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1、精品学习资源2021 年海南省高考数学试卷理科 全国新课标 一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分；在每题给出的四个选项中， 只有哪一项符合题目要求的；15 分=A1+2i B12iC 2+iD2i25 分设集合 A= 1，2，4 ，B= x| x24x+m=0 假设 A B= 1 ，就 B=A 1， 3B 1，0C 1，3D 1，53. 5 分我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，就塔的顶层共有灯A1 盏 B3 盏
2、 C5 盏 D9 盏4. 5 分如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得， 就该几何体的体积为A90B63C42D365. 5 分设 x，y 中意约束条件，就 z=2x+y 的最小值是A 15B 9 C 1D96. 5 分支配 3 名抱负者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，就不同的支配方式共有欢迎下载精品学习资源A12 种B18 种C24 种D36 种7. 5 分甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成果老师说： 你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成果，给乙看丙的
3、成果，给丁看甲的成果 看后甲对大家说： 我仍是不知道我的成果 依据以上信息， 就A. 乙可以知道四人的成果B丁可以知道四人的成果 C乙、丁可以知道对方的成果D乙、丁可以知道自己的成果8. 5 分执行如图的程序框图，假如输入的a=1，就输出的 S=A2B3C4D59. 5 分假设双曲线 C：=1a0，b0的一条渐近线被圆 x22+y2=4所截得的弦长为 2，就 C的离心率为A2B C D10. 5 分已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ABC=120， AB=2，BC=CC1=1，就异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为欢迎下载精品学习资源A. B C D11. 5 分假设 x=2
4、是函数 fx=x2+ax1ex 1 的极值点，就 fx的微小值为A 1 B 2e3C 5e 3 D112. 5 分已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点，就.+ 的最小值是A 2 B C D 1二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分；13. 5 分一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次 X 表示抽到的二等品件数，就 DX=14. 5 分函数 fx=sin2x+cosxx 0， 的最大值是15. 5 分等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，就 =16. 5 分已知 F 是抛物线 C：
5、y2=8x 的焦点， M 是 C上一点， FM 的延长线交 y轴于点 N假设 M 为 FN的中点，就 | FN| =三、解答题：共 70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必需作答第22、23 题为选考题，考生依据要求作答一必考题：共 60 分；17. 12 分ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+C=8sin21求 cosB；2假设 a+c=6， ABC的面积为 2，求 b18. 12 分海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收成时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量单位：kg，其频率分
6、布直方图如图：欢迎下载精品学习资源1设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示大事 “旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估量 A 的概率；2填写下面列联表，并依据列联表判定是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法3依据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估量值 附：PK2 k0.0100.001k3.8416.63510.828K2=19. 12 分如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC=AD， BAD=ABC=90，E 是 PD的中点1证明：直
7、线 CE平面 PAB；2点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 M ABD 的余弦值欢迎下载精品学习资源20. 12 分设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 中意=1求点 P 的轨迹方程；2设点 Q 在直线 x= 3 上，且 .=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F21. 12 分已知函数 fx=ax2 axxlnx，且 fx 01求 a；2证明： fx存在唯独的极大值点x0，且 e 2fx0 2 2二选考题：共10 分；请考生在第22、23 题中任选一题作答
8、；假如多做， 就按所做的第一题计分； 选修 4-4：坐标系与参数方程 10 分22. 10 分在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos =41M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且中意 | OM| .| OP| =16，求点P的轨迹 C2 的直角坐标方程；2设点 A 的极坐标为 2，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 10 分23已知 a0， b0， a3+b3=2证明：1a+ba5+b5 4；2a+b2欢迎下载精品学习资源2021 年海南省高考数学试卷理科 全国
9、新课标 参考答案与试题解析一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分；在每题给出的四个选项中， 只有哪一项符合题目要求的；15 分=A1+2i B12iC 2+iD2i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数， 再利用虚数单位 i 的幂运算性质， 求出结果【解答】 解： =2i， 应选 D【点评】 此题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数25 分设集合 A= 1，2，4 ，B= x| x24x+m=0 假设 A B= 1 ，就 B=A 1， 3B 1，0C 1，3D 1，5【分析】由交集的定义可得 1A 且 1B
10、，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合 B【解答】 解：集合 A= 1，2，4 ， B= x| x24x+m=0 假设 AB= 1 ，就 1 A 且 1B，可得 14+m=0，解得 m=3， 即有 B= x| x2 4x+3=0 = 1， 3 应选： C【点评】 此题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法， 运用定义法是解题的关键，属于基础题3. 5 分我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，就塔的顶层共欢迎下载
11、精品学习资源有灯A.1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯， 由题意和等比数列的定义可得： 从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】 解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2 为公比、 a 为首项的等比数列， 又总共有灯 381 盏， 381=127a，解得 a=3， 就这个塔顶层有 3 盏灯， 应选 B【点评】此题考查了等比数列的定义， 以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用， 属于基础题4. 5 分如图，网格纸上小正方形的边长为1
12、，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得， 就该几何体的体积为A90B63C42D36【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半， 即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得， 直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的欢迎下载精品学习资源一半，V= .3210.32 6=63，应选： B【点评】 此题考查了体积运算公式，考查了推理才能与运算才能，属于中档题5. 5 分设 x，y 中意约束条件，就 z=2x+y 的最小值是A 15B 9 C 1D9【分析】画出约束条件的可行域， 利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可【
13、解答】 解： x、y 中意约束条件的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 由解得 A 6， 3，就 z=2x+y 的最小值是： 15应选： A【点评】 此题考查线性规划的简洁应用，考查数形结合以及运算才能6. 5 分支配 3 名抱负者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，就不同的支配方式共有A12 种B18 种C24 种D36 种欢迎下载精品学习资源【分析】 把工作分成 3 组，然后支配工作方式即可【解答】 解： 4 项工作分成 3 组，可得： =6，支配 3 名抱负者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由 1 人完成， 可
14、得： 6=36 种应选： D【点评】此题考查排列组合的实际应用， 留意分组方法以及排列方法的区分，考查运算才能7. 5 分甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成果老师说： 你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成果，给乙看丙的成果，给丁看甲的成果 看后甲对大家说： 我仍是不知道我的成果 依据以上信息， 就A. 乙可以知道四人的成果B丁可以知道四人的成果 C乙、丁可以知道对方的成果D乙、丁可以知道自己的成果【分析】依据四人所知只有自己看到， 老师所说及最终甲说话， 继而可以推出正确答案【解答】 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最终甲说话， 甲不知自己的成果乙
15、丙必有一优一良， 假设为两优，甲会知道自己的成果；假设是两良，甲也会知道自己的成果乙看到了丙的成果，知自己的成果丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成果，给甲看乙丙成果，甲不知道自已的成果，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优， 就甲是良，假定乙丙都是良，就甲是优，那么甲就知道自已的成果了给乙看丙成果，乙没有说不知道自已的成果， 假定丙是优，就乙是良，乙就知道自己成果 给丁看甲成果，由于甲不知道自己成果，乙丙是一优一良，就甲丁也是一优一良， 丁看到甲成果，假定甲是优，就丁是良，丁确定知道自已的成果了应选： D【点评】此题考查了合情推理的问题， 关键把握四人所知只有自己看到，老师所欢迎下载精品学习资
16、源说及最终甲说话，属于中档题8. 5 分执行如图的程序框图，假如输入的a=1，就输出的 S=A2B3C4D5【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K 值，当 K=7 时，程序终止即可得到结论【解答】 解：执行程序框图，有 S=0，K=1， a=1，代入循环，第一次中意循环， S=1，a=1， K=2；中意条件，其次次中意循环， S=1， a=1，K=3； 中意条件，第三次中意循环， S=2，a=1，K=4； 中意条件，第四次中意循环， S=2， a=1，K=5； 中意条件，第五次中意循环， S=3，a=1，K=6； 中意条件，第六次中意循环， S=3， a=1，K=7； K6 不成
