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1、TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记数量关系1、算数知识奇偶(1)整数 :正整数、 0 与负整数。(2)自然数 :0 与正整数。(3)偶数与奇数 :能够被 2 整除的为偶数 ,2n;否则为奇数 ,2n+1(n 为整数 )。又称单数与双数。(4)0:0 就是特殊的偶数。(5)加减 :同奇同偶则为偶,一奇一偶则为奇。(6)乘法 :乘数有偶则为偶,乘数无偶则为奇。质合(1)质数 :自然数中除了1 与本身外 ,无法被其她自然数整除称为质数,又称素数。最小质数为2。(2)合数 :自然数中除了能被1 与本身整除外 ,还能被其她的自然数整除称为合数。最小合数为4。(3)0 与 1:0 与 1 既不就是质数
2、也不就是合数。(4)质因数分解 :任何合数都能分解成若干质数的乘积。(5)短除法 :从最小的质数除起,一直除到结果为质数。整除(1)整除 :整数 a 除以非 0 的整数 b 没有余数 ,我们就说 a 能被 b 整除或说 b 整除 a。(2)传递 :如果 ba 能整除 ,cb 能整除 ,则数 a 也能被 c 整除。(3)加减 :如果 a 与 b 都能被 c 整除 ,则 a+b 与 a-b 也能被 c 整除。(4)乘法 :如果 a 能被 b 整除 ,c 就是任意整数 ,则积 ac 也能被 b整除。(5)除法 :如果 a 能同时被 b、 c整除 ,且 b 与 c 互质 ,那么 a一定能被积bc 整除
3、 ,反之也成立。(6)2 整除 :个位上就是0、2、4、 6、8 的。(7)3 整除 :各位数字之与就是3 的倍数。(8)4 整除 :末两位能被4 整除。(9)5 整除 :个位就是0 或 5 的。(10)6 整除 :能同时被 2 与 3 整除。(11)7 整除 :个位数截去 ,余下的数减去个位数的2 倍,差就是 7 的倍数。(12)8 整除 :末三位能被8 整除。(13)9 整除 :各位数字之与就是9 的倍数。最大公约两个整数共有约数中最大的整数为最大公约数。方法为质因数分解,共有质数的乘积即为最大公约数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
4、师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记最小公倍两个整中共有倍数中最小的整数为最小公倍数。方法为质因数分解,两数所有公约数与非公约数的乘积即为最小公倍数。倍数若 a、b 就是整数 ,ab=mn,且 m/n 就是最简分数 ,则 a 就是 n 的倍数 ,b 就是 m 的倍数。连比几个比例中 ,每一个比值的后项就是下一个比值的前项。方法为找出中间量统一比例关系,一般为最小公倍数。平均数(1)算数平均数 :X=X1+X2+X3+Xn/n。注:算术平均数与各数之差的平方与等于最小数。(2)几何平均
5、数 :Mg=xnxxxn*3*2*1。注:n 个正数的几何平均数不大于算术平均数。(3)加权平均数 :X=M1X1+M2X2+M3X3+MnXn/M1+M2+M3+Mn (4)加权权重 :一部分平均值为a,一部分平均值为b,加权平均数为c,那么 a与 b 权重 x/y=c-b/a-c 。2、代数知识不定方程ax+by=c,a,b,c 均为整数。(1)奇偶 :同奇同偶则为偶,一奇一偶则为奇。(2)尾数 :两数与、差、积的尾数等于两数尾数与、差、积的尾数。尤其注意5x 的尾数为 0 或 5。(3)互质 :ax=by,a 与 b 互质 ,那么 x/y 必然为非整数。不等式(1)性质 :若 ab0,则
6、 1/a1/b。(2)不等式求解 :设未知数 ,根据不等式确定范围,最终确定答案。分段函数如商场满 200 减 50,满 500 八折。Y= x-50,200 x500; Y=0、8x,x500。等差数列一个数列首项为A1, 公差为 d,项数为 n,与为 Sn。(1)通项 :An=A1+(n-1)d(n 1); (2)对称 :Am+An=Ap+Aq(m+n=p+q); (3)公差 :d=(An-Am)/(n-m); (4)求与 :Sn=n(A1+An)/2=nA1+1/2n(n-1)d; 或者 Sn=pn+qn(p、q 为常数 ),d=2p,A1=p+q; 等比数列一个数列首项A1,公比 q,
