 时 Pn 成立;(2) 假设 nk时命题成立 , 并在此基础上
2、 , 推出 n=k+1 命题也成立。综合12,对一切自然数 n n0, 命题 Pn 都成立。倒推归纳法又名反向归纳法(1) 验证对于无穷多个自然数n 命题 Pn 成立 无穷多个自然数可以就是一个无穷数列中的数 , 如对于算术几何不等式的证明, 可以就是 2k,k 1;(2) 假设 Pk+1k n0 成立 , 并在此基础上 , 推出 Pk 成立,综合12,对一切自然数 n n0, 命题 Pn 都成立 ;螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题Pn,Qn,(1) 验证 n=n0 时 Pn 成立;(2) 假设 Pkkn0成立, 能推出 Qk 成立, 假设 Qk 成立, 能推出 Pk+1成立;综合12,对
3、一切自然数 n n0,Pn,Qn都成立。应用1 确定一个表达式在全部 自然数 范畴内就是成立的或者用于确定一个其她的形式在一个无穷序列就是成立的。2 数理规律与 运算机科学 广义的形式的观点指出能被求出值的表达式就是等价表达式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数学归纳法证明及其使用技巧3 证明数列前 n 项与与通项公式的成立。4 证明与自然
4、数有关的不等式。变体在应用 , 数学归纳法经常需要实行一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。从 0 以外的数字开头假如我们想证明的命题并不就是针对全部自然数, 而只就是针对全部大于等于某个数字 b 的自然数 , 那么证明的步骤需要做如下修改:第一步 , 证明当 n=b 时命题成立。其次步 , 证明假如 n=mmb 成立 , 那么可以推导出 n=m+1也成立。用这个方法可以证明诸如“当n3时, n 22n”这一类命题。针对偶数或奇数假如我们想证明的命题并不就是针对全部自然数, 而只就是针对全部奇数或偶数, 那么证明的步骤需要做如下修改:奇数方面 :第一步 , 证明当 n=1
5、 时命题成立。其次步 , 证明假如 n=m成立, 那么可以推导出 n=m+2也成立。偶数方面 :第一步 , 证明当 n=0 或 2 时命题成立。其次步 , 证明假如 n=m成立, 那么可以推导出 n=m+2也成立。递降归纳法数学归纳法并不就是只能应用于形如“对任意的 n”这样的命题。 对于形如“对任意的 n=0,1,2, 、,m”这样的命题 , 假如对一般的 n 比较复杂 , 而 n=m 比较简单验证 , 并且我们可以实现从 k 到 k- 1 的递推 , k=1, 、, m的话, 我们就能应用归纳法得到对于任意的 n=0,1,2, 、,m, 原命题均成立。假如命题 Pn 在 n=1,2,3,
6、、 ,t 时成立 , 并且对于任意自然数 k, 由Pk,Pk+1,Pk+2,、 ,Pk+t-1成立, 其中 t 就是一个常量 , 那么 Pn 对于一切自然数都成立、跳动归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数学归纳法证明及其使用技巧设 Pn 表示一个与自然数n 有关的命题 , 如1P1,P2,Pl成立 ;2假设 Pk 成立, 可以推出 P
7、k+l成立, 就 Pn 对一切自然数 n 都成立、 1合理性数学归纳法的原理 , 通常被规定作为自然数公理 参见皮亚诺公理 。但就是在另一些公理的基础上 , 它可以用一些规律方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质 最小自然数原理 公理可以推出 :自然数集 就是良序的。 每个非空的正整数集合都有一个最小的元素比如1, 2, 3 , 4, 5这个正整数集合中有最小的数1、下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法:对于一个已经完成上述两步证明的数学命题, 我们假设它并不就是对于全部的正整数都成立。对于那些不成立的数所构成的集合S, 其中必定有一个最小的元素k。1 就是不属于集合 S 的, 所以
8、k12k 已经就是集合 S 中的最小元素了 , 所以 k-1 就是不属于 S, 这意味着 k-1 对于命题而言就是成立的既然对于 k-1 成立, 那么也对 k 也应当成立 , 这与我们完成的其次步骤冲突。所以这个完成两个步骤的命题能够对全部 n 都成立。留意到有些其它的公理的确就是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更准确的说 , 两者就是等价的。解题要点数学归纳法对解题的形式要求严格, 数学归纳法解题过程中 ,第一步 : 验证 n 取第一个自然数时成立其次步 : 假设 n=k 时成立 , 然后以验证的条件与假设的条件作为论证的依据进行推导 , 在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1 代入假设
9、的原式中去。最终一步总结表述。需要强调就是数学归纳法的两步都很重要, 缺一不行 , 否就可能得到下面的荒谬证明 :证明 1: 全部的马都就是一种颜色第一, 第一步 , 这个命题对 n=1时成立 , 即, 只有 1 匹马时 , 马的颜色只有一种。其次步 , 假设这个命题对 n 成立, 即假设任何 n 匹马都就是一种颜色。 那么当我们有 n+1 匹马时 , 不妨把它们编好号 : 1, 2 , 3n, n+1对其中 1 、2n 这些马 , 由我们的假设可以得到 , 它们都就是同一种颜色 ;对2 、3n、n+1 这些马 , 我们也可以得到它们就是一种颜色;由于这两组中都有 2 、3、n 这些马 , 所
10、以可以得到 , 这 n+1 种马都就是同一种颜色。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数学归纳法证明及其使用技巧这个证明的错误来于推理的其次步: 当 n=1 时,n+1=2, 此时马的编号只有1、 2, 那么分的两组就是 1 与2 它们没有交集 , 所以其次步的推论就是错误的。数学归纳法其次步要求nn+1 过程对 n=1,2,3的数都成立 ,
11、而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块与其次块之间间隔太大, 推倒了第一块 , 但它不会推倒其次块。即使我们知道其次块倒下会推倒第三块等等, 但这个过程早已在第一与其次块之间就中断了。2证明 2: 举例证明下面的定理等差数列求与公式第一步 , 验证该公式在n = 1时成立。即有左边 =1, 右边=1, 所以这个公式在 n =1 时成立。其次步 , 需要证明 假设 n =m 时公式成立 , 那么可以 推导 出 n =m+1 时公式也成立。步骤如下 :假设 n =m 时公式成立 , 即 等式 1然后在等式两边 同时分别加上 m+ 1得到 等式 2这就就是 n =m+1 时的等式。我们下一步需要依据等
12、式 1 证明 等式 2 成立。通过因式分解合并 , 等式 2 的右边也就就是这样我们就完成了由n=m成立推导出 n=m+1 成立的过程 , 证毕。结论: 对于任意自然数n, 公式均成立。对于以上例 2 的分析在这个证明中 , 归纳的过程如下 :1. 第一证明 n=1 成立。2. 然后证明从 n=m 成立可以推导出 n=m+1 也成立 这里实际应用的就是演绎推理 法 。3. 依据上两条从 n=1 成立可以推导出 n=1+1, 也就就是 n=2 成立。4. 连续推导 , 可以知道 n=3 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数学归纳法证明及其使用技巧5. 从 n=3成立可以推导出n=4 也成立6. 不断重复 3 的推导过程 这就就是所谓 “归纳推理 的的方 。7. 我们便可以下结论 : 对于任意自然数n, 公式成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载