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1、精品名师归纳总结课 程 设 计 报 告专业班级课程题目学号同学姓名指导老师年月基于 MATLAB 的 IIR 数字带通滤波器设计一、数字滤波器数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字运算过程，也可以懂得为是一台运算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器供应运算规章，使其依据这个规章完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性 :,其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性） ,
2、是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字 滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后, 因此， 只要依据输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择，使得滤波后的中意设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器依据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激 响应IIR数字滤波器和有限长冲激响应 FIR 数字滤波器。 IIR数字滤波器的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点是，具有无限连续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：系统函数为：设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数Hz ，使其频率响应 Hz 中意所期望得到的频域指标，即符
3、合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。二、IIR 数字滤波器设计方法IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为假设MN，当MN时, 系统函数可以看作一个 IIR 的子系统和一个 M-N 的FIR子系统的级联。 IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种靠近问题，即在规定意义上（通常接受最小均方误差准就）去靠近系统的特性。假如在 S平面上去靠近，就得到模拟滤波器。假如在z平面上去靠近，就得到数字滤波器。1. 用脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能仿照模拟滤波器的特性，这种仿照可以从
4、不同的角度动身。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应动身，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h n 仿照模拟滤波器的冲激响应 ha t ，即将 ha t 进行等间隔采样，使 h n 正好等于 ha t 的采样值，中意h n= ha nT式中, T 是采样周期。a假如令 Ha s 是 ha t 的拉普拉斯变换， H z 为 h n 的 Z 变换，利用采样序列的 Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X z ze sT1X s T k1jks T kXa sj 2k T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1-1就可看出，脉冲响应不变法将模拟滤
5、波器的S 平面变换成数字滤波器的ZsT平面，这个从 s 到 z 的变换 z=e 是从 S平面变换到 Z 平面的标准变换关系式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j3 / TjIm z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1-1 脉冲响应不变法的映射关系/ T由（ 1-1 ）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结H e j 1 T kH / Tj2 ka1oo3 / TT1Rez1-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这就是说，数字S平滤面波器的频率响应Z是平面模拟滤波器频率响应的周期延拓
6、。正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如采样定理所争辩的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结H a j0|sT21-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结H e j 1 HjaTT| | 1-4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓重量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如
7、图7-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有确定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，接受脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的成效。Ha j图 1-2 脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha t 进行采样，采样频率为 f s，如使 f s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 o2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s增加，即令采样时间T间隔T（ T=T1/ f T）减小，就系统频率响应各周期延拓重量之H ej 间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应
8、。脉冲响应不变法优缺点：从以上争辩可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完32o23 T全仿照模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域靠近良好，而且模拟频率和数字频率 之间呈线性关系 = T。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器 例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器 ， 而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。
9、假如要对高通和带阻滤波器接受脉冲响应不变法，就必需先对高通和带阻滤波器加一爱惜滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。2. 用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是由于从 S 平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以接受非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范畴压缩到 - / T / T 之间，再用1z=esT 转换到 Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到 S 平面的- / T/ T 一条横带里。其次步再通过标准变换关系z
10、=es1T 将此横带变换到整个 Z 平面上去。这样就使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，排除了多值变换性，也就排除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3 所示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j图 1-3j1双线性变换的映射关系jIm z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到/ TS1 平面 j 1 轴上的- / T 到/ T 段111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上，可以通过o以下的正切变换实现ooRez可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
11、 tan1TT2式中, T 仍是S平采面样间隔。 / TS 平面1（ 1-5 ）Z平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当1 由- / T 经过 0 变化到/ T 时， 由- 经过 0 变化到+，也即映射了整个 j 轴。将式（ 1-5 ）写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ej将此关系解读延拓到整个 SjTe j1T / 21T / 2e j 1T / 2ej 1T / 2平面和 S1 平面，令 j =s，j 1=s1，就得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 es1T / 2sTes1T / 2e
12、s1T / 2e s1T / 22 tanhTs1T 22 1eT1es1Ts1T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面z=es1T从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1z 1s1T 1z（ 1-6 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1T s2s z2T1T s2s（ 1-7 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式（ 1-6 ）与式（ 1-7 ）是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换2T都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式
13、（ 1-5 ）与式（ 1-6 ）的双线性变换符合映射变换应中意的两点要求。第一, 把 z=ej ，可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结js2 1e T 1e jj 2 tanjT2（ 1-8 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆。其次，将 s=+j 代入式（ 1-8 ），得j因此22zT22由此看出，2当 0 时， | z|0 时， | z|1 。也就是说， S 平面的左2T| z |Tj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半平面映射到Z 平面2的单位圆内， S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆2可编辑资料
14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结外， S 平面的虚T轴映射到 Z 平面的单位圆上。因此，稳固的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也确定是稳固的。双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是防止了频率响应的混叠现象。这是由于 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应关系。 S 平面整个 j 轴单值的对应于 Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（ 1-8 ）所示，重写如下：上式说明， S平面上与 Z 平面的2 tan成非线性的正切关系，如图 7-7 所示。T2由图 7-7看出，在零频率邻近，模拟角频率 与数字频率 之间的变换关系接近于线性关系。但当
15、进一步增加时， 增长得越来越慢，最终当 时， 终止在折叠频率 = 处，因而双线性变换就不会显现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而排除了频率混叠现象。 2 tanT2图 1-4 双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严肃非线性关系而得到的，如式（ 1-8 ）及图 1-4 所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问o题。第一，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了。其次，这种非线性关系要求模拟滤波器可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的幅频响应必需是分段常数型的，即某一频率段的幅频
16、响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 1-5 所示。图 1-5 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于分段常o 数的o滤波器，双线性变换后o，仍得到幅频特o 性为分段常数的滤可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ha j arg H a j o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结波器，但是各个H分ej段 边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
17、过频率的预畸来加以o校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变arg， H 然ej后正好映射到所需要的数字频率上。三、IIR 数字带通滤波器设计过程：后经变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据以上 IIR 数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于 MATLAB 设计一个 IIR 带通滤波器，其中带通的中心频率为 p0=0.5，。通带截止频率 p1=0.4 ,p2=0.6 。通带最大衰减 p=3dB。阻带最小衰减 s=15dB。阻带截止频率 s2=0.71. 设计步骤：(1) 依据任务 , 确定性能指标 : 在设计带通滤波器之前 , 第一依据工程实际的需要确定滤波器的技术指标
18、:带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率 p0 几何对称，因此 ws1=wp0-ws2-wp0=0.3 通带截止频率 wc1=0.4 ,wc2=0.6 。阻带截止频率wr1=0.3 ，wr2=0.7。阻带最小衰减 s=3dB和通带最大衰减 p=15dB。(2) 用=2/T*tanw/2对带通数字滤波器 Hz 的数字边界频率预畸变，得到带通模拟滤波器 Hs 的边界频率主要是通带截止频率p1, p2。阻带截止频率s1， s2 的转换。为了运算简便，对双线性变换法一般T=2s通带截止频率 wc1=2/T*tanwp1/2=tan0.4/2=0.7265 wc2=2/T*tanwp2/2=tan0.6/
19、2=1.3764阻带截止频率 wr1=2/T*tanws1/2=tan0.3/2=0.5095可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wr2=2/T*tanws2/2=tan0.7/2=1.9626 阻带最小衰减 s=3dB和通带最大衰减 p=15dB。(3) 运用低通到带通频率变换公式 = 2- 02/B* 将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。B=wc2-wc1=0.6499normwr1=wr12-w02/B*wr1=2.236 normwr2=wr22-w02/B*wr2=2.236 normwc1=wc12-w02/B*wc1=1normwc2=wc22-w02/B*
20、wc2=1得出， normwc=1，normwr=2.236模拟低通滤波器指标： normwc=1， normwr=2.236， p=3dB， s=15dB(4) 设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传 输函 数 Has 。 借 助巴 特沃 斯 Butterworth滤 波 器、 切比 雪 夫Chebyshev 滤波器、椭圆 Cauer 滤波器、贝塞尔 Bessel 滤波器等。(5) 调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。(6) 利用双线性变换法将模拟带通滤波器Has 转换成数字带通滤波器Hz.2. 程序流程框图：开头读入数字滤波器技术指标
21、将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和 3db 截止频率模拟域频率变换，将 GP变换成模拟带通滤波器Hs用双线性变换法将 Hs 转换成数字带通滤波器Hz输入信号后显示相关结果终止3. MATLAB程序：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MATLAB程序如下 :clearwp0=0.5*pi 。wp1=0.4*pi 。wp2=0.6*pi 。Ap=3。ws2=0.7*pi 。As=15。T=2。%数字带通滤波器技术指标ws1=wp0-ws2-wp0。%运算带通滤波器的阻带下截止频率wc1=2/T*tanwp1/2。wc2=2/T*tanwp2/2。
22、wr1=2/T*tanws1/2。wr2=2/T*tanws2/2。w0=2/T*tanwp0/2。%频率预畸变B=wc2-wc1。%带通滤波器的通带宽度normwr1=wr12-w02/B*wr1。normwr2=wr22-w02/B*wr2。normwc1=wc12-w02/B*wc1。normwc2=wc22-w02/B*wc2。 % 带通到低通的频率变换if absnormwr1absnormwr2 normwr=absnormwr2else normwr=absnormwr1 endnormwc=1。%将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标N=buttordnormwc,normwr
23、,Ap,As,s。 %设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和 3db 截止频率bLP,aLP=butterN,normwc,s。%运算相应的模拟滤波器系统函数GpbBP,aBP=lp2bpbLP,aLP,w0,B。%模拟域频率变换，将GP变换成模拟带通滤波器 Hsb,a=bilinearbBP,aBP,0.5。%用双线性变换法将Hs 转换成数字带通滤波器 Hzw=linspace 0,2*pi,500。h=freqzb,a,w。subplot2,1,2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结plotw,absh。grid on xlabelwradylabel|Hjw| title频谱函
24、数 subplot2,2,1。plotw,20*log10absh。axis0,2*pi,-120,20。grid on xlabelwradylabel20*lg|Hjw|dbtitle20*lg|Hjw|-w四运行结果及分析：图程序运行结果： normwr=2.2361由设计流程运算得 normwr=2.236 与运行结果相同。低通原型的每一个边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频率。根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据通带截至频率和阻带截至频率与频谱函数曲线比较，中意设计要求。五总结：通过这个试验，对设计带通数字滤波器的整个过程有了很好的把握。其中双线性变换法，巴特沃
25、斯设计模拟滤波器的运用，也比较熟识了。通过对数字带通滤波器的设计，熟识了MATLAB的运行环境，初步把握了MATLAB语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用。 熟识了滤波器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的熟识。学会了数字高通滤波器设计的一般步骤。加深了对滤波器设计中产生误差的缘由以及双线性变换法优缺点的懂得和熟识。总之，使理论联系了实际，巩固并深化了对课本基本学问的熟识和懂得，使理论得以升华。参考资料（1 ）数字信号处理，高西全，电子工业出版社（2 ）应用 MATLAB实现信号分析和处理，张明照，科学出版社（3 ）数字信号处理及MATLAB实现，余成波，清华高校出版社（4 ）MATLAB7.0在数字信号处理中的应用，罗军辉，机械工业出版社（5 ）MATLAB信号处理，刘波，电子工业出版社（6 ）Matlab信号处理与应用，董长虹，国防工业出版社（7 ）数字信号处理原理及其MATLAB实现，从玉良，电子工业出版社（8 ）数字信号处理基础及MATLAB实现，周辉，中国林业出版社可编辑资料 - - - 欢迎下载