7、与为 Sn。(1)通项 :An=A1*qn-1; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记(2)对称 :Am*An=Ap*Aq(m+n=p+q); (3)公比 :q=an/an-1(n2); (4)求与 :Sn=A1(1-qn)/1-q(q 1); Sn=nA1(q=1); 特殊数列(1)平方数列求与:Sn=12+22+32+n2=1/6n(n+1)(2n+1); (2)立方数列求与:Sn=13+23
8、+33+n3= 1/2n(n+1) 2 (3)斐波拉契数列:F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n ,n N) 3、几何知识相似全等(1)相似 :对应角相等、对应边成比例。(2)全等 :两边及其夹角相等;两角及其夹边相等;三边对应相等。(3)面积 :相似平面图形面积比为相似比的平方;相似立体图形体积比就是相似比的立方。三角不等式任意两边之与大于第三边,任意两边之差小于第三边。勾股定理(1)直角三角形 :勾 2+股 2=弦 2 (2)勾股数 :(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(8,15,17)(9,40,41)(11,60,61) 平面公式(1)三角形 :S=21ah
9、=21absinC (2)梯形 :S=21(a+b)h (3)平行四边形 :S=ah (4)圆形 :C=2r=d,S=r2=41d2 (5)扇形 :S=360nr2=21lr 凸多边形内角与 :S=(n-2) 1800 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记直线切割平面区域数 :an=1+2)1(nn等周(1)平面 :周长一定 ,越趋近于圆 ,面积越大 ;面积一定 ,越趋近于圆 ,周长越小。(2)立
10、体 :表面积一定 ,越趋近于球 ,体积越大 ;体积一定 ,越趋近于球 ,表面积越小。立体公式(1)球:S=4r2,V=34r3 (2)圆柱 :S=2 r2+2rh,V=SH= r2h (3)锥体 :S=r22rh+r2,V=31r2h 正多面体(1)定义 :每个面都就是全等的正多边形,且每个顶点所接面数均等。(2)模型 :正四、正五、正八、正十二与正二十。三视图主视图、俯视图与左视图,反映物体的长、宽、高尺寸。解析几何(1)圆:(x-x0)2+(y-y0)2=r2 (2)圆内点 :x2+y2r2 正方形分割一个正方形可以分割成除2、3、5 外任意数量的小正方形。蜂窝覆盖小圆对一定区域进行无缝隙
11、覆盖,蜂窝状排列时用的小圆最少。立方体染色将一个立方体表面染色并切割成边长为原来n1的小立方体 ,则 : (1)三面被染色的就是8 个在顶角的小立方体; (2)两面被染色的就是12(n-2)个在棱上的小立方体; (3)一面被染色的就是6(n-2)2 个在外表面中央的小立方体; (4)未被染色的就是(n-2)3 个不在表面的小立方体。4、行程问题行程问题(1)比例 :S 与 vt 成正比 ,v 与 t 成反比。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - -
12、 - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记(2)平均速度 :V=tnttS21=S/vnSnvSvS2211相遇问题(1)相遇 :S=S1+S2=(v1+v2)t (2)直线多次相遇:S 总=(2n-1)S (3)环线多次相遇:S 总=nS 追及问题(1)追及 :S1-S2=(v1-v2)t (2)环线多次追及:S1-S2=nS 青蛙爬井天数 =cbba+1 流水问题船速 =(顺速 +逆速 )/2,水速 =(顺速逆速 )/2 火车问题(1)过桥 :S=桥长 +车长(2)错车 :S=L1+L2=(v1+v2)t (3)相对运动 :相对运动距离 =车长 ,相对速度 =速度与或速度差。5、工程
13、问题工程问题(1)比例 :工作量与效率、时间成正比,效率与时间成反比。(2)轮流 :效率与乘以时间。工作总量可以设为每个人单独完成用时的最小公倍数。(3)合作 :求效率与。水管问题进/排水量 =(进速排速 )时间牛吃草问题(1)草生长速 =212*21*1时间时间时间吃草速时间吃草速(2)初始草量 =(吃草速草生长速)时间6、利润问题收支利润 =收入支出精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记利润率利