17、立，退出循环输出 S的值为 3欢迎下载精品学习资源应选： B【点评】 此题主要考查了程序框图和算法，属于基本学问的考查，比较基础9. 5 分假设双曲线 C：=1a0，b0的一条渐近线被圆 x22+y2=4所截得的弦长为 2，就 C的离心率为A2B C D【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离， 列出关系式， 然后求解双曲线的离心率即可【解答】 解：双曲线 C： =1a0，b0的一条渐近线不妨为： bx+ay=0，圆x 22+y2=4 的圆心 2， 0，半径为： 2，双曲线 C： =1a0，b0的一条渐近线被圆 x22+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为： =， 解得：，可
18、得 e2=4，即 e=2 应选： A【点评】 此题考查双曲线的简洁性质的应用，圆的方程的应用，考查运算才能10. 5 分已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ABC=120， AB=2，BC=CC1=1，就异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为A. B C D【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点，得出 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角； 依据中位线定理， 结合余弦定理求出 AC、MQ， MP 和 MNP 的余弦值即可【解法二】通过补形的方法，把原先的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁【解答】 解：【解法一】如下图，设 M、N、
19、P 分别为 AB， BB1 和 B1C1 的中点， 就 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角因异面直线所成角为 0， ，可知 MN=AB1=， NP=BC1=；欢迎下载精品学习资源作 BC中点 Q，就 PQM 为直角三角形；PQ=1， MQ=AC，ABC中，由余弦定理得欢迎下载精品学习资源AC2=AB2+BC2 2AB.BC.cos=4+1221=7，AC=， MQ=；在 MQP 中， MP=；在 PMN 中，由余弦定理得cosMNP=；ABC欢迎下载精品学习资源又异面直线所成角的范畴是 0， ，AB1 与 BC1 所成角的余弦值为【解法二】如下图，补成四棱柱 ABCDA1B1
20、C1D1，求 BC1D 即可； BC1=，BD=，C1D=， +BD2=， DBC1=90，cos BC1D=欢迎下载精品学习资源【点评】此题考查了空间中的两条异面直线所成角的运算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题11. 5 分假设 x=2 是函数 fx=x2+ax1ex 1 的极值点，就 fx的微小值为A 1 B 2e3C 5e 3 D1【分析】 求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判定函数的单调性，求解函数的微小值即可【解答】 解：函数 fx=x2+ax 1ex1，可得 f x=2x+aex 1+x2+ax1ex 1， x= 2 是函数 fx=x2+ax 1ex1 的极值
21、点， 可得： 4+a+32a=0解得 a=1可得 f x=2x 1ex1 +x2x1ex 1，=x2+x 2ex 1，函数的极值点为： x=2，x=1，当 x 2 或 x 1 时， f x0 函数是增函数， x 2，1时，函数是减函数，x=1 时，函数取得微小值： f1=12 1 1e11= 1应选： A【点评】此题考查函数的导数的应用， 函数的单调性以及函数的极值的求法， 考查运算才能12. 5 分已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点，就.+欢迎下载精品学习资源的最小值是A 2 B C D 1【分析】依据条件建立坐标系， 求出点的坐标， 利用坐标法结合向量数量积
22、的公式进行运算即可【解答】 解：建立如下图的坐标系，以 BC中点为坐标原点， 就 A0，B 1， 0，C1，0，设 Px， y，就= x， y， = 1x， y， =1 x， y，就.+=2x22y+2y2=2 x2+y2当 x=0，y=时，取得最小值 2 =， 应选： B【点评】此题主要考查平面对量数量积的应用， 依据条件建立坐标系， 利用坐标法是解决此题的关键二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分；13. 5 分一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次 X 表示抽到的二等品件数，就 DX=1.96【分析】 判定概率中意的类型，然后
23、求解方差即可【解答】解：由题意可知，该大事中意独立重复试验，是一个二项分布模型，其中， p=0.02，n=100，就 DX=npq=np1p=100 0.98=1.96 故答案为： 1.96【点评】此题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判定概率类型中意二项分布是解题的关键欢迎下载精品学习资源14. 5 分函数 fx=sin2x+cosxx 0， 的最大值是1【分析】 同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】 解： fx=sin2x+cosx=1 cos2x+cosx， 令 cosx=t 且 t 0， 1 ，就 y=t 2+t+=t2+1， 当 t=时， ftmax=1，即 f
24、x的最大值为 1，故答案为： 1【点评】 此题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15. 5 分等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，就 =【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式， 求解即可【解答】 解：等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2a2+a3=10， 可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，就 =2 1+ =21= 故答案为：【点评】 此题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查运算才能16. 5 分已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点， M 是 C上
