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1、线性代数（第六版）在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.3 3我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.4 4第一章 行列式内容提要1二阶与三阶行列式234567行列式的概念.行列式的性质及计算.行列式按行（列）展开克拉默法则 线性方程组的求解.全排列及其逆序数n 阶行列式的定义对换（选学内容）行列式的性质行列式是线性代数的一种工具！学习行列式主要就是要能计算行列式的值.1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元
2、线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式. a21 1 22 2 2一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得 a11x1 + +a12x2 = = b1 x + +a x = = b(a11a22 a12a21)x1 = = b1a22 a12b2(a11a22 a12a21)x2 = = a11b2 b1a21当a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解b1a22 a12b2a11a22 a12a21x1 = =a11b2 b1a21a11a22 a12a21x2 = = x = = a11 2 1 21求解公式为 b1a22 a12b2 x1 = = a1
3、1a22 a12a21 b ba 2 a11a22 a12a21 二元线性方程组 a11x1 + +a12x2 = = b1 x + +a x = = b请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.21 1 22 2 2 a 11 2 1 21 a x = = 我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.a11 a12 a11 a12数表 a21 a22 记号 a21 a22表达式 a11a22 a12a21 称为由该数表所确定的二阶行列式，即a11 a12D = = = = a11a22 a12a21a21 a22其中， ai
4、j(i = = 1,2; j = = 1,2) 称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.二元线性方程组 a11x1 + +a12x2 = = b1 x + +a x = = b其求解公式为 b1a22 a12b2 x1 = = a11a22 a12a21 b ba 2 a11a22 a12a21原则：横行竖列a11a21a12a22= = a11a22 a12a21主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积二阶行列式的计算 对角线法则 a11x1 + +a12x2 = = b1二元线性方程组 x + + a x = = b若令a11 a1
5、2a21 a22D = =b1b2a12a22D1 = =a11a21b1b2D2 = =(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为D1D= =x1 = =b1a22 a12b2a11a22 a12a211a11b2 ba21 D2x2 = = = =a11a22 a12a21 D所以 x1 = = = = = = 2,例1求解二元线性方程组 3x1 2x2 = = 12 2x1 + + x2 = = 1解3 22 1因为 D = = = 3(4) = = 7 0= = 12(2) = = 1412 21 1D1 = =3 122 1= = 3 24 = = 21D2 = =D1
6、14D 7D2 21x2 = = = = = = 3D 7a22 23 = = a11 22 33 12 23 31 13 21 32原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.a12 a13a11a21a31a32 a33a a a + +a a a + +a a aa13a22a31 a12a21a33 a11a23a32二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式的计算 对角线法则a12 a13a22 a23a31a32 a33a11D = = a21实线上的三个元素
7、的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.= = a11a22a33 + +a12a23a31 + +a13a21a32a13a22a31a12a21a33 a11a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.1 2 -4例2 计算行列式 D = = -2 2 1-3 4 -2解按对角线法则，有D = = 12(2)+ + 21(3)+ + (4)(2)4114 2(2)(2)(4)2(3)= = 4 6+ + 32 4 8 24= = 14.1x = = 0.x2例3解求解方程 1 12 34 9方程左端D = = 3x2 + + 4x + +18 9x 2x2 12= = x2
8、5x + + 6,由 x2 5x+ + 6 = = 0 得x = = 2或 x = = 3.2全排列及其逆序数引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123321 3百位十位个位11 21 2 33种放法2种放法1种放法种放法.共有 321= = 6问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.Pn = = n (n1) (n2) 3 2 1= = n!显然即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）
