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1、补充习题 2 1、某交叉口信号周期长为90s，某相位的有效绿灯时间为45s，在有效绿灯时间内排队车辆以 1200 辆每小时的流量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达率为400 辆每小时，服从泊松分布。求：（1）一个周期内到达车辆不超过10 辆的概率；（2）求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。1.解：1）由于车辆到达率为400 辆/h ，所以一个周期内平均到达车辆数：m=辆10903600400所以一个周期内到达车辆数X不超过 10 辆概率为：P(X=10) =5830.0)10(10100！xxeX 2）由于到达车辆只能在有效绿灯时间内离开，所以一个周期内能离开最大车辆数为辆154536
2、001200，如果某周期内到达车辆数X大于 15 辆，则最后到达的X-15 辆车就不能在本周期通过，而要在下个周期通过，以致二次排队。所以，不发生二次排队的概率为：P(x=15) =9513.0)10(10150！xxeX2、设有 30 辆车随意分布在6KM长的道路上，试求其中任意500m长的一段，至少有4 辆车的概率。解：由题意知，由于30 辆车独立而随机地分布在6km长的道路上，因此，500m长路段上所包括的车辆平均数为：m=辆5.25001000630，故其上的车辆数服从泊松分布：P(X=x)=!)5 .2(5 .2xex，P(x=0)=5. 2e=0.082 由递推公式P(X=x) 1
3、(xXPxm得到： P(X=1)=0.205 ；P(X=2)=0.257 ；P(X=3) =0.214 300.0820.2050.2570.2140.756xP Xx3x0PPx4P10.7560.244Xx则（x4）=1-（）=1-精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3、某交叉口最新的改善措施中，欲在交叉口入口设置一条左转弯候车道，为此需要预测一个周期内到达的左转车辆数。经研究发现，来车符合二项分布，并且每个周期内平均到达25 辆
4、车，有 25的车辆左转。求：（1）求左转车的95置信度的来车数；（2）求到达 5 辆车中有一辆左转车的概率。解： （1）由于每个周期平均来车辆数位25 辆，而左转车只占25% ，所以左转车x 的分布为二项分布2025Px)0.25 (10.25)xxxxC（，因此，置信度为95% 的来车数0.95X应满足：0.95200.95200Px)(1)0.95xiiiixC Pp（计算可得：Px9)0.928,Px10)0.970（。因此，可令0.959x。即左转车的95% 置信度的来车数为9。（2）由题意知，到达左转车服从二项分布：55Px)0.25 (10.25)xxxxC（所以115 15Px1
5、)0.25 (10.25)0.3955C（因此，到达5 辆车有 1 辆左转车的概率是0.3955 。4、有一个无信号交叉口，主要道路上的车流量为Q辆/ 小时， 次要道路上车辆横穿主路车流所需要的时间为秒，假设主要道路上车头时距服从负指数分布，求次要道路上车辆的平均等待时间。解 ： 主 要 道 路 上 车 头 时 距 为 负 指 数 分 布 ， 即 分 布 密 度 为ttfe， 分 布 函 数 为1ttFe，其中3600Q。由于只有当主路上车头时距2H时，次要道路上车辆才可以穿越。所以，主路上任意一个间隔可被接受的概率为：P2He精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
6、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 拒绝的概率为：P21He可求任意一个被拒绝的间隔，其分布为G t，即：(,2)G t2(2)P Ht HP HtHP H由概率论的条件概率论部分知识，可求得：F(t)(02)(02)F(2)10(0(Gt =tette其他 )其他 )（ ）所以被拒绝的间隔平均长度为：201( )(1)ehtdG tee假设次要道路上的车辆接受了第i+1 个间隔，则其前j 个间隔都小于2，只有第 j+1 个间隔不少于 2。所以拒绝j 个间隔的概率为：001(1)jjjjenjPje
7、ee车辆等待的时间为拒绝的平均间隔数n与其平均长度h的乘积，故等待时间为w，即：1111(1)eewnheeee?5、一个停车库出口只有一个门，在门口向驾驶员收费并找零钱。假设车辆到达服从泊松分布，车辆平均到达率为120 辆/h ，收费平均持续时间15s，服从指数分布，试求收费空闲的概率、系统中有n 辆车的概率、系统中平均车辆数、排队的平均长度、平均非零排队长度、排队系统中的平均消耗时间、排队中的平均等待时间。解：由题意知，这是个M/M/1 系统，并且120辆/ 小时，360024015次/ 小时。1200.51240系统稳定。收费空闲的概率（系统中没有顾客的概率）：(0)110.50.5系统
8、中有 n 辆车的概率：()1()(1)0.50.50.5nnnnP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 系统中的平均车辆数：0.51110.5n平均排队长度：220.50.5110.5q辆平均非零排队长度：112110.5E辆系统中的平均消耗时间：110.5240 120120d分钟排队中的平均等待时间：1201()240 12024010.25min240nh6、拟修建一个服务能力为120 辆/h 的停车场，只有一个出入通道。据调查每小时有72 辆车到达， 假设车辆到达服从泊松分布，每辆车服务时间服从负指数分布，如果出入通道能容纳 5 辆车，问是否合适？解：这个是M/M/1 排队系统。由题意可知：72辆/ 小时，120辆/ 小时，720.61120因此此系统稳定。系统中平均车辆数为：0.61.5110.6n辆5 辆。因此，系统中的平均车辆数小于通道的容纳能力，故合适！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -