概率论及数理统计总结.doc

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1、. .第一章 随机事件与概率第一节 随机事件及其运算1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现一样结果的现象2、 样本空间：随机现象的一切可能根本结果组成的集合，记为=,其中表示根本结果，又称为样本点。3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，表示必然事件，表示不可能事件。4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。5、 时间的表示有多种：（1） 用集合表示，这是最根本形式（2） 用准确的语言表示（3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系1包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致

2、事件B发生，那么称A被包含于B，记为AB;2相等关系：假设AB且BA，那么称事件A与事件B相等，记为AB。3互不相容：如果AB=，即A与B不能同时发生，那么称A与B互不相容7、事件运算1事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 AB。2事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A B或AB。3事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 AB。用交并补可以表示为。4对立事件：事件A的对立事件逆事件，即“A不发生，记为。对立事件的性质：。8、事件运算性质：设A，B，C为事件，那么有1交换律：AB=BA，AB=BA2结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=AB

3、C3分配律：A(BC)(AB)(AC)、A(BC)(AB)(AC)= ABAC4棣莫弗公式对偶法那么：9、事件域：含有必然事件，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类称为事件域，又称为代数。具体说，事件域满足：1;(2)假设A，那么对立事件；3假设An，n=1,2，那么可列并。10、两个常用的事件域： 1离散样本空间有限集或可列集内的一切子集组成的事件域； 2连续样本空间如R、R2等内的一切博雷尔集如区间或矩形逐步扩展而成的事件域。第二节 概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域上的一个实值函数PA满足：1非负性公理：假设A，那么P(A)0；2正那么性公理：P()13可列可加

4、性公理：假设A,，A2，A3互不相容，那么有，即，那么称PA为时间A的概率，称三元素，P为概率空间2、确定概率的频率方法：是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法它的根本思想是： 1与考察事件A有关的随机现象可大量重复进展；（2） 在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称fn(A)= ， 为事件A出现的频率；（3） 频率的稳定值就是概率；（4） 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。3、确定概率的古典方法：它的根本思想是：（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；（2） 每个样本点发生的可能性相等等可能性；（3） 假设事件A含有k个样本点，那么事件A

5、的概率为PA=。4、确定概率的几何方法：它的根本思想是：（1） 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量长度、面积、体积等大小可用Sn表示；（2） 任意一点落在度量一样的子区域内是等可能的；（3） 假设事件A为中某个子区域，且其度量为SA,那么事件A的概率为PA= .5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率PA使人们根据经历，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。6、概率是定义在事件域上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，假设不满足三条公理就不能称为概率。第三节 概率的性质：1、 P()02、 有限可加性：假设有限个事件A,，

6、A2，A3互不相容，那么有 ，3、 对立事件的概率：对任一事件A，有4、 减法公式特定场合：假设AB,那么P(AB)P(A)P(B)5、 单调性：假设AB，那么PA PB6、 减法公式一般场合：对任意两个事件A、B，有P(AB)P(A)P(AB)7、 加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。对任意n个事件A1，A2，An，有8、 半可加性：对任意两个事件A、B，有.9、 事件序列的极限：（1） 对中任一单调不减的事件序列，称为可列并为极限Fn的极限事件，记为。（2） 对中任一单调不增的事件序列，称为可列交为极限En的极限事件，记为。假设,那么称概率P是上

7、连续的10、 概率的连续性：假设P为事件域上的概率，那么P既是上连续的，又是下连续的11、 假设P是上满足P=1的非负集合函数，那么P是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。第四节 条件概率 1、条件概率：设A、B是两个事件，假设P(A)0，那么称P(A|B)=为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。2、乘法公式：1假设P(B)0,P(AB)=P(B)P(A|B)2假设P(A1A2An-1)0，那么有。3、全概率公式：设事件互不相容，且，如果，那么对任一事件A有，i=1,2,，n。4、贝叶斯共公式：设事件，互不相容，且，如果P

