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1、. .三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。1已知tanx=2，求sinx，cosx的值解：因为，又sin2xcos2x=1，联立得解这个方程组得2求的值解：原式3若，求sinxcosx的值解：法一：因为所以sinxcos
2、x=2(sinxcosx)，得到sinx=3cosx，又sin2xcos2x=1，联立方程组，解得所以法二：因为所以sinxcosx=2(sinxcosx)，所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2，所以12sinxcosx=48sinxcosx，所以有4求证：tan2xsin2x=tan2xsin2x证明：法一：右边tan2xsin2x=tan2x(tan2xcos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2xsin2x，问题得证法二：左边=tan2xsin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2xcos2x=tan2xsin2x，问题得证5求函数在区间0，2p 上的
3、值域解：因为0x2，所以由正弦函数的图象，得到所以y1，26求下列函数的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)解：(1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3，令t=cosx，则利用二次函数的图象得到(2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx)，令t=sinxcosx，则则，利用二次函数的图象得到7若函数y=Asin(x+)(0，0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半
4、个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以又由，得到可以取8已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期；()若求f(x)的最大值、最小值数的值域解：()因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x所以最小正周期为()若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为1 已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) .说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2 求函数的值域。解：设，则原函数可化
5、为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。3已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解：(1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。4 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=co
6、s2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的
7、图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。. .word. .历年高考综合题一，选择题1.（08全国一6）是 （ ）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位3.(08全国二1)若且是，则是 （ ）A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角4.（08全国二10）函数的最大值为 （ ）A1 B C D25.（08XX卷8）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）ABCD6.（08XX卷7）
8、函数y=cosx(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 ( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7.（08XX卷5）已知函数，则是 （ ）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数8.（08XX卷11）函数的最小值和最大值分别为 （ ）A. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2，9.（08XX卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F，若F的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 （ ） A. B. C. D.10.（08XX卷6）函数是 （ ）A以为周期的偶函数 B以
9、为周期的奇函数C以为周期的偶函数 D以为周期的奇函数11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 （ ）A1 B C D212.（08XX卷10）已知，则的值是（ ）A B C D13.（08XX卷1）等于 （ ）A B C D14.（08XX卷4） ( ). . . .15.（08XX卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A BC D16.（08XX卷9）设，则 （ ）AB C D17.（08XX卷2）函数的最小正周期是 （ ） A. B. C. D.18.（08XX卷7）在同
10、一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.4二，填空题19.（08卷9）若角的终边经过点，则的值为 20.（08XX卷1）的最小正周期为，其中，则=21.（08XX卷16）设，则函数的最小值为 22.（08XX卷12）若，则_。23.（08XX卷6）函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是三，解答题24. （08XX卷17）求函数的最大值与最小值。25. （08卷15）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值X围26. （08XX卷17）已知函数（）的最小值正周期是 （）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的
11、集合27. （08XX卷17）已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域28. （08XX卷17）已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C19. 20. 10 21. 22. 23.224.解：由于函数在中的最大值为最小值为故当时取得最大值，当时取得最小值【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函
12、数，重视复合函数中间变量的X围是关键；25. 解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值X围为26. 解：由题设，函数的最小正周期是，可得，所以（）由（）知，当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为27. 解：（1）（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，取最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为28.解：（）的最小正周期当时，取得最小值；当时，取得最大值2（）由（）知又函数是偶函数. .word. .常用三角恒等变换技巧1 “角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系
13、，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1 已知，求的值。【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。【简解】因为，所以，又因为，所以，从而，. 原式=.【反思】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由，运用诱导公式和倍角公式求出。例2 已知，其中，求证：【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是与，将三个角比较分析发现，把“未知”角转化为两个“已知
14、”角的代数和，然后用相关公式求解。【简证】【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，等.2 “名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例3 已知向量，求的定义域和值域；【分析】易知
15、，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】由得，所以，.的定义域是，值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.例4 已知都是锐角，且，求的值。【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】显然时，因为都是锐角，所以，所以，.【简解2】由得，设，则，所以，即.【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是
16、整体换元后利用平方关系消元.3 “常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如，等.例5 （1）求证: ；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质. 【简解】（1）左边=.（2）原式=【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.4 “边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边
17、角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例6 在中，分别为角的对边，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC，（1）求角的大小；（2）若，证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【简解】（1）（角化边）由正弦定理得，整理得，所以，因为，所以.（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，即，从而，又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后，
18、把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.5 “升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例7 化简：【分析】含有根号，需“升幂”去根号.【简解】原式= =因为，所以，所以，原式.例8 求函数，的最大值与最小值【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一
19、致.【简解】又，即，【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.6 “公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧. 例9 求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。【简解】（1）原式。（2）原式。【反思】第（1）小题的一般性结论是：.例10 求证：。【分析】左边
20、通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.【简证】因为，所以，左边=【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.7 “辅助角变换”技巧通常把叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为的形式，来研究其图象与性质. 尤其是当，时，要熟记其变换式，如，等.例11 求函数的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.【简解】由得，所以，从而，其中辅助角由，决定. 所以，由解得.【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多
21、用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果. 事实上，=，可设，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”.8 “换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现（或）与，这时，可设（或），则（或），把三角函数转化为熟悉的函数来求解.例12 求函数的值域【分析】同时出现与时，可用.【简解】设，因为，所以，又由得，所以，由得，.【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值X围；（3）平方关
22、系的变式应用广泛，如在解答命题“已知，是方程的两根，求的值”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。例13 求证：。【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设，因为，所以，变形整理得所以，即，【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐.9 “万能置换”技巧“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切.例14 讨论函数的最大值与最小值.【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式相同，于是问题得到转化.【简解】设，则，当且仅当也就是时，当且仅当也就是时，.【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公式；（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化为代数问题，如例11中，可设，则，即，然后可用判别式法求解. .word.