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1、精品名师归纳总结3数列极限存在的条件主要内容： 单调有界定理柯西准就要 求： 把握单调有界定理证明和运算极限的方法技巧。难点：运用柯西准就证明极限存在或不存在方法的把握单调有界定理： 任何单调 有界数列都有极限。例 1 设， 证明该数列收敛。例 2证明数列收敛，并求其极限。clf,n=20。a1=sqrt2。plot0。n,2。2,hold onfor i=1:n。 ai+1=sqrt2+ai。 ploti,ai,r.,hold ondaxis1,n,1,2.22.221.81.61.41.212468101214161820en可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的单调递增是
2、明显的,有界很简洁用归纳法证明,而且利用单调有界定理 ,设其极限为,就有,A=2例 3证明存在。 c16, n= ）先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界 =1+1./x.x。plot0。n,2.718。 2.718,hold on plotx,fx,r.2.82.72.62.52.42.32.22.1205101520253035404550存在的证明Cauchy 1789 1857 最先给出这一极限，这个极限的证明方法许多。下面给出一个较简洁的证法证法先证明：对和正整数，有不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结事实上，在此不等式中 ,取就有就有. 单调增取又有对成立，又由
3、有界由单调有界定理存在。用莱表示这个极限。Cauchy 收敛准就： 数列收敛，例 4证明 :任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结收敛 .其中是中的数 .证令有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列极限 习题课一 按定义证明数列极限p27， 2 按定义证明：3）5）回忆证明 1）的表达 2 ）证明的一般步骤证明： 1）2 ） 由使p33 1求以下极限/2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由，时4解证明以下数列发散62）对于任意取，就数列无界，所以数列发散回忆归结原就二 单调有界定理证明数列收敛3 2 ），数列单调
4、递增设时，时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ）时单调有界定理，极限存在46不妨设单调递增，。只需证明有界。反证法。假设无界。就对任意存在，因无界，与冲突。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7由保号性时，时，数列1+h1l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递减，有界，存在，再由8有界存在上确界，记为A由确界定义，对任意，取，时， 即8取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意递减10由于由 p37 例 4 的证明，递增，且其次章数列极限 总练习11）因23）不等式：1n证明由图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用这个不等式3就数列的前 n 项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是42）由 3 题3）， 由 3 题4）由 3 题可编辑资料 - - - 欢迎下载