8、A0，,那么，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，通常叫Bi的先验概率。，通常称为Bi的后验概率。 第五节 独立性1、两个事件的独立性：如果满足，那么称事件、是相互独立的，简称A与B独立。否那么称A与B不独立或相依。假设事件、相互独立，且，那么有2、假设事件、相互独立，那么可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，An，如果对任意的1Ijkn，以下等式均成立那么称此n个事件A1，A2，An相互独立。4、假设n个事件相互独立，那么其任一局部与另一局部也相互独立。特别把其中局部换为对立事件后，所得诸事

9、件亦相互独立。5、试验的独立性：假设实验E1的任一结果事件与试验E2的任一结果事件都是相互独立的事件，那么称这两个试验相互独立。6、n重独立重复试验：假设一个试验重复进展n次，并各次试验间相互独立，那么称其为n次独立重复试验。假设一个试验只可能有两个结果：A与，那么称其为伯努利试验。假设一个伯努利试验重复进展n次，并各次试验间相互独立，那么称其为n重伯努利试验。第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布1、 随机变量：定义在样本空间上的实值函数X=X()称为随机变量。（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量（2） 连续随机变量:取值充满某个空间a，b的随机变量。这里a可为-，

10、b可为+。2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数为X的分布函数，记为XF(x)。分布函数具有如下三条根本性质：（1） 单调性：Fx是单调非减函数，即对任意的x1x2,有F(x1)F(x2)；（2） 右连续性：Fx是x的右连续函数，即对任意的x0，有，即F(x0+0)=F(x0)；（3） 有界性:对任意的x，有0F(x) 1，且F(-)=0，F(+)=1可以证明：具有上述三条性质的函数Fx一定是某一个随机变量的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间 内的概率3、离散型随机变量的概率分布列: 假设离散型随机变量的可能取值为xn(n=1,

11、2,)那么称X取xi的概率为Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,，那么称上式为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：。分布列具有两条根本性质： （1） 非负性;， 2正那么性:。离散随机变量X的分布函数，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量X取值于区间a，b 上的概率为P(aXb)=F(a)-F(b).常数c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X=c)=1，它的分布常称为单点分布或退化分布。4、连续随机变量的概率密度函数: 记连续随机变量X的分布函数是F(x)，假设存在非负可积函数px，对任意实数x，有，那么称为连续型随机变量。px称为的概率密度函数

12、，简称密度函数。密度函数px具有下面2个根本性质：（1） 非负性:;（2） 正那么性：。5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。6、设随机变量X的分布函数F(x)，那么可用F(x)表示以下概率： 1P(Xa)= F(a)； 2P(Xa)=1-P(Xa) =1-F(a)；(4) P(X=a)= P(Xa)- P(Xa)= F(a)- F(a-0);(5) P(Xa)=1- P(Xa)=1- F(a-0);(6) P(|X|a)=P(-aXa)= P(X0,有,或。切比雪夫不等式给出随机变量取值的大偏差指事件

13、|X-E(X)| 发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比。4、 随机变量的标准化：对任意随机变量X，如果X的数学期望和方差存在，那么称 为X的标准化随机变量，此时有E(X*)=0，VarX*=1。第四节 常用离散分布1、 二项分布：设随机变量X的概率分布列为， ，其中，那么称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。（1） 背景：重贝努里试验中成功的次数服从参数为，的二项分布。记为，其中p为一次伯努利试验中成功发生的概率。（2） n=1时的二项分布B1，p称为二点分布，或0-1分布，0-1分布是二项分布的特例。当XB1，p时，X可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。（3） 二项分布

14、B1，p的数学期望和方差分别是：E(X)=np，VarX=np1-p。（4） 假设，那么Y=n-XBn，1-p，其中Y=n-X是n重伯努利试验中失败的次数。2、 泊松分布：（1） 设随机变量的概率分布列为，k=0,1,2，那么称随机变量服从参数为的泊松分布，记为XP()，其中参数。（2） 背景：单位时间或单位面积、单位产品等上某稀有事件这里的稀有事件是指不经常发生的事件发生的次数服从泊松分布P()，其中为该稀有事件发生的强度。（3） 泊松分布P()的数学期望和方差分别是：E(X)=,VarX=。（4） 二项分布的泊松近似泊松定理：在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为pn与试验次