14、润率 =成本售价1 折扣率(1)折扣率 =原价售价10 (2)部分折扣 :yx=cabc7、容斥原理二集容斥AB=A+B AB 三集容斥AB C=A+B+C ABB CCA+A BC 文氏图集合抽象为大小一致的圆,集合大小作为数字标注于图。8、排列组合排列Pmn=)!(!mnn(nm1) 组合Cmn=)!( !mnmn(n m 1) 环线排列n 个人围成一圈,排列方式有Hn-1n-1=(n-1)! 传球n 个人经过m 次传球 ,球回到发球人手中,传球方式有Qmn=(n-1)k/n nn1(nn121) 错位重排n 封信装入n 个信封 ,要求信与信封编号不同,则: (1)排列方式 :Xn=(n-
15、1)(Xn-2+Xn-1)(n2) (2)性质 :n 个数的错位重排数Xn 就是(n-1)的倍数。(3)数值 :X1=0,X2=1,X3=2,X4=9,X5=44 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记9、概率问题等可能概率事件空间分为n 个等可能情形 ,事件 A 包含其中 m 个情形 ,A 事件发生概率为:G(A)=nm条件概率在事件 B 已经发生的前提下,A 事件发生的概率为G(A B)=)()
16、(BGABG独立重复概率将某实验重复进行n 次,在一次实验中某事件发生的概率就是p,那么在 n 次独立重复实验中该事件正好发生m 次的概率就是 :Gmn= Cmnpm(1 P)n-m 分类分步概率先计算每一类或每一步的概率,再计算整个事件概率。10、抽屉原理抽屉原理(1)原理一 :把多于 n 个的物体放到n 个抽屉里 ,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件; (2)原理二 :把多于 mn 个的物体放到n 个抽屉里 ,则至少有一个抽屉里有不少于m+1 的物体 ; (3)原理三 :把无穷多件物体放入n 个抽屉 ,则至少有一个抽屉里有无穷个物体。(4)原理四 :把 mn1 个物体放入n 个抽屉中 ,其
17、中必有一个抽屉中至多有(m 1)个物体。11、数据分配数据分配(1)若数据可以相同,则各数相等离散性最差; (2)若数据不能相同,则公差为 1 的等差数列离散性最差。12、运筹问题时间分配将在逻辑上不冲突的事件同时进行。黑夜过桥(1)尽量让时间相近的两个人一起过桥; (2)让对岸过桥时间最短的人把灯送回。空瓶换酒若 A 个空瓶可换一瓶酒,有 B 个空瓶 ,最多可以喝到C 瓶酒 :C=1AB(取整 ) 任务分配让相对效率高的人去做她擅长的事才能确保整体效率最高。物质集中路两侧物资总重量小的流向总重量大的。线性规划(1)目标函数 :M=c1x+c2y (2)约束条件 :a1x+a2ya3,b1x+
18、b2y b3 13、其她题型浓度问题(1)溶液 =溶质 +溶剂精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记(2)浓度 =溶剂溶质溶质100% (3)饱与度 :溶质溶解于溶剂的上限为饱与浓度。时钟问题(1)钟面问题 :角度差 =时间 (分钟) 5、5(2)坏钟问题 :坏钟每小时比标准钟快n 分钟 ,当坏钟走过m 分钟时 ,标准钟走过nm6060分钟。日期问题(1)闰年 :每个世纪前99 年,能被 4 整除的
19、为闰年 ;每个世纪的最后一年,能被 400 整除的为闰年。(2)星期 :平年每过一年 ,星期数的变化1;闰年每过一年 ,星期数的变化2。(3)月历 :任意星期数的日期呈奇偶交替排列;每个月任意星期数最少出现4 次,最多 5 次;只有每月1、2、3 日对应的星期数可能出现5 次。植树问题(1)闭合路线植树:棵树=总路长 /间距(2)非闭合路线植树:棵树 =总路长 /间距 +1 方阵问题(1)实心 :总人数 =最外层每边人数的平方(2)空心 :总人数 =层数中间层人数总人数 =最外层每边人数2(最内层每边人数2)2 盈亏问题人数 =分配数差盈亏数差鸡兔同笼用假设法将其转化为盈亏问题来考虑。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -