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1、精品名师归纳总结5微积分学基本定理定积分运算 续）教案目的： 娴熟把握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点： 重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。教案方法： 讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设在上可积，依据定积分的性质4，对任何，在上也可积 .于是，由1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分 . 类似可定义 变下限的定积分：.2）与统称为 变限积分 . 留意，在变限积分1）与 式所定义的函数在上连续 证对上任一确定的点，只要，按定义式 1 有因在上有界，可设于是，当时有当时就有由此得到即证得在点
2、连续由的任意性，在上到处连续口定理 9 10 原函数存在定理 如在上连续，就由 1 式所定义的函数在上到处可导，且3）证对上任一确定的，当且时，按定义式 设函数在上可积 . 如函数在上减 , 且, 就存在, 使 如函数在上增 , 且, 就存在, 使推论 设函数在上可积 , 如函数为单调函数 , 就存在, 使积分其次中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具 二换元积分法与分部积分法定理 9 12 定积分换元积分法 如函数在上连续，在上连续可微，且满意，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有定积分换元公式： 式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在设是在上的
3、一个原函数，由复合函数微分法可见 是的一个原函数依据牛顿一莱布尼茨公式，证得从以上证明看到，在用换元法运算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后， 不必作变量仍原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区分，这一区分的缘由在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原先相同的自变量。而定积分的运算结果是一个确定的数，假如 9 式一边的定积分运算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了 .注假如在定理9 12 的条件中只假定为可积函数，但仍要求是单调的，那么9）式仍旧成立 . ，并留意到在第一象限中，就有例 2运算解逆向使用公式9 ，令当 由变
4、到时，由 1 减到0，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3运算解令，当从 变到时，从 0 增到 1. 于是由公式 ，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值换元积分法仍可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5， 6， 7 等题定理 9.13定积分分部积分法 如为上的连续可微函数，就有定积分分部积分公式： 式为便利起见，公式10 答应写成便得令，可得因而这两个定积分是等值的由例 5 结论 12 可导出闻名的 沃利斯 Wallis 公式 ：事实上，由把12 代人，得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此又得由于所以而故得即式） .三 泰勒公式的积分型余项如在上、有阶连续导函数，就有这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明下面应用公式导出泰勒公式的积分型余项.设 函 数在 点的 某 邻 域内 有阶 连 续 导 函 数 令， 式得，其中即为泰勒公式的阶余项由此求得这就是泰勒公式的 积分型余项，由于连续，在上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将式写作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，其中这就是以前所熟识的拉格朗日型余项 假如直接用积分第一中值定理于15 ，就得，.由于因此又可进一步把改写为16）特殊当时，又有17）公式 16）、 ,69可编辑资料 - - - 欢迎下载