9、中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法123，132，213，231，312，3212020逆序对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如 在排列32514中，逆序3 2 5 1 4逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列i1 2 i in的逆序数通常记为 t(i1 2
10、i in).奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为 t = = t1 + + t2 + + + + tn规定由小到大为标准次序.设 p1 p2 pn是 1, 2, , n 这n 个自然数的任一排列，并先看有多少个比 p1大的数排在 p1前面，记为 t1；再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2;最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn;求排列 32514 的逆序数.t(32514) = = 0+ +
11、1+ + 0+ + 3+ +1= = 5求排列 453162 的逆序数.t = = 9例1：解：练习：解：3 n 阶行列式的定义a22 23 = = a11 22 33 12 23 31 13 21 32一、概念的引入a31a32 a33a11D = = a21a12 a13a a a + +a a a + +a a aa13a22a31 a12a21a33 a11a23a32规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积p p是1、2、3的某个排列.4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号；当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.(1)t(
12、p1 2 3 p )a1p1 2 3 pa2p a3所以，三阶行列式可以写成p= =p1p2p3其中表示对1、2、3的所有排列求和.p1p2p3二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.a31a32 a33a11D = = a21a12 a13a22 a23 = = a11a22a33 + +a12a23a31 + +a13a21a32a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32二、n 阶行列式的定义1. n 阶行列式共有 n! 项2.每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积p是1, 2, , n 的某个排列.4.当p1p2 pn是偶排列时，对应的项取正号；当 p
13、1p2 pn是奇排列时，对应的项取负号.a11 a12a1nan1 an2D = = =p1p2 pn (1)t( p1p2 pn)a1p1a2 p2 anpna21 a22 a2n ann简记作det(aij) ，其中aij为行列式D的(i, j)元思考题： 1 = = 1成立吗？答：符号 1 可以有两种理解：若理解成绝对值，则 1 = = + +1；若理解成一阶行列式，则 1 = = 1.注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 = = 1.0 a22 a230 0 a330 0 0a24a34a44D3 = =例：写出四阶行列式
14、中含有因子a11a23的项.解： a11a23a32a44和 a11a23a34a42.例：计算行列式0000000a14a2300a32D2 = =0 0 00 0 0a11 a12 a13a110 a220 00 0a33 0a44a14D1 = =000000a41a11a21a32a41a22a32a420a33a4300a44D4 = = = (1)t(4321)a14 23 33 41 = = a14 23 33 41解：0 0 00 0 0a110 a220 00 0a33 0a44D1 = =0 00000a14a23000 00 a320a41D2 = = = a11a22a
15、33a44a a a a a a34其中 t(4321) = = 0+ +1+ + 2+ + 3 = = = = 6.2a11 a12 a13a140 a22 a230 0 a330 0 0a24a34a44D3 = =0 0 0a11a21 a22 0 0a32 a32 a33 0a41 a42 a43 a44D4 = = = a11a22a33a44= = a14a23a33a41an1a2,n1D = = a22D = = 四个结论：(1)对角行列式a11= = a11a22annann(2)a1nn(n1)2= = (1)a1na2,n1 an1 annan1 an2a22a21a11
16、000D = =00 a2n anna220 a1na12a11D = =(3)上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）= = a11a22ann(4)下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）= = a11a22ann思考题：用定义计算行列式解：用树图分析1 11 13 33 31 12 23 31 1 （2134）= 12 2 （2143）= 22 2 （2413）= 31 1 （2431）= 4D = 3+212+9 = 4故故1310032102211001D =3535思考题1312111x2xx21x111已知 f( (x) )= =，求x3的系数.故解含x3的项有两项，即131
17、2111x2xx21x111f( (x) )= =对应于a a a a a a(1)t(1234)a11a22a33a44 = = x3,3t( (1243) )(1)a11a22a34a43 = = 2xx3的系数为1.4 对换一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对换，叫做相邻对换例如a1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bma1 a l a b1 bmb c1 c na1 a l b b1 bma c1 cn备注1.相邻对换是对换的特殊情形.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3.如果连续
18、施行两次相同的对换，那么排列就还原了.a1 al a b1 bmb c1 cna1 al a b b1 bmc1 cna1 al b b1 bma c1 cna1 al b a b1 bmc1 cna1 al a b1 bmb c1 cnm 次相邻对换m+1次相邻对换m 次相邻对换m+1次相邻对换二、对换与排列奇偶性的关系定理1对换改变排列的奇偶性.证明先考虑相邻对换的情形+ + ta1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bm+ + r+ + ta1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bm+ + r注意到除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.1 1 l
19、m a b a a b b t t t t t t = = + + + + + + + + + + + + 1 1 l m b a a a b b r r t t t t = = + + + + + + + + + + + + a1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bm+ + t+ + r因此相邻对换改变排列的奇偶性.当 a b 时，ra = = ta ，rb = = tb 1 ， r = = t 1 .2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么a1 a l a b1 bmb c1 cna1 a l b b1
20、 bma c1 cn推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立.因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.ai1 j1ai2 j2, ,ain jn = = a1p1a2 p2 anpn = = ap11ap2 2 apnn每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 i1i2 in与 j1 j2 jn都同时作一次对换，即 i1i2 in与 j1 j2 jn同因此，交换 中任意两个元
21、素的位置后，其 1 1 2 2 n n i j i j a设对换前行标排列的逆序数为 s，列标排列的逆序数为 t .因为对换改变排列的奇偶性，s s是奇数， tt也是奇数.所以 (s s)+ +(tt)是偶数，即(s+ + t)(s+ + t)是偶数.于是(s+ + t) 与(s+ + t)同时为奇数或同时为偶数.行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.j ai , ,a设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s列标排列的逆序数为 t(1)= = (1)t(i1i2 in)+ +t( j1j2 jn)t(12 n)+ +t( p1p2 pn)= = (1)t( p1 2 p pn)经过一次对换
22、是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有(1)t(i1 2 i in )+ +t( j1 2 j jn )ai1 1 2 2 j in n j定理2 n 阶行列式也可定义为D = =(1)t( p1p2 pn)p1p2 pnap11ap22 apnn定理3 n 阶行列式也可定义为D = =i1i2 inj1j2 jnj ai a例1 试判断a14a23a31a42a56a65 和 a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项.解a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为t( (431265) ) = = 0+ +1+ + 2+ + 2+ +0+ +1=
23、= 6所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.a32a43a14a51a25a66行标和列标的逆序数之和t(341526)+ + t(234156) = = 5+ + 3 = = 8所以 a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项.例2用行列式的定义计算0 00 00 1 02 0 00 0 000 00nn 1 0 Dn = = n!( (n1) () (n2) )2Dn = =( (1) ) tttt ( (n1)( )(n 2) ) 21n = =( (n 2) )+ +( (n 3) )+ + + + 2+ +1= =( (n1)( )(n 2) )
24、2ai1 1 2 2 j in n j三、小结1. 对换改变排列奇偶性2. 行列式的三种表示方法D = =D = =p1p2 pnp1p2 pn(1)t( p1p2 pn)a1p1a2p2 anpn(1)t( p1p2 pn )ap11ap22 apnnD = =(1)t(i1i2 in)+ +t( j1j2 jn)i1i2 inj1j2 jnj ai a5行列式的性质, D = =行列式与它的转置行列式相等,即 D= = D .一、行列式的性质a11 a12 a1na21 a22 an1 an2 a2n ann行列式DT称为行列式D的转置行列式.若记 D= =det(aij), DT = =
25、det(bij)，则bij = =aji .记 D= =性质1TTa11a21a12 a1n an1a22 a2n an2 ann性质1 行列式与它的转置行列式相等.证明若记 D= =det(aij), DT = =det(bij) ，则bij = =aij( (i, j = =1,2, ,n) )根据行列式的定义，有DT = = =p1p2 pnp1p2 pn(1)t( p1p2 pn)b1p1b2 p2 bnpn(1)t( p1p2 pn)ap11ap22 apnn= = D行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.验证于是16376552 = = 19681
26、 7 53 5 8 = =1966 6 21 7 5 1 7 56 6 23 5 86 6 2 = = 3 5 8推论证明如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.互换相同的两行，有D = = D，所以 D = = 0 .i性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.备注：交换第i行（列）和第j行（列），记作r rj(ci cj).性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个验证a12a22a32a13a23 ,a33a11D= = a21a31我们以三阶行列式为例. 记根据三阶行列式的对角线法则，有a13ka23a33a11 a12D1 = = ka21 ka22a31 a32i
27、倍数k ，等于用数 k乘以此行列式.备注：第i行（列）乘以 k，记作 r k(ci k) .a13ka23a33a11 a12D1 = = ka21 ka22a31 a32i= = a11(ka22)a33 + + a12(ka23)a31 + + a13(ka21)a32a13(ka22)a31 a12(ka21)a33 a11(ka23)a32 a11a22a33 + +a12a23a31 + +a13a21a32 = = k a a a a a a a a= = kD推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面备注：第i行（列）提出公因子k，记作 r k(ci k
28、) .a11 a12 a13 a14 a11a22a32a12a23a33a13a12a14a24a34a14a13a21 a22 a23 a24 a21= =ka31 a32 a33 a34 a31ka11 ka12 ka13 ka14 a11= =k 0= =0验证我们以4阶行列式为例.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：a11 a12 + +b 12 a13D= = a21 a22 + +b22 a23a31 a32 + +b32 a33a11 a12 a13 a11 b12 a13a31 a32 a33a31 b
29、32 a33则 D= = a21a22 a23 + + a21 b22 a23(1)t( p1 2 3 p )a1p1(a2 p2 2 p )a3 p3+ +b2(1)t( p1 2 3 p )a1p1a2 p2a3p3 + +(1)t( p1 2 3 p )a1p1b2 p2a3p3a11a13a23a33D = = a21 a22 + +b22a31 a32 + +b32a12 + +b12p= =p1p2p3pp= =p1p2p3p1p2p3b12b22b32a12a22a32a13a23a33a11= = a21a31a13 a11a23 + + a21a33 a31验证我们以三阶行列
30、式为例.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数则D= = D 1.验证a31 a32 a33我们以三阶行列式为例. 记a33a31 a32 + + ka33a11 a12 a13D= = a21 a22 a23 , D1 = =a11 a12 + + ka13 a13a21 a22 + + ka23 a23i然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变备注：以数 k乘第j行（列）加到第i行（列）上，记作r + +krj(ci + +kcj).274710 39 21410130541 3例 D = = 234二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算kr把行列式化为上三角形行列式，
31、从而算得行列式的值ri j + + 1 35162 271 3 39131 35 解6271014103 54 41621 214710214 21410 30 2054100D = = 23410r2 + + 3r1 2267402000024 4 10 10143 512131 162710002114103 54 40 2 2114 310r2 + + 3r1 21 ( ( 2) ) 1 ( ( 3) ) r2 2r1( (4) ) r2 r4110123122540222000 000232201012210450 00 20 221310131 1 r3 3r1r4 4r10 00
32、01020 12 21 51 12 31 10 20 0r4 + + r31232221112510231 10 2 0 00 000r3 + + r2 32 ( ( 2) ) 11005110 20000 000r5 + + 4r432 = = ( (2)( )(1)( )(6) ) = =12.064 302010111012161511200310 00r5 2r3320 4 例2 计算 n阶行列式abbbbabbbbbbaab D = = bbbbbbabababba + + ( (n 1) )b( (n 1) )b( (n 1) )b( (n 1) )b+ + + +aaD = =
33、a解 将第2,3, ,n列都加到第一列得= = a+ +(n1)b (ab) . 1 11= = a+ +(n1)b 1 1bab bbba bbbb a 1bbb= = a + +(n1)b a b 0a ba b0n0a11例3 设 D = = a1k ak1c11 cn1 akk c1k cnkb11 b1n bn1 bnnak1 akka11 a1kD1 = = det(aij) = = bn1 bnn ,b11 b1n ,D2 = = det(bij) = =D = = D1D2.证明0p11pkkpk1 证明+ + kr设为 D1 = = = = p11 pkk;对D2 作运算ci
