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1、精品名师归纳总结2.7. 微分方程初步可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.7.1 概说涉及到量的变化率满意的制约关系,通常是含有导数的方程微分方程。简洁例子：（1） 放射性物质,在每一时刻t ,衰变的速率dm （由于是削减,因此dmdtdt标量,是正值）正比于该放射性物质尚存的质量,因此质量应满意一下微分方程。dmkm dt0 ,速率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 质量为 m 的物体自由落体,取坐标轴沿竖直方向指向的心,下落距离yyt应当满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
2、 - 欢迎下载精品名师归纳总结足牛顿其次定律 Fma ,即d 2 ymgm dt 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 质量为 m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向的心,就 t 时刻下降距离 yyt 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mgk dy2m d y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dtdt 2（1）如下图所示,钢球在以水平光滑杆上,受到弹力而来回整栋,原点位置为O ,钢球在t 时刻的坐标 xxt 满意微分方程d 2 xkxm dt 2假如钢球仍受到一个与速度成正比,方向与速度相反的阻尼力的作用,那么它
3、所满意的微分方程是dxd 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结： 最简洁的一阶微分方程是kxhm2dtdtdxf t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 t 是自变量,上述方程的一般解应当是xf tdtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最简洁的 n 阶方程d n x dt nf t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d n 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它等价于说是dt n 1f t 的原函数,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资
4、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就再次积分,始终积分下去得到d n 1x dt n 1f t dtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t nxf t dtdtC1n11.Cn 1tCn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考察下面的方程2.7.2 一阶线性微分方程dxatxbt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程中有未知函数的一阶导数,且其一阶导数的系数为常数,其余部分未知函数最高层次数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为一次,称为
5、线性,上述方程为一阶线性微分方程。假如at0 ,就称为 一阶线性常微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程。试着求解上述方程,方程两端都乘以a t dte,得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即为下面的形式a t dt dxedtat ea t dtxbtea t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结at dt dxa t dtdea t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结exbtedt
6、dt即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxea t dtbtea t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有那么有dtat dtxebtea t dtdtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a t dta t dtxebt edtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这就是一阶线性微分方程的一般解 。这个解法的关键部分是以at dte乘以方程两端 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简洁的例子（1）质量为 m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向的心,就 t 时刻下降距离 yyt 满意dyd
7、 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于速度 vdy,因此方程化为dtmgkm2dtdtdvk vgdtm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结at dtkkdtt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程两边同时乘以ee mem ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结emt dvkdtm即有k tdvemdtk t得到ttem vgemk tgem可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k tve mmg emC k可编辑资料
8、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结即kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结vetmg e tCmgCet可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mmmkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跳伞的初始速度为0,即 t0, v0 ,就vmgC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以就跳伞速度为t 0kCmg kmgk t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 vdy,因此有dtv1kmgk te mmgmk t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yvdt1e mdtte mC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
9、纳总结kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跳伞的初始位移为0,即 t0, y0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y t 0mgmkkC 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就因此有C m k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tkymgtme m1kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结自然界有一些量,它的削减正比于该量本身数值,这样的量x 应当满意一下的微分方程dxkx dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
10、即解这微分方程得到dxkx0 dtxCe kt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 t0 时 x 的值为x0 ,就有Cx0,量 x 的变化规律为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ktxx0e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.7.3 变量分别型微分方程先看一个简洁的例子,考察一阶线性方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们把这个方程改写为dxatx dtdxat dt x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 xxt 是方程的解,那么它能使上式成为恒等式,两边求不定积分得d
11、xatdtC x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此得到ln | x|at dtC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xeC a t dte可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 令 Ce,就得到因此我们可以得到结论,方程xCea t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的一般解为dxatx dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（一般的变量分别型方程） 对于一般的变量分别型方程x
12、Cea t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结事实上,假如dxf t g x dtg x0 ,那么方程可以改写为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxfg xt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再对两边求不定积分得到dx g xf t dtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另外,假如有x0 能使得g x0 0 ,那么常值函数xx0 也是原方程的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
13、师归纳总结（经过换元后得到变量分别型方程）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 考察方程dxfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dtt换元,引入新的未知数uxt我们得到xutdxdut ut du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入原方程得到dtdtdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ut du dtf u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结duf uu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这又是一个变量分别型方程,我们有dttdudt可编辑资料 - - -
14、 欢迎下载精品名师归纳总结f uutdudtCf uut可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有duf uuln | t |C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 考察方程dxfxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dtxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变换方程换元,令我们得到dxf dtdxxtgxxttxutxutut du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入原方程,我们有dtdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ut dufudtu可编辑资料 -
