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1、学习必备欢迎下载点、直线、平面之间的位置关系学问点总结立体几何学问点总结1. 直线在平面内的判定(1) 利用公理 1：始终线上不重合的两点在平面内,就这条直线在平面内.(2) 如两个平面相互垂直,就经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线在第一个平面内,即如 ,A , AB,就 AB.(3) 过一点和一条已知直线垂直的全部直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即如Aa,a b, A,b ,就 a.(4) 过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即如P, P , , Pa,a ,就 a.(5) 假如一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线
2、必在这个平面内,即如a,A,A b,b a, 就 b.2. 存在性和唯独性定理(1) 过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2) 过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3) 过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4) 与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5) 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6) 过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7) 过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8) 过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3. 射影及有关性质(1) 点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫
3、做这点在这个平面上的射影,点的射影仍是点.(2) 直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3) 图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影 .当图形所在平面与射影面垂直时,射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时,射影仍是一个图形.(4) 射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i) 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长；(ii) 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长；
4、(iii) 垂线段比任何一条斜线段都短.4. 空间中的各种角等角定理及其推论定理如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,就这两个角相等.推论如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,就这两组直线所成的锐角或直角 相等.异面直线所成的角1 定义： a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线 aa,b b, 就 a和 b所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 .2 取值范畴： 0 90 .3 求解方法依据定义,通过平移,找到异面直线所成的角；解含有 的三角形,求出角 的大小 .5. 直线和平面所成的角1 定义 和平面所成的角有三种：(i) 垂线面所成的角的一
5、条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii) 垂线与平面所成的角直线垂直于平面,就它们所成的角是直角.(iii) 一条直线和平面平行,或在平面内,就它们所成的角是0的角 .2 取值范畴 0 90 3 求解方法作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角.解含 的三角形,求出其大小 .最小角定理斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说,斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6. 二面角及二面角的平面角(1) 半平面直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.(2) 二面角条直线动身的两个半平面所组成的图
6、形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.如两个平面相交,就以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角的取值范畴是0 180 (3) 二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角 .如图, PCD 是二面角 -AB-的平面角 .平面角 PCD 的大小与顶点C 在棱 AB 上的位置无关 .二面角的平面角具有以下性质：(i) 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB平面 PCD.(ii) 从二面角的平面角的一边上任意一点
7、异于角的顶点 作另一面的垂线, 垂足必在平面角的另一边 或其反向延长线 上.(iii) 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面PCD,平面 PCD .找 或作二面角的平面角的主要方法.(i) 定义法(ii) 垂面法(iii) 三垂线法 依据特别图形的性质(4) 求二面角大小的常见方法先找 或作出二面角的平面角 ,再通过解三角形求得的值.利用面积射影定理S =S cos 其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积,S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,为二面角的大小 .利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7. 空间的各种距离点到平面的距离(1) 定义面外一点引一个
8、平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2) 求点面距离常用的方法：1) 直接利用定义求找到 或作出 表示距离的线段；抓住线段 所求距离 所在三角形解之 .2) 利用两平面相互垂直的性质 .即假如已知点在已知平面的垂面上,就已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 .3) 体积法其步骤是：在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S；由 V=Sh ,求出 h 即为所求 . 这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离 . 难点在于如何构造合适的三棱锥以便于运算 .4) 转化法将点到平面的距离转化为 平行 直线与平面的距离
9、来求 .8. 直线和平面的距离(1) 定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离 .(2) 求线面距离常用的方法直接利用定义求证 或连或作 某线段为距离,然后通过解三角形运算之.将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之.作帮助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离.9. 平行平面的距离1 定义个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2 求平行平面距离常用的方法直接利用定义求证 或连或作 某线段为距离,然后通过解三角形运算之.把面面平行距离转化为线面平行距离,再转化为线线平行距离,最终转化为点线面 距离,通过解三角形或体积法求解之 .10. 异面直线的距离1 定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯独的公垂线段.2 求两条异面直线的距离常用的方法定义法题目所给的条件,找出 或作出 两条异面直线的公垂线段,再依据有关定理、性质求出公垂线段的长 .此法一般多用于两异面直线相互垂直的情形.转化法为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法