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1、. .立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线或面是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 根底篇类型一：线线垂直证明共面垂直、异面垂直（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 只需要同学们掌握以下几种模型等腰等边三角形中的中线 菱形正方形的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。例：在正方体中，O为
2、底面ABCD的中心，E为,求证：（2） 异面垂直 利用线面垂直来证明，高考中的意图例1 在正四面体ABCD中，求证变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，证明：；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分别沿折起，使两点重合于.求证:；变式3如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 证明：ABPC类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：变式1：在正方体中，,求证：变式2：如图：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求
3、证：CD平面A1ABB1；DACOBE变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面 利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)ABCDEF 例1 如图，平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；例2 如图，在四棱锥中，底面，是的中点1证明； 2证明平面；变式1直四棱柱ABCDAB
4、CD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=21求证：平面AEF平面AACC；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出以下四个命题：bMbM.其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.以下命题中正确的选项是 ( )A.假设一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面B.假设一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.假设一条直线平行于一个平面，那么垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.假设一条直线垂直于一个平面，那么垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如下图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、
5、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 ( )第3题图A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.设a、b是异面直线，以下命题正确的选项是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圆的直径，C是圆周
6、上一点，PC垂直于圆所在平面，假设BC=1,AC=2,PC=1，那么P到AB的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，那么下面正确的结论是 ( )A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，为平面，且l，给出以下命题 假设m，那么ml；假设ml，那么m
7、；假设m，那么ml；假设ml，那么m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.10.直线l平面，直线m平面，给出以下四个命题：假设，那么lm；假设，那么lm；假设lm，那么；假设lm，那么.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活第12题图11.如下图，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，那么ABC的面积是. 第11题图第13题图12.如下图,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一
8、种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如下图，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如下图,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1)求证:VCAB;(2)假设二面角EABC的大小为30,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如下图，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)假设PDA45，求证：MN平面PCD.16.如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，
9、BAD60，AB4，AD2，侧棱PB，PD.(1)求证：BD平面PAD. (2)假设PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M18.如下图，正方体ABCDABCD的棱长为a，M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.(1)求证：NP平面ABCD. 第18题图(2)求平面PNC与平面CCDD所成的角.(3)求点C到平面DMB的距离.第4课线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，那么另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的
10、两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 过a上任一点作直线bb,那么a，b确定的平面与直线b平行.5.A依题意,m且m,那么必有,又因为l=那么有l,而m那么lm,应选A.6.D过P作PDAB于D，连CD，那么CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，那么另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11 2 设正三角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm2
11、12.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：此题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考察了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB
12、,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC与面ABC所成角为60.15.证明：(1)如下图，取PD的中点E，连结AE，EN，那么有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD
13、.又PDA45，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图(1)证：由AB4，AD，BAD60，第16题图解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，连PF，那么PFBF，PF
14、E是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小为arctan.17.连结AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1MAC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂线定理知AB1A1M. 点评：要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.(1)证明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又DNNB12，由平行截割定理的逆定理得N
15、PDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即为所求二面角的大小.(3)由棱长为a可得，等腰MBC面积S1，等腰MBD面积S2，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为，空间中的计算 根底技能篇类型一：点到面的距离 方法1：直接法把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。 变式1 在正四棱锥V-ABCD中，底面A
16、BCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2：等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来到达目的。例2 在三棱锥VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。变式1：如下图的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中 1求的长；2求点到平面的距离 _A_B_D_C_O变式2 如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，, 面, ,求点B到平面OCD的距离变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内
17、切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算点到线，点到点 例3 如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，, 面, ,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离_A_B_D_C_O举一反三1正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，那么点 到侧面的距离是A B C6 D2如图，正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为A10 B20 C30 D40二、填空题：3太阳光照射高为m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m，同时，照射地面上一圆球时，如下图，其影子的长度AB等于cm,那么该球的体积为_4假设一个正三棱柱的三视图如以下图所示，
18、那么这个正三棱柱的高和底面边长分别为_主视图俯视图2 左视图三、解答题：5正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且2C1N求点B1到平面AMN的距离6一个多面体的直观图及三视图如下图：其中M、N分别是AF、BC的中点.1求证：MN平面CDEF； 2求多面体ACDEF的体积7一个多面体的直观图和三视图如下图，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.1求证：2当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明SBCFDAEO8如图，正四棱锥,设为的中点，为的中点，为边上的点1求证：平面；2试确定点的位置
19、，使得平面底面BAACAC1AB1AA1AMN主视图左视图俯视图9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下图，、分别为、的中点（1） 求证：平面；（2） 求证：平面3求点A到面ANM的距离10正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4. E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G.求证：平面B1EF平面BDD1B1；求点D1到平面B1EF的距离d；求三棱锥B1EFD1的体积V.图92111.在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5.如图921证明：SCBC；求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；求三棱锥的体积VSABC. .word.