15、- - 欢迎下载精品名师归纳总结这是一个分别变量型的方程,得到dudt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fuut u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边取积分得到dudtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fuut u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就得到（ 3） 考察方程dufuuuln | t |C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxfxtdtxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个方程可以化成（ 2）中的形式,取x0 和 t0 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
16、 - 欢迎下载精品名师归纳总结作如下变换就有x0t00x0t00xx0tt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxd x0 ddtdt0 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fxtfx0 t0fx0t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xtx0 t0 x0t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f0ff 0作换元,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuddududududfuududfuuududfuuCuduln |fuuCu我们得到代入原方程,我们有求解方程后只要将值仍原为仍原前的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精
17、品名师归纳总结2.7.4 实变复值函数对于代数方程式,我们已经有过这样的体会：即使是实系数的代数方程,为了弄清晰它的根的状况, 最好到更广泛的复数范畴内加以争论。 在处理微分方程的某些问题时, 例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题： 虽然是“实”的微分方程, 所求的也是实解（实值函数解） ,但中间过程却需要在更广泛的复值函数范畴内进行争论。本节为这一争论做预备。（ 1）复数与平面对量,复数序列的极限我们把外形如wuiv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的数称为复数,这里i1 是虚单位,而u,v 都是实数,分别称为实部和虚部,记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品名师归纳总结Re wu, Im wv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数的加法和乘法定义如下：u1iv1u2iv 2u1u2 i v1v2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u1iv1u2iv 2u1u2 i v1v2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u1iv1 u2iv2 u1u2iv 2u1iv1u2v1v2u1u2v1v2 iv2u1v1u 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u1iv1
19、u1iv1u2iv 2u1u2v1v2 i v1u2v2u1 u1u2v1v2i v1u2v2u1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uivuiv uiv u 2v 2u 2v 2u 2v 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作除法时要求uiv0 ,即 u 2v 20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222复数 wuiv 可以说明为平面直角坐标系中坐标为u, v 的点,这点的极坐标为 r, ,yi u,vrOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中ru2v2 ,
20、cosu , sinv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们把rrwr cosi sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为复数的极坐标表示,r 和 分别称为复数的模和幅角,分别用符号| w | 和 Argw 表示。采纳这种表示来运算复数的乘方特殊便利：wnr n cos ni sin n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 当 n1 时明显成立,假设当nk 时成立,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 nk1时,有wkr k cos ki sin k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品名师归纳总结wk 1wkwr k cos ki sin k r cosi sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r k 1cos ki sin kcosi sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r k 1cos kcossin ksini cos ksinsin kcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r k 1cosk1i sin k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以对 nk1也成立,故而有wnr ncos nisin
22、n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数 wuiv 仍可以说明为长为 | w |方位角为 Argw 的一个平面对量, 多个复数之和就可以懂得为多个平面对量之和。复数的模正好是向量的长度,它满意一下不等式：| w1w2 | | w1 | w2 |意味着三角形的两边之和大于第三边。也可以用代数方式证明这个不等式。化为代数表达, 也就是证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uu 2vv 2u 2v 2u 2v 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121122这个采纳逆向证明法很简洁证明,不等式仍可以推广到m 个复数的情形,就可编辑资料 - - - 欢
23、迎下载精品名师归纳总结| w1w2wm | | w1 | w2| wm |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1： 复数序列 wn收敛于 A 和 B 。univ n 收敛于 CAiB 的充分必要条件是序列un 和序列vn 分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（实变复值函数）设 DR , EC ,我们把从 D 到 E 的映射wft 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为实变复值函数, 设 wuiv , ft
24、 tit,、函数wf t 相当于一对实函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ut , vt引入实变复值函数作为工具,是为了更便利的争论实函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1： 设实变复值函数f t tit 在U t0, 有定义,而 CAiB ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limtt0f tC 的充分必要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limt tt 0u , limt
25、vtt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2： 设实变复值函数f t tit 在U t0, 有定义,就f t 在 t0 点连续的充分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结必要条件是：t 和 t 在 t0 点连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 3： 设实变复值函数f t tit 在U t0, 有定义,就f t 在 t0 点可导的充分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
26、 欢迎下载精品名师归纳总结必要条件是：t 和 t 在 t0 点可导。且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f t0 t0 it0实函数的复合函数求导法就同样适用于实变复值函数的复合函数求导。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 4： 为使实变复值函数F t tit 是实变复值函数f tt it 的原函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数,必需而且只许t 和t 分别是t 和 t的原函数。记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f t dtFtC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中
27、 C 可以是复数。f t dtt dtit dtt it C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（欧拉 Euler 公式）在推导过程中,会用到下面几个常见的极限1ln1arctan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim 1e, lim1 , lim1000nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。当 a0时, lim1alim1annaea可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a因此有0时,nlim 1a nnlim 101e0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料
28、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim1定义： 对于 caibC ,我们规定naea,aR n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面来求解ec 。neclim1c n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将复数1cn写成极坐标的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结w1c1aib1ai brcosi sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn其中b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
29、归纳总结那么有r1ab,arctannnn1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n由前面的学问可得n1cwn nr cosni sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wnrcosi sinr n cosni sin n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1cr nncosni sin n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结neclim1c n
30、limr ncos ni sin nlim r nlimcosnisin n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim r ncos limni sin lim n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面分别求出各部分的极限：nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222r n1ab2 aa 2b 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln r nnln 122aa 2b 2nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此有 （可用其同阶的无穷小替代）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2aa2b 2n2aa 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim