数列解题技巧归纳总结打印.docx

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1、精品名师归纳总结数列解题技巧归纳总结基础学问：1. 数列、项的概念 ：按肯定次序 排列的一列数,叫做数列 ,其中的每一个数叫做数列的项2. 数列的项的性质： 有序性。 确定性 。 可重复性3. 数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,an,（）,简记作 an其中 an 是该数列的第n 项,列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4. 数列的一般性质：单调性 。周期性 5. 数列的分类 ：按项的数量分：有穷数列 、 无穷数列 。按相邻项的大小关系分

2、：递增数列、递减数列 、常数列、摇摆数列、其他。按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他。按项的变化范畴分：有界数列、无界数列6 数列的通项公式 ：假如数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f（ n）（n N+或其有限子集 1 , 2, 3, n ） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数,是函数值,而序号是指数列中项的位置,是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ,点的横坐标是项的序号值 ,纵坐标是 各项的值 不是全部的数列都有通项公式,数列的通项公式在形式上未必唯独7 数列的递推公式 ：假如已知数

3、列 an 的第一项（或前几项） ,且任一项 an 与它的前一项 an-1 （或前几项 an- 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an-2 ,）间关系可以用一个公式an=f（ a n1 ）（ n=2,3,） （或 an=f（a n1 , a n2 ） n=3,4,5, ,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n8. 数列的求和公式：设 Sn 表示数列 an 和前 n 项和,即 Sn=aii 1=a1+a2+an,假如 Sn 与项数 n 之间的函数可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品名师归纳总结关系可以用一个公式Sn= f （n）（ n=1,2, 3,） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的求和公式 9. 通项公式与求和公式的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式 an 与求和公式 Sn 的关系可表示为： anS1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列与等比数列：SnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列等比数列文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的,假如一个数列从其次项起,每一项与字它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列定 就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。义一般的

5、,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比是同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号an 1and递增数列：d0递减数列：d0递增数列： a0, q1或a0,0q1常数数列：d0定义分an 1anq q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递减数列： a10, q1或a10,0q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摇摆数列： q0常数数列： q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

6、纳总结ana1n通1dpnqam nmdaa qn 1a qnmq0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项其中pd , qa1dn1m（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S前n a1nn2an na1nn1) d2pn2qna11Sn1qn q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项dd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 p和, qa122na1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中a, b, c成等差的充要条件 :2bac项a,b,c成等比的必要不充分条件：b2ac可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等和性： 等差数列 an等积性： 等比数列an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 mnpq 就 aman主apaq如 mnpq 就 amana p aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要推论：如 mn2 p 就 aa2a推论：如 mn2 p 就 aaa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mnp性mnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结质aa2aaaa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n kn knnknkn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品名师归纳总结a1ana2an 1a3an 2a1ana2an 1a3an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：首尾颠倒相加,就和相等1、等差数列中连续m 项的和,组成的新数列即：首尾颠倒相乘,就积相等1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等差数列。即：等比数列。 即：sm, s2msm , s3ms2m ,等比,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sm , s2m其sm , s3 ms2m ,等差,公

9、差为m公比为 q。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2d 就有s3 m3s2 msm 2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： a1, a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： a1, a4 ,a7, a10 ,（下标成等差数列）3、 a, b等比,就a, a, ka可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、an, bn等 差 , 就a

10、2 n,a2n 1,nn2 n也等比。其中 k02n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它kanb ,panqbn 也等差。4、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等差数列an 的通项公式是 n 的一次函数,即： acqn ,其中 ca1nq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n等比数列的前n 项和公式是一个平移加振可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： andnc d0 幅的 n 的指数函数,即：sncqcq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列an 的前 n 项和公式是一

11、个没有常5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数项的 n 的二次函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性即： SnAn2Bn d0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、项数为奇数 2n1的等差数列有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s奇nssaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1奇偶n中s偶n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2n12 n1) an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项数为偶数 2n 的等差数列有： 质sa可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结奇ns偶an 1, s偶s奇nd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2nnanan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、 anm, amn 就 am n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结snsm 就 sm n0 nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结snm, smn 就 sm nmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明一个数列为等差数列的方法：证

13、证明一个数列为等比数列的方法：a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明1、定义法：aad常数1、定义法：n 1q常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法2、中项法：n 1an 1nan 12an n2an2、中项法： aa（ a ）2 n2, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设三数等差： 元ad, a, ad三数等比：a , a, aq或a, aq, aq2q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技四数等差： a巧3d, ad , ad , a3d四数等比：a, aq,

14、aq2 , aq3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如数列an 是等差数列, 就数列Can是等比数列, 公比为Cd ,其中 C 是常数, d 是 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n的公差。联系2、如数列an 是等比数列,且an0 ,就数列 log a an是等差数列,公差为log a q ,其中 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是常数且 a0, a1 , q是 an的公比。可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的项an 与前 n 项和Sn 的关系： ans1snsn 1n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列求和的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、错项相减法：适用于差比数列（假如an 等差,bn 等比,那么anbn叫做差比数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即把每一项都乘以bn 的公比 q ,向

