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1、精品名师归纳总结【学习目标】2.61 双曲线的性质双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 懂得双曲线的对称性、范畴、定点、离心率、渐近线等简洁性质.2. 能利用双曲线的简洁性质求双曲线的方程.3. 能用双曲线的简洁性质分析解决一些简洁的问题.离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作 e2cc。2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【要点梳理】要点一、双曲线的简洁几何性质由于 c a0，所以双曲线的离心率ec1 。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2双曲线 xa
2、2y1（ a 0， b 0）的简洁几何性质2b 2由 c2=a2+b2，可得bc2a2 aa 2 c21ae21 ，所以b 打算双曲线的开口大小，ab 越大， e 也越a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线 ab ，所以离心率 e2 。渐近线经过点 A2 、A 1 作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B 1、 B2 作 x 轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图），矩形的两条对角线所在直线的方程是yb x 。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
3、归纳总结范畴2x1即x2a 2a 2xa或xa双曲线上全部的点都在两条平行直线 x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延长的。因此双曲线上点的横坐标满意x-a 或 xa.对称性x2y2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于双曲线标准方程221 （ a0， b 0），把 x 换成 -x ，或把 y 换成 -y，或把 x、 y 同时换成 -x 、-ab我们把直线 yx 叫做双曲线的渐近线。双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22x2y2| MN |bxab x可编辑资料 - - -
4、欢迎下载精品名师归纳总结y，方程都不变，所以双曲线221 （ a0， b 0）是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点aaa b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。b x2a2xaab0xx2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结双曲线a2b21（ a 0，b 0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
5、名师归纳总结标准方程xy1 a0, b0yx1 a0,b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1（ -a， 0）， A 2（ a， 0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A 1A 2 叫作双曲线的实轴。设B 1（ 0， -b）， B2（0， b）为 y 轴上的两个点，就线段B1B 2 叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A 2|=2a， |B1B 2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。a2b2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
6、结（ 4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线相互垂直，为yx ，因此等轴双曲线可设为x2y20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要点四、双曲线中a,b,c 的几何意义及有关线段的几何特点：图形双曲线标准方程中， a、b、 c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的外形大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c b 0 ， c a 0，且c2=b 2+a2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点F1c,0 ， F2 c,0F10,c， F2 0,c双曲线 x2a2y2b21 a0, b0 ，如图：可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦距| F1F2|2c ca2b 2 | F1F2|2c ca 2b 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结范畴 x xa或xa ， yR y ya或ya ， xR对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性性质顶点a,0关于 x 轴、 y 轴和原点对称0,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴实轴长 = 2a ，虚轴长 = 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结离心率渐近bec e1 aa（ 1）实轴长| A1 A2 |2a ，虚轴长 2b ,焦距 | F1F2 |2c ，2可编辑资料 - - -
8、欢迎下载精品名师归纳总结yxyx线方程ab（ 2）离心率： e| PF1 | PF2 | A1F1 | A2F2 |c1be1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PM | PM| A K | A K |aa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要点诠释： 双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判定焦点位置的方法是：看x2、y2 的系数，如121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结果 x2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上。假如 y2 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。（ 3）顶点到焦点的距离：A1F1A2 F2ca ， A1F2A2F1ac
9、 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于双曲线， a不肯定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线（ 1）已知双曲线方程求渐近线方程：（ 4）来.PF1 F2 中结合定义PF1PF 22 a 与余弦定理，将有关线段PF1 、PF2 、F1F2和角结合起可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如双曲线方程为xa 2y1，就其渐近线方程为xy0xy0yb x222b 2a 2b 2aba（ 5）与焦点三角形PF1F2 有关的运算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（
10、或勾股定理）、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数 ”换成 “0，”然后因式分解即得渐近线方程。三角形面积公式S PF FPF12PF2sinF1PF 相结合的方法进行运算与解题，将有关线段PF1、 PF2 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知渐近线方程求双曲线方程：F1F2，有关角F1PF2 结合起来，建立PF1PF2 、PF1PF2之间的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如双曲线渐近线方程为可。mxny0 ，就可设双曲线方程为m2x2n2 y2，依据已知条件，求出即【典型例题】类型一：
11、双曲线的简洁几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2例 1 求双曲线16x29 y2144 的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）与双曲线a 21 有公共渐近线的双曲线b 2【 解 读 】 把 方 程 化 为 标 准 方 程 yx221 ， 由 此 可 知 实 半 轴 长 a3 ， 虚 半 轴 长 b4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2x2y2916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与双曲线a 2b 21 有公共渐近线的双曲线方程可设为a 2b 20
12、（0 ，焦点在 x 轴上， ca2b25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ，焦点在 y 轴上）双曲线的实轴长 2a6 ，虚轴长 2b8 ，顶点坐标 0, 3 ,0,3 ，焦点坐标 0, 5 ,0,5 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结离心率 ec53，渐近线方程为 yx32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a34【答案】（ 1）yx 。（ 2） yx 。（ 3） y2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【总结升华】在几何性质的争论中要留意a 和 2a，b 和 2b 的区分，另外也要留意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示 .举一反
13、三：【变式 1】双曲线 mx2 y2 1 的虚轴长是实轴长的2 倍，就 m 等于 22【变式 2】2021 北京 已知双曲线 xa 22y21a0 的一条渐近线为3xy0 ，就 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11【答案】33A B 4C 4D.44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 A【变式 2】已知双曲线 8kx 2 ky 2=2 的一个焦点为3A 2B 1C 1D 0,3 ，就 k 的值等于（）22【解读】渐进线为3xy30 ，有b3 ，由双曲线的方程x aa 22y1得 b=1，且 a 0所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a3
14、 【答案】 C类型二：双曲线的渐近线x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.已知双曲线方程，求渐近线方程。【变式】（ 2021 北京文）已知双曲线a2b 21（a 0， b0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2（ 1）y2x2y21 。（ 2）-1为（5 ,0），就 a=。 b=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结916【解读】2291622【答案】依题意有c5b，结合 c2=a2+b2，解得 a=1， b=2。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）双曲线xy91641 的渐近线
15、方程为：x y0916a22例 3.依据以下条件，求双曲线方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 yx3（ 1与双曲线 xy 1 有共同的渐近线，且过点 3,23 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2）双曲线 xy-1 的渐近线方程为：xy0916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2229164即 yx3x2y2916by2x2（ 2）一渐近线方程为 3x2 y0 ，且双曲线过点 M 8,63【解读】（ 1） 解法一：22122当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【总结升华】双曲线221
16、 aab0, b0 的渐近线方程为yx ，双曲线a221 的渐近线ababb4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bax2y2a39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程为x y ，即ay x 。如双曲线的方程为bm2n2（ m、n0，0 ，焦点在 x 轴上，由题意，得3223 2，解得 a 2， b424可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2xyna2b21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ，焦点在 y 轴上），就其渐近线方程为220mn0yx .mnm所以双曲线的方程为4 x2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
17、结举一反三：【变式 1】求以下双曲线方程的渐近线方程94y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）x2y216361 。（ 2） x22 y28。（ 3） y22 x272当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为221ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意，得a4b323 2a232b2，解得a 24 ， b 29 （舍去）4【变式 2】过点 2， -2 且与双曲线 x22y21 有公共渐近线的双曲线是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y 2x 2A. 1x 2y 2B. 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x2y2244
18、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所得，双曲线的方程为194y 2x 2C. 1x2y 2D. 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y24224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二： 设所求双曲线方程为将点 3,23 代入得9161，4（0 ），【答案】 A2【变式 3】设双曲线 xa 2y1a 920 的渐近线方程为 3x2 y0 ，就a 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2所以双曲线方程为xy21即4 x2y21A 4B 3C 2D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载
19、精品名师归纳总结916494【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）依题意知双曲线两渐近线的方程是xy0 .x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23x2y 2【变式 4】双曲线2a21 与 2ba20 有相同的（）b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故设双曲线方程为，49点 M 8,63 在双曲线上，A 实轴B 焦点C渐近线D以上都不对【答案】 C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8263 2例 4.已知F , Fx2是双
20、曲线y21ab0 的左、右焦点 ,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，解得4 ，4912a 2b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22所求双曲线方程为xy1 .交于 A 、B 两点,如ABF2 是正三角形 ,求双曲线的离心率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1636【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、 b ，在解题过程中应熟识各元素（a 、 b 、 c 、 e及准线）【解读】| F1F2 |2c，ABF2 是正三角形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结之 间 的 关 系 ，并 注
21、意 方程 思 想 的应 用。 如 已 知双 曲线 的 渐 近线 方 程axby0 ， 可 设 双 曲 线 方程 为 | AF1|2c tan302 3 c ， | AF|2c tan302c4 3 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a2 x2b2 y2（0 ） . | AF2 | AF1 |343 c2 3 c23 c2a ，cos303可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】中心在原点，一个焦点在0,3，一条渐近线为 y2 x 的双曲线方程是（）3 ec3a333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 x25 y 2A. 13654
