《放缩法技巧全总结非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《放缩法技巧全总结非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之 .docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结2022 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩。其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.1求n22k 1 4k的值;2 求证:1n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1由于24n 212n21 2n112n11n22n1,
2、所以n22k 1 4 k1112 n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由于 114211,所以112 1111251可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nn 2144n 212n12n1k 1 k352n12 n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇巧积存 :1 1n 244 n244n21122n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 Tr 1r1Cnn rn. r . n1r .nr11r .r r1n 1n1r11
3、 r2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 151 nn1111121321115n n12(6) 1n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 2 n12n12nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 2n1n 91k n1kn12n111kknn11,n1 nn811 k212n12n311k1 nn12 n2 n11k11 2 n 12 n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 nn1 .1n .n11 .111n2 2
4、n12n12 22n 12n 12n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn11222n2nnnn2n 1nn 111n 1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2121 2121 2221 212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 n 311nn1 n1n n1nn1n1n1n11n11n1n n2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11n1n113 2 n 1n12
5、 nn2 23n1 232nnnn321221312 n2n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14k. kk21.k2.1k1 .1k2 .151n n1nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222(15) i1j1ijij1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijij i1j1i1j1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.1 求证:11132522 求证: 111 2n171 26111n22 2n11可编辑资料 - -
6、 - 欢迎下载精品名师归纳总结4(3) 求证: 116361 31 3 54n 224n1 3 5 2n12n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(4) 求证：2 42n2 4 6111122 4 6113n2n2 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1由于12 n122n11 2n 1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11 211 12 312n 111 12 312n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 111416361
7、1 11224n4211 1112n4n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结合1进行裂项 ,最终就可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 第一 1n2 n1n2n1n,所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n12n1n2而 由
8、 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 , 所 以12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112312n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 求证: n6n1115211 2n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:一方面 :由于 1n 21n 21444 n21122n112n1, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
9、品名师归纳总结n11k2k 1另一方面 :1112 11351112 n1112n1112533111n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结49n 22334nn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n3 时,nn16 nn1 2n,当 n11 时,n6n1111 ,1 2n149n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时, n6n6n1111 2n149111121 ,所以综上有n25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n12
10、n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.2022 年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列a 满意 0a1 . af a . 设 b a,1,整数a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明: ak 1b .n1n 1n1ka1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列 ,故存在正整数 mk, 使amb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 1akb ,否就如 ambmk ,就由 0a1amb 1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am ln am
11、a1 ln ama1 ln b0 , ak 1akak ln akka1am ln amm 1,由于kam ln amm 1k a1 ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 ak 1a1k| a1 ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mnm , 求证:nm 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:第一可以证明 : 1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1nm 1 n1 m 1n1m 1n2 m 11m 10n km 1k 1 k1 m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1m1Sn n1 m 11 只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n k m 1k 1k1m 1 nm1k m k 1n1m 11 n1m 1nm 1nm 1n1m 12 m 11 m 1n kk 11 m 1km 1 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
13、下载精品名师归纳总结只要证n k m 1k 1k1m 1nm1k m k 1n kk 11m 1k m 1 ,即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k m 1 k1 m 1m1k mk1m 1k m ,即等价于 1m1k11 m ,1m11kk11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例 6. 已知 a4n2n ,Tn2na1a2,求证: T1anT241T34 n 213.Tn22 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、名师归纳总结T解析:n4142434 n21222n 14123 4n12 12 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以Tn4 4n32n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332 n 14n 13 2n3 2n 123 2n2 2 2n 23 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322T从而 1T22 n2 n1 2n1T3Tn312 2n13112312n 11113712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 7. 已知 x11,nnn2k1,
15、 kZ ,求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14 x2 x3n14 x4 x51n2k, kZ 14 x2n x2 n 12 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:41x2n x2n 14 2n112n114 4n2114 4n 212n22 ,由于n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nn所以n1 ,所以41112x2n x2 n 12 n12nn2 n2 111nn1n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x
16、2x34 x4 x54 x2 nx2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*二、函数放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8.求证：ln 2n2ln 33ln 44ln 3nn3n35n6 n6N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:先构造函数有ln x1 , 从而 ln 2ln 3ln 4ln 3n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln xx 11xx234313n233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111123456789由于 111233
17、 n533993n 13n 1111nnn22135n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结66所以 ln 229ln 3318ln 4427ln 3nn32 3n 13n13n5n3 n665n66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9.求证 :12, ln 22ln 33ln n n2n22 nn1 n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造函数ln x , 得到 ln nln n 2 ,再进行裂项ln n 21111,求和后可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x函数构造形式 :xln xnn2x1, ln nn2
18、n12n 2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10.求证 : 11231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:提示: ln n函数构造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2 ln n11nlnnn1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当然此题的证明仍可以运用积分放缩学习必备欢迎下载y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图,取函数f x1 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
19、归纳总结ABCFn第一: S1x,从而, 1 in1ln x |nnnxiln nln niDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCABOn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 , ,1nln nln n1 ,1n1ln n1) ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n另一方面 S1 ,从而有1in 1ln x |nln nln ni可编辑资料 - -
20、 - 欢迎下载精品名师归纳总结ABDExnixn i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n in i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有,1 n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有ln n 11121 ,所以综上有 11n231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11.求证 : 11 11 2.3.11 n.e 和 11 11 98111 e .32 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造函数后即可证明可编辑资料
21、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12.求证 : 112 1231n n1e2 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:ln n n 1 132nn 1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln x 123 x0x 11 ln1 x x3 xx 1加强命题 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
22、师归纳总结3解析:构造函数4f x5ln xn 11) x411x1) ,求导,可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x121x 1xx ,令1f x0有 1x2 , 令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf 20 ,所以ln x1x2 ,令 xn21 有, ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln nn 1,所以 ln 2ln 3ln 4ln n
23、nn1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14. 已知11 证明 ae2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11,an 11n2 an.nn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:an 111nn1ann1211n n 11,2 n a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后两边取自然对数,可以得到ln an 1ln11n n 11n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
24、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后运用ln1xx 和裂项可以得到答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结放缩思路：a n 111 n2n1n a n2ln an 1ln 11n 2n1n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln an1n 2n1 。于是2 nln a n 1ln an1n 2n1 ,2n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1ln a i 1ln ai n 11 i 2i12 i ln anln a11 1 12n11122 .n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1n即
25、ln aln a1i 12an12e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：题目所给条件 ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用。当然,此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nnn1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 111nna n11nn1an 111 111n n an 11n 1n 111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lnan 11lnan1ln1n n 1.nn 1 ln ai 1i 21ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n可编辑
26、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln an11ln 3an3e1e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是在0, 上到处可导的函数 ,如xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 求证：函数g xf x x在0,上是增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 当 x10, x20时,证明 :f x1 f
27、 x2 f x1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(III) 已知不等式ln1xx在x1且x0 时恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：1 ln 22221 ln 32321 ln 4 24 21n 1 2ln n1 22nn1 n2nN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:Ig xf x xx 2f x0 ,所以函数g xf x x在 0 ,上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II 由于g xf x x在 0,上是增函数 , 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 x1f x1x1f x 2 x2x2 x2f x1x1f x1 x2 x2x