34、 + + kcj，把 D2化为下三角形行列式0q11pnkqn1 设为 D2 = = = = q11 qnn.,0cn1qn1 qnnq11 cnkpk1c11 pkk c1kD = =D = = p11 pkk q11 qnn = = D1D2.对 D 的前 k 行作运算 ri + + krj，再对后 n 列作运算 ci + + kcj，把 D 化为下三角形行列式p11故计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值三、小结行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).a + + 2b + + 2c +
35、 + 2d + + 2思考题计算4阶行列式11111dd2 1d1b1cbc2 1b2 1c1aa2 1aD = =abcd = = 1) )( (已知a思考题解答解11112b2c2d 21a1b1c1dabcdD = =11111a1b1c1dabcd1a21b21c21d 2+ +bcda1111a11b21c21d 21a2= = abcdbcda1b1c1d1111a11b21c21d 21a21b + +( (1) )31c1d= = 0.6 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.a22 23 = = a11 22a3
36、3 + +a12 23 31 + +a13 21 32a一、引言a a a a aa11a23a32 a12a21a33 a13a22a31a12 a13a11a21a31a32 a33= = a11( (a22a33 a23a32) )+ +a12( (a23a31 a21a33) )+ +a13( (a21a32 a22a31) )a22 a23 a21 a23 a21 a23= = a11 a12 + +a13a32 a33 a31 a33 a31 a33结论思考题三阶行列式可以用二阶行列式表示.任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如a11a21a31a12a22a32a13
37、a23a33a14a24a34a41a42a43a44D = =a11 a12 a14M23 = = a31 a32 a34a41 a42 a442+ +3A23 = =( (1) )M23 = = M23i+ + j把 Aij = =( (1) )Mij称为元素a ij 的代数余子式j 列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素a ij的余子式，记作 Mij .在n 阶行列式中，把元素a ij所在的第 i行和第结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.A = =( (1) )= = a33 33 33 33a M引理a11a12a13
38、a14a210a41a220a42a23 a24a33 0a43 a44a11 a12 a143+ +3= =( (1) )例如 D = =3+ +3a11 a12 a14a33 a21 a22 a24 = = a33 a21 a22 a24a41 a42 a44a41 a42 a44一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除 a ij外都为零，那么这行列式等于a ij与它的代数余子式的乘积，即D = = aijAij 00a11D = = a21 a22 an1 an2 a2n ann.1+ +1又 A11 = =( (1) )M11 = = M11,从而 D = = a11A11.下面再
39、讨论一般情形.分析当 aij 位于第1行第1列时,即有D = = a11M11 （根据P.14例10的结论）a24 r2 3 r= = (1)我们以4阶行列式为例.a110a21a41a120a22a42a130a23a43= = (1)2a11a210a410a12a220a420a13a230a430a11a21a41a12a22a42a13a23a43a14a24a44a14a34a44a34r 1r2000a11a21a41a12a22a42a13a23a43a14a24a44a14a34a24a44a34= =(1)(31)思考题：能否以r 1 r3代替上述两次行变换？a24 r1
40、2 ra24 a21a11 a12 a13a21 a22 a230 0 0a41 a42 a43a14a34a440 0 0a11 a12 a13a21 a22 a23a41 a42 a43a34a14a24a44r2r3= = (1)2000a11a12a13a14a34a210a41a220a42a230a43a22a12a42a23a13a43a24a14a44r1r3= = (1)a34 a11a44 a41答：不能.思考题：能否以r 1 r3代替上述两次行变换？a34 c3 4 ca14 c1 2 c= = (1) (1)3= =(1)(1)0a11a21a410a12a22a420
41、a13a23a43a24a44= =(1)(31)a34a14a24a440a11a21a410a12a22a420a13a23a43(31)c2c30 0 0a34a14 a11 a12 a13a24 a21 a22 a23a44 a41 a42 a43(31)(41)a34 被调换到第1行，第1列a11 a12 a133+ +4a aa41 a42 a43a11a210a41a12 a13 a14a22 a23 a240 0 a34a42 a43 a44二、行列式按行（列）展开法则定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即i iD = = ai1A1 + +
42、ai2A 2 + + + +ainAin( (i = =1,2, ,n) )a11 a12 a13 a11 + +0+ +0 0+ + a12 + + 0 0+ + 0+ + a13a21 a22 a23 = = a21 a22 a23a31 a32 a33 a31 a32 a330 0 0a11a12 0 0 0 a13= = a21 a22 a23 + + a21a31 a32 a33 a31a22 a23 + + a21 a22 a23a32 a33 a31 a32 a33= = a11A11 + +a12A12 + +a13A13同理可得 = = a21A21 + +a22A22 +
43、+a23A23= = a31A31 + +a32A32 + +a33A33= = (1)例（P.12例7续）31 1 252D = =1 5 3 35 1 1 15 5 3 01 3 4 c1 + +( ( 2) )c3 11 1 3 10 1 1 c4 + + c3 0 0 1 03+ +3= = (1)5 1 111 1 15 505 1 16 2 05 5 0r2 + + r11+ +36 25 5= =8 20 5= = 40.xn 2 = = (xi j). (1) = = x2 1= = (xi j)证明用数学归纳法1x11x2D2 = =2i j1例证明范德蒙德(Vandermo
44、nde)行列式1xnni j1x1 n1x2 n1 x 1x1Dn = = x1 2 1x2x2 2 xn n1所以n=2时(1)式成立. x x(x xx2 2 1)(x xx3 3 1)xn n x1)(x10Dn = = 0 01x2 x1x2(x2 x1) n21x3 x1x3(x3 x1) n21xn x1xn(xn x1) n2 假设(1)对于n1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的x1倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子(xi x1)，就有(xi x j)ni j2 Dn = = (x2 x1)(x3 x1) (xn x1)= =(xi xj).ni j1111x2
45、 n2x3 n2 = = (x2 x1)(x3 x1) (xn x1)x2 x3 xn xn n2n1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1Aj1 + +ai2Aj2 + + + +ainAjn = = 0, i j.a22a22a32a21a21A 11 + +a22A 12 + +a23A 13 = = a21a31分析我们以3阶行列式为例.a11 a12 a13a11A11 + +a12A12 + + a13A13 = = a21 a22 a23a31 a32 a33把第1行的元素换成第2行的对应元素，则a23a23 =
46、= 0.a33ai1Aj1 + +ai2Aj2 + + + +ainAjn = = i定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ai1A 1 + +ai2Ai2 + + + +ainAin = = D( (i = =1,2, ,n) )推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对jji = =i D, 0,应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1Aj1 + +ai2Aj2 + + + +ainAjn = = 0, i j.综上所述，有同理可得 D, i = = j 0, i j5 3 1 2 01 7 2 5 22 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5
47、 0例计算行列式 D = = 0解22+ +55 3 1 2 01 7 2 5 2D = = 0 2 3 1 0 = =( (1) )0 4 1 4 00 2 3 5 05 3 1 20 2 3 10 4 1 40 2 3 5= =( (1) )2 310 0 70 6267612 = = 10 (2)6= = 20 (4212) = = 1080.2 3 1= = 2 5 4 1 42 3 525 3 1 20 2 3 10 4 1 40 2 3 52+ +5r2 + + (2)r1r3 + + r1例3 5 2 1设 D = =1 1 0 51 3 1 3, D的 (i, j)元的余子式和
48、2 4 1 3代数余子式依次记作Mij和Aij ，求A 11 + + A 12 + + A 13 + + A 14 及 M11 + + M21 + + M31 + + M41.a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44分析 利用a11A11 + + a12A12 + + a13A13 + + a14A 14 = =121解1111A11 + + A12 + + A13 + + A14 = =1 11 32 40 51 31 3r4 + + r3r3 r11 1 1 11 1 0 52 2 0 21 1 0 01 1 5= = 2 2 21
49、1 0c2 + + c12 50 22 50 2 = =0 0= = 4.1 5 2 1= =1 1 0 51 3 1 31 4 1 31 1 3r4 + + r32 11 50 51 30 01 11 30 11131= = 12 10 5r1 2r31 0 5 1 0 5 = = 0.M11 + + M21 + + M34 + + M41 = = A11 A21 + + A31 A417克拉默法则 a11x1 + +a12x2 = = b1二元线性方程组 x + + a x = = b若令a11 a12a21 a22D = =b1b2a12a22D1 = =a11a21b1b2D2 = =
50、(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为D1D= =x1 = =b1a22 a12b2a11a22 a12a211a11b2 ba21 D2x2 = = = =a11a22 a12a21 D an1 1 + +an2 2 + + + +ann n n一、克拉默法则如果线性方程组(1) a11x1 + +a12x2 + + + +a1nxn = = b1 a21x1 + +a22x2 + + + +a2nxn = = b2 x x x = = ba11 a12 a1na21 a22 a2n的系数行列式不等于零，即 D = = 0 an1 an2 ann, , xn = =.(2)D