25、一点， FM 的延长线交 y轴于点 N假设 M 为 FN的中点，就 | FN| =6【分析】 求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可【解答】 解：抛物线 C： y2=8x 的焦点 F2，0， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N假设 M 为 FN的中点，可知 M 的横坐标为： 1，就 M 的纵坐标为：，| FN| =2| FM| =2=6 故答案为： 6【点评】 此题考查抛物线的简洁性质的应用，考查运算才能欢迎下载精品学习资源三、解答题：共 70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必需作答第22、23 题为选考题，考生
26、依据要求作答一必考题：共 60 分；17. 12 分ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+C=8sin21求 cosB；2假设 a+c=6， ABC的面积为 2，求 b【分析】1利用三角形的内角和定理可知 A+C=B，再利用诱导公式化简 sinA+C，利用降幂公式化简 8sin2，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB，2由1可知 sinB=，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b【解答】 解：1sinA+C=8sin2，sinB=41cosB，sin2B+cos2B=1， 161cosB2+cos2B=1， 161cosB2+cos2B1
27、=0， 16cosB12+cosB1cosB+1=0，17cosB15cosB1=0，cosB=；2由 1可知 sinB=， S ABC=ac.sinB=2， ac=， b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=a+c22ac15=3617 15=4， b=2【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式， 二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18. 12 分海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收成时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量单位：kg，其频率分布直方图如图：欢迎下载精品学习资源1设两种养殖方法的箱产量相互独立，记
28、A 表示大事 “旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估量 A 的概率；2填写下面列联表，并依据列联表判定是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法3依据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估量值 附：PK2 k0.0100.001k3.8416.63510.828K2=【分析】1由题意可知： PA=PBC=PBPC，分布求得发生的频率，即可求得其概率；2完成 22 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：3依据频率分布直方图即可求得其中位数【解答】 解：1记
29、B 表示大事 “旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示大事 “新养殖法的箱产量不低于50kg”，由 PA=PBC=PBPC，就旧养殖法的箱产量低于 50kg：+ 5=0.62，故 PB的估量值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：+ 5=0.66，欢迎下载精品学习资源故 PC的估量值为，就大事 A 的概率估量值为 PA=PBPC 0.66=0.4092；A 发生的概率为 0.4092；22 2 列联表：箱产量 50kg箱产量 50kg总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200就 K2=15.705， 6.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；3
30、由新养殖法的箱产量频率分布直方图中， 箱产量低于 50kg 的直方图的面积：+ 5=0.34，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：+ 0.5，故新养殖法产量的中位数的估量值为：50+kg，kg【点评】此题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查运算才能，属于中档题19. 12 分如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC=AD， BAD=ABC=90，E 是 PD的中点1证明：直线 CE平面 PAB；2点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 M ABD 的余弦值欢迎下载精品学习资源【分析】1取 PA的
31、中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CEBF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可2利用已知条件转化求解M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 MAB D 的余弦值即可【解答】1证明：取 PA的中点 F，连接 EF，BF，由于 E是 PD的中点， 所以 EFAD，AB=BC=AD， BAD=ABC=90， BCAD，BCEF是平行四边形，可得 CEBF，BF. 平面 PAB，CE.平面 PAB，直线 CE平面 PAB；2解：四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90， E是 PD的中点取 AD 的中点 O，M 在
32、底面 ABCD上的射影 N 在 OC上，设 AD=2，就 AB=BC=1， OP=， PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，可得： BN=MN， CN=MN，BC=1， 可得： 1+BN2=BN2， BN=，MN=，作 NQAB 于 Q，连接 MQ，AB MN，所以 MQN 就是二面角 M ABD 的平面角， MQ=，二面角 MAB D 的余弦值为： =欢迎下载精品学习资源【点评】 此题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法， 考查空间想象才能以及运算才能20. 12 分设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，