22、5 x25 y2B. 13654【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c 满意的关系式，从而求出eca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13x2C.13 y 2113x2D.13 y21举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8136【答案】 D8136【变式 1】x2(1) 已知双曲线2ay2b 21a0, b0 的离心率 e23 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过点 A0,-b 和 Ba,0 的直线与原点间的距离为3 ，求双曲线的方程 .2【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线
23、的特点几何量，在双曲线的焦点三角形中，常常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2(2) 求过点 -1,3，且和双曲线y1 有共同渐近线的双曲线方程.2举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2【答案】（ 1） x49y21【变式 1】已知双曲线的方程x2y21 ，点 A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结34 y2x2a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）127322F2， |AB|=m
24、， F1 为另一焦点，就 ABF 1 的周长为（）A 2a+2mB 4a+2mC a+mD 2a+4m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】2021 山东文 过双曲线 Cxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结： 221 a 0,b0的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交aaC于点 P. 如点 P 的横坐标为 2a, 就 C的离心率为.【答案】 B【变式 2】已知x2F1、F2 是双曲线y21 的两个焦点， P 在双曲线上且满意| PF1 | | PF2 |32 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 232【解读】 双曲线 xa 2y2
25、a 21 的右焦点为（ c， 0） .不妨设所作直线与双曲线的渐近线yb x 平行，其方aF1PF2 【答案】 90916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bx2y2a2c2a 2c2【巩固练习】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程为 yxc ，代入a221 求得点 P 的横坐标为 x aa，由2c2c2a ，得一、 挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cccccx2y25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2410 ，解之得23,23 （舍去，由于离心率1 ），故双曲线的离心率为1 20
26、21 广东 已知双曲线C :1 的离心率e，且其右焦点为F2（ 5， 0），就双曲线 C 的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaaa23 .程为（ ）a2b 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】已知 a、b、 c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2 bx c 0 无实根，x2y 2A 1B xyx2221Cyx2y221D1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就双曲线离心率的取值范畴是4391616934x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1e5 2 B 1e2C 1e3 D 1e0， b0
27、的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3 倍，就双曲线的ab14. 已知双曲线xy21 的两个焦点分别为4F1、F2，点 P 在双曲线上且满意F1PF290 ，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A y 2 xB y 22 x2C y xD y 3x4F1PF2 的面积 .15. 如下图，已知F1 ， F2 是双曲线x2y2221 a0 ， b0 的两焦点，以线段F1F2 为边作正三角形ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 （ 2021天津文）已知双曲线x2y 2a 2b 21a0, b0 的焦距为2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线MF 1 F2 ，如边
28、MF 1 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xy0 垂直，就双曲线的方程为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A xy242y21 B x14【答案与解读】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x23 y23x23 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1 D11. 【答案】： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结205520【解读】由双曲线右焦点为F2 （5， 0），就 c=5，ec5， a=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、填空题x27已知双曲线C ：y1 a
29、0， b 0的实轴长为2，离心率为2 ，就双曲线C 的焦点坐标是a4x 2y 2 b2 =c2a2=9，所以双曲线方程为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a 2b 2 2. 【答案】： B169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x2y22【解读】：由双曲线的定义得：|PF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8椭圆21 与双曲线2y1焦点相同，就 a.1 |-|PF2|=2a,不妨设该点在右支上 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4aa2 a|PF1|+|PF2|=3b, 所以|PF1|=3b3b2 a,| PF2 |，可编辑资料 -
30、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结9（ 2021 春 黑龙江期末改编）与双曲线y2x21有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为49b 24a 2229222c5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10（ 2021浙江文）设双曲线y2x21的左、右焦点分别为F 1 ， F2 如点 P 在双曲线上，且两式相乘得5ab 。结合44cab 得，a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3F1PF 2 为锐角三角形，就 |PF1 |+|PF2|的取值范畴是 三、解答题故 e,应选 B 。33. 【答案】：D【解读】：设双曲线方程为 y2x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 设 F1 ， F 2 分别为双曲线a 2b21 a 0， b 0 的左、右焦点如在双曲线右支上存在点P，满意焦点 0, 43,0, 又 243 2 ,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF2F1F2 ，且 F 2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 212. 设双曲线2a3y=1 （ 0ab ）的半焦距为c，直线 l 过 a,0， 0,b 两点 . 已知原点到直线 l 的距离为2b 24. 【答案】： B2【解