16、后错一项, 再对应同次项相减, 转化为等比数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可裂项为：11 11 ,11 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aadaan 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

17、纳总结等差数列前 n 项和的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ,就Sn 最大an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（）如已知Spn 2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如等差数列

18、an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ,就Sn 最小an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（）如已知Spn 2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式。等比数列通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知Sn （即 a1a2anfn ）求an , 用作差

19、法 ： anS1, n1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1, n1SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a1 a2anfn 求 an , 用作商法： anf n, n2) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an 。有时也可直接求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 an 1anf n求 an 用累加法 ： an anan 1an 1an 2 a2a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

20、纳总结a1 n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知an 1f n 求 a , 用累乘法 ： aanan 1a2a n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnanan 11an 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知递推关系求an , 用构造法 （构造等差、等比数列） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的 ,（1）形如 ankan 1b 、 ankan 1bn （k ,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结化为公比为 k 的等比数列 后,再求an 。形如 ankan 1k的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n列后,再求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）形如 anan 1的递推数列都可以用倒数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkan 1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品名师归纳总结n1n（ 7）（理科） 数学归纳法 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1an 1q 时, 分奇数项偶数项争论, 结果可能是分段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d, q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-a n=2

23、 为常数 a n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列n an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、已知 an 满意an 11 a ,而 a 212 ,求an =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、已知 a 中 a1 , aa1,求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2解： 由已知可知1n 1an 1ann4n21n11 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1 2n122n12n1

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 n=1, 2,（ n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（ a2-a 1） +（ a3-a 2）+ +（ an-a n-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana11 1212n14 n34n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 说明只要和 f （ 1） +f （ 2）+ +f （n-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1, 2,（ n-1 ）代入,可得n-1 个等式累加而求 an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p,q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

25、归纳总结例 4、 an 中,a11 ,对于 n 1（n N）有 an3an 12 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1 +2。两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a 1=（ 3 1+2） -1=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n-1 an+1-a n=43 an+1=3an+2 3an+2-a n=4 3n-1即 a n=2 3-1n-12n-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二

26、： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有： a2-a 1=4,a3-a 2=43,a4-a 3=43 ,an-a n-1 =43,把 n-1 个等式累加得： an=23n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p,q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb2 bb由上题的解法,得： b2 n abn1 n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 13n323n2n3223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 递推式为an 2pan 1qa

27、n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路：设an 2pan 1qan , 可以变形为：an 2an 1an 1an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结想于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列,就转化为前面的类型。求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系。（ 2）试用 n 表示 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sn 1Sn anan 11 2n 212n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ann+11n

28、+1anan 1n12n 1n an 1112 an2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式两边同乘以2得 2an+1=2 an+2 就2 an 是公差为 2 的等差数列。n 2 an= 2+ （ n-1 ） 2=2n2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的。21 3 5 2n-1=n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】 求数列 1,（ 3+5）,（ 7+9+10）,（ 13+15+17+19）,前 n 项的和。解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n 项中,共有

29、1+2+ +n= 1 nn21 个奇数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最终一个奇数为： 1+1 nn+1-1 2=n2+n-12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此所求数列的前n 项的和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。2222222【例 9】求和 S=1（ n -1 ） + 2 （ n -2 ） +3（ n -3 ） + +n（ n -n ）23333解S=n （ 1+2+3+ +n）- （ 1 +2 +3 + +n ）（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和

30、具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、求和： S3C16C 23nC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、解S0C 03C16C 23nC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnn-1 S n=3n2（ 4）、错位相减法2n-1假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和2n-1例 11、 求数列 1, 3x , 5x , ,2n-1

31、x前 n 项的和n解设 Sn=1+3+5x + +2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x=0时, Sn=1n3 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x23+5x+ +2n-1x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 - ,得 1-xSn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消。常见裂项方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12、求和11111537592 n12n3注：在消项时肯定留意消去

32、了哪些项,仍剩下哪些项,一般的剩下的正项与负项一样多。在把握常见题型的解法的同时,也要留意数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1. 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 a n 的首项 a10,前 n 项的和为 Sn,如 Sl =Sk（l k）问 n 为何值时 Sn 最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a1 0Sl =Sk （ l k）, d0 故此二次函数的图像开口向下 f （ l ） =f （ k）2. 方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q。分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能。解依题意可知 q 1。假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1, S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结336整理得q（ 2q -q-1 ） =0 q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题仍可以作如下摸索：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S33336可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6=S3+q S3=（ 1+q ）S3 。S9=S3+q S6 =S3（ 1+q +q ）,3