15、数n有关，如果当n+时，有npn，那么。3、 超几何分布（1） 假设X的概率分布列为，k=0,1，r。那么称X服从超几何分布，记为Xhn，N,M,其中r=minM，n，且MN，nN。n，N,M均为正整数。（2） 背景：设有N个产品，其中有M个不合格品。假设从中不放回的随机抽取n个，那么其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布hn，N,M。（3） 超几何分布hn，N,M的数学期望和方差分别是:EX=,VarX=。（4） 超几何分布的二项近似：当nN时，超几何分布hn，N,M可用二项分布bn，M/N近似，即，其中p=M/N。（5） 实际应用中，再不返回抽样时，常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品

16、数的分布；在返回抽样时，常用二项分布bn，p描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量N较大，而抽出样品数n较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。4、 几何分布：（1） 假设X的概率分布列为PX=k=1-pk-1p，k=1,2，那么称为X服从几何分布，记为XGep，其中0pm+n|Xm)=P(Xn)。5、 负二项分布：（1） 假设X的概率分布列为，k=r，r+1，。那么称X服从负二项分布或巴斯卡分布，记为XNbr，p，其中r为正整数，0p1。（2） 背景：在伯努利试验序列中，成功事件A第r次出现时的试验次数X服从负二项分布Nbr，p，其中p为每次试验中事件A发生的概率。（3） r=1时的负二项分布

17、为几何分布，即Nbr，p=Gep。（4） 负二项分布Nbr，p的数学期望和方差分别是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p2。（5） 负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即假设XNbr，p，那么X=X1+X2+Xr，其中X1，X2，Xr是相互独立、服从几何分布Gep的随机变量。6、 常用离散分布表分布列pk期望方差0-1分布pk=pk1-p1-k，k=0,1p二项分布pk=k=0,1，nnp泊松分布pk=k=0,1，几何分布pk= PX=k=1-pk-1p，k=1,2，超几何分布pk= k=0,1，r。r=minM，n负二项分布Nbr，ppk= k=

18、r，r+1，。r/pr(1-p)/p2第五节 常用连续分布1、 正态分布(1) 假设X的密度函数和分布函数分别为，-x+;,-x+;那么称X服从正态分布，记作XN，2，其中参数-0。2背景：一个变量假设是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，那么此变量一定是正态变量服从正态分布的变量。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。（3） 关于参数：l 是正态分布的数学期望，即EX=，称为正态分布的位置参数。l 是正态分布的对称中心，在的左侧和px下的面积为0.5；在的右侧和px下的面积为0.5；所以也是正态分布的中位数l 假设

19、XN，2，那么X在离越近取值的可能性越大，离越远取值的可能性越小关于参数：l 2是正态分布的方差，即VarX=2；l 是正态分布的标准差，越小，正太分布越集中；越大，正态分布越分散；又称为正态分布的尺度参数l 假设XN，2，那么其密度函数px在处有两个拐点（4） 标准正态分布：称=0，=1时的正态分布N0,1；记U为标准正态变量，(u)和(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。(u)和(u)满足：l (-u)= (u)l (-u)=1- (u)。对u0, (u)的值有表可查（5） 标准化变换：假设XN，2，那么U=X-/N0,1，其中U=X-/称为X的标准化变换（6） 假设XN，2，那么对任

20、意实数a与b，有PXb=，PaX=1-, PaXb=-。（7） 正态分布的3原那么：设XN，2，那么P|X-|0。（2） 背景：假设一个元器件或一台设备、或一个系统遇到外来冲击时即告失效，那么首次冲击来到的时间X寿命服从指数分布。（3） 指数分布Exp的数学期望和方差分别是E(X)=,Var(X)=。（4） 指数分布的无记忆性：假设XExp，那么对任意s0,t0,有PXs+t|Xs=P(Xt)。4、 伽玛分布（1） 伽玛函数：称=为伽玛函数，其中参数0。伽玛函数具有如下性质： 1=1； 1/2=； +1=； n+1=nn=n！n为自然数。（2） 伽玛分布：假设X的密度函数为即称X服从伽玛分布，