33、垂足为 N，点 P 中意=1求点 P 的轨迹方程；2设点 Q 在直线 x= 3 上，且 .=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F【分析】1设 Mx0，y0，由题意可得 Nx0，0，设 Px，y，运用向量的坐标运算，结合 M 中意椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；2设 Q 3，m，Pcos，sin ，02，运用向量的数量积的坐标 表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF 的斜率， 由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证【解答】 解：1设 M x0，y0，由题意可得 Nx0， 0， 设 Px， y，由点 P 中意=可得 xx0，y=
34、0，y0， 可得 xx0=0， y=y0，即有 x0=x， y0=，代入椭圆方程 +y2=1，可得 +=1，欢迎下载精品学习资源即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；2证明：设 Q 3， m， Pcos，sin ，02，.=1，可得 cos ，sin . 3cos ，msin =1，即为 3cos 2cos2+msin 2sin2=1，当 =0时，上式不成立，就 02，解得 m=，即有 Q 3，椭圆+y2=1 的左焦点 F 1，0，由.= 1 cos， sin . 3，=3+3cos 31+cos =0可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F 另解：设 Q 3，t ，
35、 Pm，n，由.=1，可得 m， n. 3m，tn=3mm2+nt n2=1， 又 P 在圆 x2+y2=2 上，可得 m2+n2=2，即有 nt=3+3m，又椭圆的左焦点 F 1，0，.= 1m， n. 3，t=3+3mnt=3+3m33m=0， 就，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F【点评】此题考查轨迹方程的求法， 留意运用坐标转移法和向量的加减运算， 考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直 线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算才能，属于中档题21. 12 分已知函数 fx=ax2 axxlnx，且 fx 01求 a
36、；2证明： fx存在唯独的极大值点x0，且 e 2fx0 2 2【分析】1通过分析可知 fx 0 等价于 hx=ax a lnx0，进而利用hx=a可得 hxmin=h，从而可得结论；欢迎下载精品学习资源2通过 1可知 fx=x2x xlnx，记 tx=f x=2x2lnx，解不等式可知 txmin=t=ln210，从而可知 f x=0 存在两根 x0，x2，利用 fx必存在唯独极大值点 x0 及 x0可知 fx0，另一方面可知 fx0f=【解答】1解：由于 fx=ax2axxlnx=xax a lnxx0， 就 fx 0 等价于 hx=axalnx0，求导可知 hx=a就当 a0 时 hx
37、0，即 y=hx在 0， +上单调递减，所以当 x01 时， hx0 h1=0，冲突，故 a0 由于当 0 x时 hx 0、当 x时 hx 0， 所以 hxmin=h，又由于 h1=aaln1=0，所以=1，解得 a=1；2证明：由 1可知 fx=x2 xxlnx，f x=2x2lnx，令 f x=0，可得 2x2lnx=0，记 tx=2x 2 lnx，就 t x=2， 令 t x=0，解得： x=，所以 tx在区间 0，上单调递减，在， +上单调递增，所以 txmin=t=ln210，从而 tx=0 有解，即 f x=0 存在两根 x0， x2，且不妨设 f x在 0， x0上为正、在 x0
38、，x2上为负、在 x2， +上为正，所以 fx必存在唯独极大值点 x0，且 2x02lnx0=0， 所以 fx0=x0 x0lnx0=x0+2x02=x0，由 x0可知 fx0 x0max=+=；由 f 0 可知 x0 ，所以 fx在 0，x0上单调递增，在 x0，上单调递减，所以 fx0 f=；综上所述， fx存在唯独的极大值点x0，且 e 2fx0 22【点评】此题考查利用导数争论函数的极值， 考查运算求解才能， 考查转化思想， 留意解题方法的积存，属于难题欢迎下载精品学习资源二选考题：共10 分；请考生在第22、23 题中任选一题作答；假如多做， 就按所做的第一题计分； 选修 4-4：坐
39、标系与参数方程 10 分22. 10 分在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos =41M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且中意 | OM| .| OP| =16，求点P的轨迹 C2 的直角坐标方程；2设点 A 的极坐标为 2，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB面积的最大值【分析】1设 Px， y，利用相像得出 M 点坐标，依据 | OM| .| OP| =16 列方程化简即可；2求出曲线 C2 的圆心和半径， 得出 B 到 OA 的最大距离， 即可得出最大面积【解答】 解：1曲线 C1 的直角坐标
40、方程为： x=4， 设 Px， y，M 4， y0，就， y0=，| OM| OP| =16，=16，即x2+y21+=16， x4+2x2y2+y4=16x2，即 x2+y22=16x2， 两边开方得： x2+y2=4x，整理得：x22+y2=4x 0，点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：x22+y2=4x02点 A 的直角坐标为 A1，明显点 A 在曲线 C2 上， | OA| =2，曲线 C2 的圆心 2，0到弦 OA的距离 d=， AOB的最大面积 S=| OA| .2+=2+【点评】此题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解， 直线与圆的位置关系，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 10 分23已知 a0， b0， a3+b3=2证明：1a+ba5+b5 4；2a+b2欢迎下载精品学习资源【分析】1由柯西不等式即可证明，2由 a3+b3=2 转化为=ab，再由均值不等式可得： =ab2，即可得到a+b32，问题得以证明【解答】 证明：1由柯西不等式得： a+