21、记作XGa，其中0为形状参数，0为尺度参数。（3） 背景：假设一个元器件或一台设备、或一个系统能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击时即告失效，那么第k次冲击来到的时间X寿命服从形状参数为k的伽玛分布Gak，。（4） 伽玛分布Ga，的数学期望和方差分别为EX=，VarX=。（5） 伽玛分布的两个特例: =1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga1，= Exp。 称=n/2，=1/2时的伽玛分布为自由度为n的2卡方分布，记为2n，其密度函数为 ，2n分布的期望和方差分别是E(X)=n，VarX=2n。（6） 假设形状参数为整数k，那么伽玛变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和，即假设XGak，那么X

22、=X1+X2+Xk是相互独立且都服从指数分布Exp，的随机变量。5、 贝塔分布(1) 贝塔函数:称Ba，b=为贝塔函数，其中参数a0,b0。贝塔函数具有如下性质：Ba，b= Bb，a；Ba，b=。(2) 贝塔分布：假设X的密度函数为， 那么称X服从贝塔分布，记作XBea，b，其中a0,b0都是形状参数。(3) 背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间0，1上取值的随机变量，贝塔分布Bea，b可供描述这些随机变量之用。(4) 贝塔分布Bea，b的数学期望和方差分别是，(5) a=b=1时的贝塔分布就是区间0,1上的均匀分布，即Be1,1=U0,1。6、常见连续分布

23、表密度函数px期望方差正态分布，-x0柯西分布Cau(, ),-x0第六节 随机变量函数的分布1、 设连续随机变量X的密度函数为PXx，Y=gX。（1） 假设y=g(x)严格单调，其反函数hy有连续导函数，那么Y=gX的密度函数为，其中a=ming(-), g(+),b=maxg(-), g(+)。（2） 假设y=g(x)在不重叠的区间I1,I2，上逐段严格单调，其反函数h1y，h2y，有连续导函数，那么Y=gX的密度函数为。2、 正态变量的线性变换仍为正态变量：假设X 正态分布，那么当a0时，有Y=aX+bN(a+b,a22)。3、 对数正态分布（1） 假设X的密度函数为那么称X服从对数正态

24、分布，记为XLN(，2)，其中-0。（2） 假设XLN(，2)，那么E(X)=,VarX=（3） 假设XLN(，2)，那么Y=ln XN(，2)4、 假设XGa，那么当k0时，有Y= kXGa，/k。5、 假设X的分布函数FX(x)为严格单调增的连续函数，其反函数F -1X(x)存在，那么Y= FX(X)服从0,1上的均匀分布U0,1。第七节 分布的其他特征数1、 k阶矩（1） 称k=E(Xk)为X的k阶原点矩。一阶原点矩就是数学期望（2） 称k=E(X-E(X)k为X的k阶中心矩。二阶中心距就是方差（3） 前k阶中心矩可用原点表示，如1=0；2=2-12；3=3-321+213；4=4-43

25、1+6212-314。2、 变异系数：称比值为X的变异系数。变异系数是一个无量纲的量。3、 分位数：设连续随机变量X的分布函数为Fx，密度函数为p(x)。对任意p0.1，（1） 称满足条件的为此分布的p分位数，又称下侧p分位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p；（2） 称满足条件的为此分布的上侧p分位数。（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：=,=。（4） 中位数：称p=0.5时的p分位数为此分布的中位数。即满足；（5） 假设随机变量X的密度函数px是偶函数，那么此分布的p分位数满足：=。（6） 记标准正态分布的p分位数。因为标准正态分布函数是偶函数，所以=-。（7） 一般正态分布的p分位数满足：=+。（8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p分位数总是p的增函数。4、 偏度系数1称比值. .word.